运用概率统计方法研究政治经济学：随机变量的判断与选择

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　　〔摘要〕 政治经济学运用概率统计进行研究是一个新领域。但是回顾马克思学说可以发现，其论述中已初步涉及过相关的内容，这为当前政治经济学利用这一方法挖掘复杂经济现象背后的规律性奠定了理论基础。概率统计相关方法在马克思理论框架下具体运用中的主要难点在于随机变量的确定和衡量，价格、工资、利润率三个经典范畴因其固有特征均可作为随机变量，问题是，在对价值转形的分析中容易陷入“斯密教条”的陷阱，在对收入分配结构和利润率的特征分析中又通常缺少唯物史观。为此，需要在进一步强调马克思的基本逻辑和方法论基础上，遵循概率统计方法仅是辅助研究工具的基本原则。
　　〔关键词〕 《资本论》;政治经济学;概率统计;随机变量;统计分布;价格;货币工资;利润率
　　〔中图分类号〕F011 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1000-4769（2020）04-0117-08
　　〔基金项目〕中国人民大学科学研究基金（中央高校基本科研业务费专项资金资助）项目“马克思政治经济学中的概率统计方法”（19XNH047）;国家留学基金委公派出国联合培养博士生项目（201906360203）
　　〔作者简介〕陈志超，中国人民大学经济学院与曼尼托巴大学（加拿大）联合培养博士研究生;
　　陈 亮，中国人民大学中国经济改革与发展研究院副教授;
　　时 英，中国人民大学经济学院博士研究生，北京 100872。
　　一、概率统计在政治经济学分析中的运用及问题的提出
　　中西方马克思主义者关于政治经济学数学化的争论已久，分歧的焦点主要集中在为什么要数学化、能否数学化、如何数学化三个方面。
　　马克思的著作，如《资本论》及《数学手稿》中涉及了大量高等数学的内容，如导数、极限、微积分、拉格朗日方程、泰勒展开式等。①尽管并未发现其对概率统计的直接描述和运用，但是阿兰·阿尔考夫（Alain Alcouffe）和朱利安·威尔斯（Julian Wells）在研究马克思的手稿和《〈马克思恩格斯全集〉历史考证版》后，认为马克思不仅从理论层面对价值、价格、利润率进行了详细阐述，而且还自学微积分、概率论等数学内容，并将其运用到政治经济学的分析中。②国内部分学者也认为，马克思《资本论》中涉及“偶然事件”“不确定性”和“规律性”的描述，并经常使用“平均价格”“平均社会劳动”和“平均利润率”等均值概念，其范畴恰是概率统计的基本数字特征。③更进一步，在研究内容上，马克思所要揭示的是资本主义生产的整体这一复杂经济系统，并致力于发现其运行的基本规律性;而多次选择平均数描述规律性，可能源自对概率统计知识中的一个重要规则——大数定律④的理解，即规律性能在大量随机事件中通过平均数表示。这说明当时马克思已经掌握并初步使用了一些基本的概率统计知识。卡尔-埃里希·福尔格拉夫曾在研究中指出，在研究马克思的代数笔记时发现其中记载着“当他打算说明经济数值的极限、最大值和最小值比例、变化和组合时，他所需要的数学知识”⑤这一信息，而这些数学知识多源自概率统计的相关内容。笔者还发现，作为随机变量的另一个重要数值特征——众数的概念也在马克思的论述中出现过。众数通常是指一组数据中出现次数最多的数值，它能表现数据集的某一特征。马克思在讨论商品的市场价值时指出，市场价值是部门内竞争的结果，在被视为一个部门所生产商品的平均价值之外，也应被视作这个部门平均生产条件下生产的、构成该部门的产品很大数量的那种商品的个别价值。⑥一般条件下，部门内出现最多的那种商品的个别价值决定市场价值。
　　事实上在社会经济中，偶然性事件和随机性事件十分普遍，而概率统计正是研究这种偶然和随机背后的统计规律性的数学分析方法。马克思对偶然事件、随机性和不确定性也有相关论述，诸如生产者在市场售卖所生产的商品时可能存在“惊险的一跃”⑦，即如果商品的使用价值不符合社会的需要，生产者将无法收回投资，这体现了市场交易中存在不确定性;供求实际上从来不会一致，如果它们达到一致，那也只是偶然现象，所以在科学上等于零，可以看作没有发生过的事情。⑧再比如，市场中的不同企业由于生产的产品不同、处于不同部门以及不同经济周期等因素，利润率各不相同;企业雇佣的工人，由于拥有的劳动技能存在一定差异，使得工人之间各自的劳动生产率各不相同，等等。然而，马克思并没有直接使用概率统计的相关方法分析资本主义经济中的这些随机事件和不确定现象，究其原因很可能是因为当时概率统计的发展和数据资源满足不了马克思对逻辑“严谨性”的要求。马克思曾跟恩格斯提到“为了分析危机，我不止一次想计算出这些作为有规则曲线的升和降，并曾想用数学方法从中得出危机的主要规律（而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的）”⑨，可见，马克思即便初步形成了运用随机现象的分布特征发现规律性的想法，但数据匮乏和数理分析技术有限导致他的这一愿望并没有实现。
