高等数学中换元法的教学探讨
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摘 要：换元法是极限运算中一个非常重要的内容，对于理解两个重要极限及等价无穷小，并运用其来求极限有着不可或缺的作用。然而高等数学的教材中对此却语焉不详。该文弥补看教材的缺陷，介绍了换元法的理论依据为复合函数极限运算法则，并结合等价无穷小，探讨了换元法在一元函数极限中的应用，帮助学生更好地理解极限;进一步推导出一元复合的多元函数的极限运算法则，把换元法推广到二元极限的运算。
关键词：换元法 复合函数 极限 等价无穷小
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）02（c）-0132-03
Abstract：The abstract should briefly state the problem or purpose of the research，indicate the theoretical or experimental plan used， summarize the principal findings or the significant results， and point out major conclusions. All letters must be accompanied by an abstract containing about 200 words and at least 6 single sentences. Acronyms should be provided their full names.
Key Words：Method of substitution;Composite function;Limit;Equivalent infinitesimal
高等数学是理工类学生必修的一门公共基础课，其难度较大。极限是高等数学中的一个重要的内容。两个重要极限及等价无穷小在极限运算中起着非常重要的作用。然而，学生在学习两个重要极限及等价无穷小的时候，并没有能够很好地理解其内容。他们总是以为自变量一定要趋于零才行，要给出清楚的解释，需要换元法，但是，在高等数学的教材中，对换元法的应用却语焉不详，只是举出了一两个例子。针对此情况，相当多的论文对于换元法在一元二元函数极限中的作用，做了不少的探讨[1-4]，然而这些论文中，并没指出换元法的依据，而且对换元法的讲述不成体系。该文指出复合函数运算法则为函数换元法的理论依据，并把高等数学中一元复合函数运算法则推广到二元函数中，这样就把换元法置于复合函数运算法则的框架之下。
1 一元函数极限换元法的理论依据及其应用
换元法的理论依据为一元函数复合函数极限运算法则，其内容如下。
定理1[5]：设函数是由函数及复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。
该定理可由推广到，结论也成立。该定理表明，如果函数满足该定理的条件，则做代换可把求转化为求，其中。该算法即为换元法。然而在课本的后续学习中，并没有给出足够的例子说明该法则的使用。事实上，换元法在理解两个重要极限和等价无穷小中有着非常重要的作用，若能结合等价无穷小，换元法在计算中也起着非常重要的作用。
1.1 换元法帮助理解两个重要极限
两个重要极限在极限运算中扮演着非常重要的角色，后面的等价无穷小也跟其有着密切的联系。理解好两个重要极限，对于极限运算有着非常重要的作用。然而要理解好两个重要极限并不容易。
第一个重要极限为：。很多同学以为一定要，他们不能理解，也不能理解，因为在他们看来，这两个极限的并未趋于0。这时候，用换元法去解释是最好的，例如：
1.2 换元法在等价无穷小中的应用
明，由二元函数推广到元函数，结论仍然成立。该定理表明，如果函数满足该定理的条件，则做代换可把求转化为求，其中。该算法即为换元法。二元函数换元法能把一元函数两个重要极限和等价无穷小的