　　以上仅涉及了马克思《资本论》中的部分内容，但已经表明概率统计能被用于政治经济学的研究。理由是：第一，在方法论上，概率统计作为辅助研究的数学方法与历史唯物主义和辩证唯物主义的马克思基本研究方法并不违背，相反，在唯物辩证法的指导下，更能够满足政治经济学研究的需要，而且马克思《资本论》中已经蕴涵了初步的概率统计内容。第二，概率统计对于研究复杂的经济现象和经济规律是必不可少的工具，能够帮助人们抓住大量复杂经济现象背后的规律性內容，而政治经济学已有的研究中对数理运用的积累为概率统计的使用提供了可能。第三，概率统计具有紧密联系实践的特点，尽管早期概率论因其逻辑“不严谨性”受到批判，但现阶段的概率公理化体系已经逐渐完善，分析方法也取得了不少新进展，并继续处于不断完善和发展中。第四，现代数学的发展、统计技术的创新和大数据的出现都为概率统计的运用提供了数据资料的支撑。本文将从价格、工资及利润率三个基本方面出发，结合马克思的经典论述和已有的相关研究文献对其进行初步的探讨，并在总结的基础上简要指出其对后续研究的启示以及是否能被用于中国现实问题的研究，这或将为拓展并丰富政治经济学的研究做出些许贡献。 　　二、价格能够作为随机变量吗
　　在政治经济学如何具体运用概率统计的问题上，其关键是怎样判断和选择随机变量，进而构建分布函数。因为在马克思的理论框架下，并非所有的变量都可以被视为随机变量，必须慎重地选择和讨论。
　　根据马克思的论述，在现象上，市场中商品的价格千变万化，同种商品在不同时间或不同地点可能会有不同的价格，而在本质的规定性上，商品中的价值是趋于确定的，即“商品的价值是其价格围绕运动的重心，而且价格的不断涨落也是围绕这个重心来拉平的。”⑩那么，价格能够作为随机变量吗？这需要从马克思的相关理论及其后续研究中寻找答案。
　　1.价格的波动及其量上的随机性
　　马克思的著作中涉及了部分关于价格波动以及价格变化“偶然性”和“不确定性”现象的论述。在物物交换时期，“交换价值首先表现为一种使用价值同另一种使用价值相交换的量的关系或比例，这个比例随着时间和地点的不同而不断改变。因此，交换价值好像是一种偶然的、纯粹相对的东西。”B11这表明交换价值在交易频次很少的物物交换阶段会呈现不断变化的情况。而马克思此处的进一步分析中隐含着大数定律的思想，即随着交换市场不断地扩大，商品之间的交换比例也在持续地变化，市场中所有商品的交换比例会因交换次数的不断增加最终处于某个稳定的状态。B12当讨论到价格范畴时，马克思辩证地指出“价格和价值量之间量的不一致的可能性，或者价格偏离价值量的可能性，已经包含在价格形式本身中。”B13即商品价格本身是波动的，并非都是基于商品价值进行出售的，正是这样，价格才会“不断波动，它的涨落，会互相补偿，彼此抵消，并且还原为平均价格，而平均价格是市场价格的内在规则。”B14即市场价格虽然处于不断波动的状态，但内在的平均价格是稳定的，从市场整体看，各个商品的市场价格会形成一个相对稳定的平均价格。事实上，这是中心极限定理思想的一种体现，表明在马克思看来尽管存在质的规定性，价格的波动和不确定性仍是价格本身的特征，这是其可以作为随机变量进行考察的一个原因。
　　如上所述，价格本身在现象上的不确定性使概率统计的相关方法可以得以运用，但仍需解决一个关键问题，那就是需要找到一个马克思主义理论体系内的不变的量对价格进行衡量，而这涉及的是价格在质上的规定性。在马克思看来“有些商品的个别价值低于市场价值，而另外一些商品的个别价值高于市场价值。”B15每个资本家所生产的商品的个别价值由于劳动生产率等因素的不同而存在较大的差异。但是，关于市场价值，如前所述，第一，市场价值是被作为一个部门所生产商品的平均价值;第二，某一商品在该部门的平均生产条件下生产并且占部门内产品的数量很大时，市场价值此时可以被视为该商品的个别价值;第三，在特殊情况下，马克思指出极端值会影响市场价值，但是市场价值依旧是极端值波动的中心，只有当资本主义的生产技术整体提高或下降才会影响市场价值。B16由此可见，在价格的衡量上，马克思使用的是“商品的价值”标准，并运用“商品价值-市场价格-生产价格”的范式分析价格，进而分析其规律性。其后的学者如法约恩（Farjoun）和马克沃（Machover）的观点有所不同，他们简化了马克思的分析过程，直接选择“商品的劳动量”标准衡量价格，指出由于资本主义生产过程中几乎所有生产的商品都包含劳动，所以可以将劳动量（labourcontent）作为衡量商品的唯一标准B17，并将分析过程简化为“商品的劳动量-市场价格”的逻辑框架，提出了具体价格（specific price，Ψ）B18这一随机变量指标，并做了五点假设。B19使用“劳动量”衡量价格的合理性得到格林布拉特（Greenblatt）（2014）的经验证明，他构建了一个“生产-消费”网络，并加入实物与货币流动过程，经过数值模拟证明随机价格与劳动量统计上的相关性很强。B20事实上，笔者认为，商品价值与商品劳动量的含义本质上是相同的。
　　如上所述，由于商品的价格在量上的波动性和不确定性，使其在运用概率统计的相关方法进行研究中可以被作为随机变量。但要注意价格在质上的规定性，所以衡量价格的不变量的选择必须符合马克思劳动价值理论的基本要求。
　　2.概率统计方法在价值转形研究中的初步运用
　　转形问题历来是马克思主义学者们争论的焦点，也是政治经济学数学化的重要领域，关于这一问题的争论也较为激烈。目前，国内外学术界对该问题的研究主要分为：基于鲍特基维茨的以劳动价值论为基础的研究B21、邓肯·弗利提出的“新解释（New Interpretation）”B22理论下的同期单一体系理论（Simultaneous Single System Interpretation，SSSI）和跨期单一体系理论（Temporal Single System Interpretation，TSSI）B23等，在这些理论中，关于生产价格方程的利润率研究中也是假设市场竞争处于平衡状态，即市场是一致利润率。不同于以上的分析范式，法约恩和马克沃基于“具体价格”这一范畴，忽略市场是否形成一致利润率，通过对“P=C+V+M”中的C进行不断拆分，转化为“P=∑V+∑M”，再将等式两边同除商品的劳动量（Λ），并且基于劳动力的价值与商品劳动量相等的假设，得到Ψ=1+e。更进一步，由于资本主义企业通常使用计件工资，满足e ≈ 1，所以得到“具体价格”的均值为2。尽管法约恩和马克沃在分析中犯了“斯密教条”的错误B24，所得结论存在争议，但是这一分析过程是运用概率统计方法分析价值转形问题的初步尝试，值得进一步深入研究和讨论。
　　正是在他们的影响下，后续的部分政治经济学者在研究中开始尝试运用概率统计方法。围绕价值与价格的偏离程度以及投入产出矩阵动态化改进这两方面的研究是最主要的贡献。相比生产价格，投入产出数据证明了马克思的商品价值更接近真实价格。B25保罗·考克肖特和艾林·考特里尔（Allin Cottrell）将垂直综合劳动系数、斯拉法生产价格和TTSI价格进行对比，并在流动资本周转时间相同的条件下，通過概率统计分析和信息熵大小的比较，得到商品价值对其市场价格的估计更准确。B26在投入产出矩阵动态化方面，保罗·考克肖特构建了三部门的矩阵模型并引入动态技术矩阵，得出了再生产过程的价格估计准确性为随机性事件的结论。B27而蒂亚戈·洛佩斯（Tiago Lopes）和恩里克·内格（Henrique Neder）基于斯拉法的投入产出理论，构建了n个部门n种商品的静态矩阵模型，在改变投入产出的生产系数矩阵的前提下，对比分析不同技术条件下价值价格的动态关系。B28但是问题在于，改变系数矩阵的做法忽视了生产技术变化的随机性和不确定性，而且现实中科学技术对生产系数矩阵的影响可能是负向，甚至是非线性的，无法通过投入产出模型进行线性拟合。 　　综上所述，总结目前的研究成果，价格被作为随机变量而展开的研究或将获得价格的渐进分布特征，但在衡量价格的指标选取上容易陷入“斯密教条”，有关分布函数的选择和构建也缺乏严谨的考量。而对于转形问题，概率统计的方法目前仅停留于分析价值、生产价格对市场价格的拟合程度的估计，以及初步改变投入产出矩阵等方面，并未形成核心的分析模型和框架。
　　三、货币工资随机性与收入分布特征
　　同价格的分析类似，劳动价值论同样是马克思分析工资的基本逻辑，尽管马克思在《资本论》中没有充分展开对工资理论的研究，但从其基本逻辑看，资本主义生产方式下雇佣工人的工资在本质上是劳动力的价值。而在现象上，工资的差异和波动同样无处不在，不仅受到生产率、自然条件等因素的影响，还会受到“历史和道德因素”的影响。B29这同样为将工资作为随机变量提供了可能。
　　1.区间内货币工资的随机性与分布规律
　　工资是随机变量吗？关于这个问题，传统的马克思主义者的答案大多是否定的。在他们看来，马克思所研究的资本主义经济中，工资在本质上是劳动力的价值，在量上则是围绕劳动力价值变化的。而且与价格不同，它有明显的边界条件。一方面，资本家为了将剩余价值率稳定在合适的区间会对工人的工资进行控制，马克思指出“把工资限制在与资本增值需要相适应的轨道以内，经济关系的无声的强制保证资本家对工人的统治”B30;另一方面，企业的剩余价值率也不能过高，以免导致工人无法正常完成劳动力的再生產，进而影响企业的再生产。在企业生产过程中，工人的工资既不能过高，也不能过低，而是要在一个资本家看来合理的稳定区间内，这种边界条件的“强约束”似乎不符合随机变量的选择要求，但事实上受多种因素的影响，区间内的工资是不确定的，工资同样可以被看作随机变量，并受到区间的约束，而且随着概率论的发展以及新方法的提出和区间函数的增加，这种分析思路也变得有可能：在对工资进行概率的区间分析中，当取值属于区间内时，有明确的概率数值或者概率密度函数，即表明企业能够继续生产;而当数值落在区间外时，则取值为0，表明企业很可能无法进行再生产，在此基础之上便可以进一步讨论区间内的工资波动规律。同时如何在马克思的理论框架下确定区间边界也值得进一步研究。
　　由于工资在区间内存在较为显著的差异，在分析其特征时，既不能简单地以平均工资衡量，也不能无条件地直接比较不同的工资量。前者一定程度上忽略了总工资中存在的结构性差异;后者则很难进行测量和估计。法约恩和马克沃的研究中给出了一个初步尝试，他们从商品中的劳动量这一范畴入手，提出构建“实际工资”这一变量，即在很长一段时期内，工人的货币工资购买的商品中所包含的劳动量是恒定的，即工人的实际工资所含的劳动量几乎不变B31，而且，货币工资的概率密度函数分布在一定程度上能够体现社会工资的结构特性。在此基础上，法约恩和马克沃运用概率统计方法求出了英国的工资分布，并通过考察同期工资概率密度分布函数，发现其整体分布特征为单峰的正偏分布B32，即右尾长于左尾，这一分布特征表明高收入群体不仅数量少，而且其分布更加稀疏，而工人数量占比很大、且分布更紧密，当分布曲线出现双峰分布时，说明社会上的工资结构明显出现两个阶层，例如工人和管理人员（资本家的代理人），或者黑人工人和白人工人等情况。B33因此，随机工资的概率统计分析不仅能够描述工资的分布特征，还可以用于工资不平等问题的研究，计算不同阶层之间工资的差异程度，显示社会工资的结构性差异。但这项研究在分析过程中普遍缺乏对区间约束的思考和讨论。不同于主流经济学中劳动市场供求均衡的工资理论，马克思对工资的分析重点在于资本家对工人工资的控制，在于资本家和工人阶级围绕利润和工资的长期斗争，在于劳动绝对地隶属于资本后的不平等和剥削本质，我们在研究中的确需要考虑这几个问题。但总体上，结合概率统计分析方法所做的工资问题研究能够体现其结构特征，进而反映社会和阶层的特征，这是政治经济学研究在数理支撑上的一个进步。
　　2.社会收入分配中的幂律分布特征
　　根据前文所述，法约恩和马克沃通过概率统计方法和马克思理论的结合，使用劳动量衡量工资水平，发现工资随机变量的概率密度函数分布整体上存在一定的长尾特征，这表明工资的概率密度函数分布不呈现正态分布，均值的解释性与代表性降低，不平等性显现，极少数人的收入远多于大多数人的收入。针对这一结论，后续学者也做出了进一步的证明。摩西·列维（Moshe Levy）和索林·所罗门（Sorin Solomon）根据福布斯美国400富豪排行榜得出富人的财富分布显著呈幂律分布的结论B34，当幂律分布描述的是不平等的重要函数分布，其累计分布函数呈现一种长尾特征，即常说的“二八原则”。更进一步的，伊恩·赖特（Ian Wright）基于统计力学与概率统计分析方法，将宏观现象与微观影响机制相结合，构建“封闭型社会结构（Closed Social Architecture，CSA）”模型，并使用数值模拟的方法证明了宏观经济中的收入分配曲线服从幂律分布。B35而维克多·雅科文科（Victor M. Yakovenko）通过对邓肯·弗利的统计物理经济学分析方法的回顾，并根据美国人口普查局（US Census Bureau）和美国税务局（Internal Revenue Service， IRS）的真实数据，得出收入最高的3%的富人（the upper class）的分布遵循幂律分布（the power law），而剩余97%的大众（the lower class）的收入分布遵循指数分布的结论。B36同时富人的工资分布处于持续动态变化中，而大众（占97%）的工资分布曲线很稳定。B37基于此方法，安瓦尔·谢克（Anwar Shaikh）所构建的“两部门经济物理的收入分配模型（the econophysics twoclass theory ofincome distribution，EPTC）”中，虽然同样使用的是美国税务局的相关经验数据，最终得到的结论却是工资份额急剧减少、利润份额和收入金融化程度提高，导致社会不平等问题的进一步加剧。B38 　　目前的大部分研究都是运用模拟数据和经验数据证明工资的统计分布规律，其理论模型的基础是统计物理中微观粒子的随机性，以及概率统计分布函数呈现的宏观分布特征，基于此得出的结论是社会收入分配中存在明显的结构性差异，进而证明了资本主义经济条件下的社会不平等问题，这在很大程度上丰富了政治经济学的研究。但仍需要注意识别工资作为随机变量进行概率统计分析时的困难因素，诸如衡量指标的选取、模型的选择、自由度的判断以及如何合理估计分布函数等，现有研究对这些方面的讨论还有一定的不足。
　　四、利润率的微观动荡与宏观稳定分布
　　在是否存在一致利润率这一问题上，中西方学者的看法不同。马克思指出，当商品按照其价值或者接近其价值进行交换时，利润率存在差异是一件无所谓的事情。B39但是，随着资本主义的不断发展，资本在部门内和部门之间的竞争使得商品的交换逐渐转变为按照其生产价格进行交换，从而导致不同部门的利润率逐渐平均化。B40然而，新古典经济学中的完全竞争市场却假设社会中所有企业的利润率是一致的。不同于这两种观点，在更为现实的经济中，笔者认为利润率是非一致的。一方面由于微观个体之间存在结构性差异，关于这点马克思的理论更接近现实，他承认宏观上利润率趋于相对稳定的状态，但并未否定利润率在微观层面的差异;另一方面宏观状态不是微观个体的简单加总B41，所以概率统计同样能够用于利润率的研究，而且成果已经十分丰富。
　　1.為什么利润率是非一致的
　　越来越多的学者透过利润率的总体趋势发现了利润率的波动状态。现代的政治经济学者通常运用国民核算账户中的数据或统计数据计算利润率，并对其变化规律及影响因素进行讨论。谢富胜等按照韦斯科普夫（Weisskopf）的分解方法估算美国非金融部门（NFCB）的利润率，将劳资斗争、价值实现和有机构成因素进行综合，得到的结论是利润率呈现长期波动下降趋势。B42法约恩和马克沃通过计算主要资本主义国家的长期剩余价值率和资本有机构成，发现利润率处于不断的波动状态，并未出现显著的下降趋势。B43艾林·考特里尔和保罗·考克肖特得到了同样的结论，并将其归因于社会的技术变革，即当社会发生技术变革时，一旦社会资本总量急剧增加，产出的利润率短期内无法达到原先的利润率，便会出现下降趋势。但是，随着技术变革的持续展开，社会劳动生产率不断上升，利润率进而会缓慢上升B44，因而社会利润率会呈现波动的情况。
　　关于利润率波动的原因，部分西方学者从现实中的剩余价值转移与争夺可能存在间断、不平稳这一角度进行了分析，认为在商品生产过程中，生产性劳动创造剩余价值，而非生产性劳动则消费剩余价值，资本家会通过不断竞争的过程获取更多的剩余价值，使“总剩余价值=总利润”。但是在不断的竞争过程中，由于各部门的剩余价值量在不断地变化，进而使得经济中生产性与非生产性部门之间的关系更加不稳定，甚至会出现以工业为主导和以金融业为主导的资本家之间相互争夺剩余价值的问题。B45由于金融部门的资本周转速度快于工业资本，通常情况下，其利润率也更高，因此，更多的资本流向高利润率的金融部门，甚至企业也会将未分配利润这部分流动资金投入金融部门，或者企业的所有者中直接包含着金融机构。B46然而由于金融市场收益的不确定性更加明显，因此企业的利润率也更加随机和不确定。在这方面国内学者的研究重点更偏向微观层面，比如基于国际贸易的角度，张少军指出外包冲击对于小企业和低技术企业的影响更强，使得企业的生产与就业持续地波动，进而影响企业的利润率B47;赵峰等在拆分利润率后发现短期内非金融企业的利润率波动主要受到资本有机构成变化的影响，其次分别是产能利用率和利润份额B48，但是不同阶段这三个要素的重要程度会有所变化。以上研究与讨论主要集中于利润率的波动性以及影响其波动的原因，从理论和经验上验证利润率的非一致性。而正是因为利润率的这一特征，使其可以作为随机变量用于概率统计特征或分布特征的研究。
　　2.利润率分布的厚尾性及其成因
　　法约恩和马克沃提出利润率的统计分布是大量个体企业独立运行的结果，并且通过经验数据得到英国企业的利润率呈现伽马分布，负利润率的企业占比很小的结论。B49邓肯·弗利基于统计力学和概率统计的方法，开创性地使用最大熵原理进行分析，指出了企业作为市场重要的组成部分，正是彼此之间的相互竞争行为最终使得所有企业利润率的整体分布保持在一个相对稳定的状态。B50基于相同的理论基础，埃利斯·沙弗纳克和格列戈尔·西米纽克筛选了COMPUSTAT（Compustat Annual Northern American Fundamentals）数据库中的相关数据，得出经筛选后的企业利润率近似地服从双指数分布或拉普拉斯分布的结论B51，同时还得到利润率所遵循的分布有所不同，但是这些分布均存在厚尾特征的结论。B52
　　根据大数定律，尽管当同类事件大量发生时随机扰动的因素可以忽略不计，但是由于经济发展与运行过程不可重复，噪声因素的影响不可逆，需要对利润率这一随机变量进行适当的分解，剔除噪声因素。有些学者已经注意到这一点，西蒙·阿尔法拉诺（Simone Alfarano）等在得到利润率为平稳分布结论基础上构建了利润率的最大熵的拉格朗日模型，进而对利润率进行分解，将其分为漂移过程与扩散过程，其中扩散过程类似白噪声，而漂移过程则是系统的变化趋势，体现出其对噪声因素的思考。B53但在数据选取上，西蒙·阿尔法拉诺等只选取了存活时间大于27年的企业数据B54，埃利斯·沙弗纳克和格列戈尔·西米纽克依旧使用COMPUSTAT数据库提供的数据，并用吉布斯（Gibbs）方法对数据进行扩展，剔除了政府、金融部门、房地产部门的数据，同时改进西蒙·阿尔法拉诺等的拆分方法，将利润率拆分为“信号因素+噪声因素”，剔除噪声因素，得到利润率稳定的拉普拉斯分布。B55其实，在利润率的分解过程中，剔除短期影响利润率的成分，便能够发现宏观经济中的结构特性。 　　企业间的竞争与利润率随机变量之间存在的双向因果效应会使利润率的随机性更强。因为企业之间的竞争不仅来自内部因素，更来自外部因素。前者因企业之间相互竞争导致部门的利润率发生变化，后者则是企业根据不同部门利润率的高低选择将资本投入或撤出的行为。因此，西蒙·阿尔法拉诺等通过构建利润率的最大熵的拉格朗日模型，得到了部门内的竞争压力越大利润率的均等化程度越强的结论。B56而埃利斯·沙弗纳克和邓肯·弗利利用条件概率理论分析利润率与竞争（进入部门与否）行为的双向因果效应，其最大熵模型的核心依旧是基于亚当·斯密的竞争理论构建两类逻辑量子响应函数的基础分析框架，一是在限制混合策略熵的条件下最大化期望效用;二是在满足最低期望效用下的最大混合策略负熵模型B57，根据该模型方法可以推断利润率对企业进入或退出行为的影响，以及企业进入或退出行为对部门利润率分布的影响。这一构建方式与新古典经济学中理性的个人与企业的最优选择模型相类似，值得斟酌。
　　综上，由于部门间剩余价值的转移、资本有机构成、产能利用率等因素的影响，各部门利润率存在明显的波动性，所以利润率可以作为随机变量，目前的研究已得到如下初步结论：市场中企业的利润率整体分布相对稳定，但是微观层面，各企业的利润率处于不断变化的动态过程中。而且，利用最大熵的方法分析企业的进入或退出行为与部门利润率之间的双向因果效应，可以在有限的信息下得出较为准确的利润率分布，但需注意分析过程中的技术细节，如噪声因素的剔除、符合政治经济学基本框架的理论模型构建等。
　　五、结论与展望
　　概率统计是分析随机现象规律性的重要数学工具，已经广泛应用于多个领域，并且因为其方法论上的非互斥性、研究内容上的重叠性以及概率统计分析体系的成熟性和数理统计技术的进步这四个因素，使得其可以用于政治经济学的研究。在具体的应用中，马克思理论框架下的价格、工资和利润率三大经典范畴均可以视为随机变量，进而运用概率统计方法进行分析。目前已有部分国内外学者关注到该领域并发表了一些研究成果。但是经过分析和总结发现，运用概率统计方法进行政治经济学的研究中还存在一些难点：即在符合马克思理论的前提下，如何确定合适的衡量指标、约束条件以及构建相应的分布函数？我们认为在质的规定性上，首先应明确在马克思的理论框架下，劳动价值论是质的分析起点，价格、工资、利润率这三个随机变量必须遵循基本的价值规律，以避免陷入庸俗化。具体而言，必须看到价格的背后是价值;工资的背后是劳动力的价值;利润的背后是剩余劳动的价值。因此，需要按照“价值”这一核心范畴确定这三个量的统计指标，但同时也不能陷入传统的僵化，停留在难以量化的抽象指标上进行循环讨论，这是量化马克思主义理论最主要的难点之一。关于这一点，法约恩和马克沃的研究值得深入讨论，他们着眼于“劳动量”这一内容，构建出“真实价格”“实际工资”和“剩余价值率与资本有机构成”等指标，进而对价格、工资和利润率的分布规律所做的阐述有一定的借鉴意义，但是，也要注意到，他们在拆分商品价格构成时犯了“斯密教条”的错误。其后，保罗·考克肖特和邓肯·弗利对这一问题进行了修改。总之，概率统计分析方法及其相关的新方法的发展是能够解释和支撑马克思理论中的相关内容的，如价值转形、收入分配和利润率统计分布及成因等。但实际研究中需要注重方法的现实可行性，不能仅浮于工具性的使用，忽略对关键因素是否符合马克思基本逻辑和方法论的解释和考察。
　　目前在如何运用概率统计方法展开政治经济学研究的问题上仍处于初级阶段，但概率统计无疑将极大地丰富政治经济学的研究。相对于新古典经济学的一维、线性、均衡的思想体系，将理论和经验分析拓展为多維、非线性、非均衡的分析体系，使研究更贴近真实情况，这是政治经济学研究在未来发展和进行理论创新的重要方向。在价格的研究上，重点仍然是转形问题的模型改进与合适的估计指标的选取。在收入分配方面，虽然已有文献提出了某一时期内存在社会结构差异的观点，但是缺少对社会结构性演变过程的分析。未来可以尝试将概率统计的分析方法与大量的收入分配数据相结合，以探讨社会结构变化的过程性特征。利润率方面，后续研究可以尝试基于中国实际，在模型中加入宏观经济政策或产业政策的影响变量以及国际因素等。对经验数据的综合分析，可以尝试使用新的统计技术或大数据分析方法，扩展数据集，使研究更符合现实。
　　① 马克思：《马克思数学手稿》，北京：人民出版社，1975年。
　　② Alain Alcouffe， “Julian Wells. Marx， Maths， and MEGA 2，”MPRA Working Paper， 2017.
　　③ 李鸥：《〈资本论〉量化分析方法探析》，《马克思主义研究》2006年第5期。
　　④ 大数定律通常是指大量随机事件重复发生，这一随机事件会呈现某一必然的规律或必然的结果。
　　⑤ 卡尔-埃里希·福尔格拉夫：《马克思与数学》，《政治经济学报》2017年第1期。
　　⑥ ⑧ ⑩ B16 B39 B40 马克思：《资本论》第3卷，北京：人民出版社，2004年，第199、211、199-200、203-204、197、193-202页。
　　⑦ B11 B12 B13 B14 B15 B30 马克思：《资本论》第1卷，北京：人民出版社，2004年，第127、49、140、122-123、189、199、846页。
　　⑨ 马克思，恩格斯：《马克思恩格斯全集》第33卷，北京：人民出版社，1995年，第87页。
　　B17 B19 B31 B32 B33 B43 B49 Emmanuel Farjoun， Moshe Machover，Laws of Chaos-A Probabilistic Approach to Political Economy，London：Verso，1983，pp.83，111-112，131，99，109，109-111，177-178. 　　B18 具体价格Ψ = π / λ，即当卖出某一特定商品时，卖出的确定的价格π与商品所包含的劳动量λ的比值。
　　B20 Greenblatt， R. E，“A Dual Theory of Price and Value in A Mesoscale Economic Model with Stochastic Profit Rate，”Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，vol.416，2014，pp.518-531.
　　B21 保罗·斯威齐：《资本主义发展论》，北京：商务印书馆，2016年，第152-164页。
　　B22 Duncan Foley，“The Value of Money the Value of Labor Power and the Marxian Transformation Problem，”Review of Radical Political Economics，no.2，1982，pp.37-47.
　　B23 孙小雨：《回归马克思——价值转形理论的新发展》，《中国经济问题》 2019年第2期。
　　B24 “斯密教条”错误，即将商品的价格=“工资+利润”。每个企业在每次生产过程中将企业i+1的利润经过拆分为“企业i+1的利润=企业i的工资+企业i的利润”，以此类推，最终得到“商品的总价格=总工资+总利润”。
　　B25 Nils Frhlich，“Labour Values， Prices of Production and the Missing Equalisation Tendency of Profit Rates： Evidence from the German Economy，”Cambridge Journal of Economics，no.5，2013，pp.1107–1126.
　　B26 Paul Cockshott， Allin Cottrell，“The Scientific Status of the Labour Theory of Value，”Working Paper， 1997.
　　B27 Paul Cockshott，“Sraffa's Reproduction Prices versus Prices of Production： Probability and Convergence，”World Review of Political Economy，no.1，2017，pp.35-55.
　　B28 Tiago Camarinha Lopes， Henrique Dantas Neder，“Sraffa， Leontief， Lange： The Political Economy of Inputoutput Economics，”Economia，no.2，2017，pp.192-211.
　　B29 方敏、赵奎：《解读马克思的工资理论》，《政治经济学评论》2012年第3期。
　　B34 Moshe Levy， Sorin Solomon，“New Evidence for the Powerlaw Distribution of Wealth，”Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，no.1-2，1997，pp.90-94.
　　B35 Ian Wright，“Implicit Microfoundations for Macroeconomics，”Economics： The OpenAccess， OpenAssessment EJournal，no.3，2009.
　　B36 Victor M. Yakovenko，“Applications of Statistical Mechanics to Economics： Entropic Origin of the Probability Distributions of Money， Income， and Energy Consumption，”Papers，2012.
　　B37 Victor M. Yakovenko， J. Barkley Rosser，“Colloquium： Statistical Mechanics of Money， Wealth， and Income，”Review of Modern Physics，no.4，2009，pp.125-145.
　　B38 Anwar Shaikh，“Income Distribution， Econophysics and Piketty，”Review of Political Economy，no.1，2017，pp.18-29.
　　B41 Anwar Shaikh，CapitalismCompetition， Conflict， Crises，London：Oxford University Press，2016，pp.75-78.
　　B42 謝富胜、李安、朱安东：《马克思主义危机理论和1975—2008年美国经济的利润率》，《中国社会科学》2010年第5期。
　　B44 Allin Cottrell， Paul Cockshott，“Demography and the Falling Rate of Profit，”American Institute of Physics Conference Series，no.1，2006，pp.134-137.
　　B45 Jonathan F. Cogliano，“Surplus Value Production and Realization in Marxian Theory——Applications to the U.S.，”Dickinson College Department of Economics Working Paper Series，no.1，2017. 　　B46 迪梅尼尔、莱维：《新自由主义的危机》，北京：商务印书馆，2015年，第93-97页。
　　B47 张少军：《外包造成了经济波动吗？——来自中国省级面板的实证研究》，《经济学（季刊）》2013年第2期。
　　B48 赵峰、季雷、赵翌辰：《中国非金融企业利润率动态的长期和短期影响因素分析：1992～2014》，《当代经济研究》2017年第10期。
　　B50 Duncan Foley，“A Statistical Equilibrium Theory of Markets，”Journal of Economic Theory，no.2，1994，pp.321-345.
　　B51 Ellis Scharfenaker，Gregor Semieniuk，“A Statistical Equilibrium Approach to the Distribution of Profit Rates，”Metroeconomica，no.3，2016，pp.465-499.
　　B52 朱利安·威尔斯、丁晓钦：《肥猫有厚尾——从金融危机到“新”盖然马克思主义》，《海派经濟学》2011年第3期。
　　B53 B54 B56 Alfarano S， Milakovié M， Irle A， Kauschke J，“A Statistical Equilibrium Model of Competitive Firms，”Journal of Economic Dynamics & Control，no.1，2008，pp.136-149.
　　B55 Gregor Semieniuk， Ellis Scharfenaker，“A Mixture Model for Filtering Firm's Profit Rates，”Sylvia FrühwirthSchnatter， Angela Bitto， Gregor Kastner， Alexandra Posekany ed.， Bayesian Statistics from Methods to Models and Applications，Springer International Publishing，2015，pp.153-164.
　　B57 Ellis Scharfenaker， Dunan Foley，“A Maximum Entropy Solution to Quantal Response Equilibria in Economic Models，”Working Paper，2017.
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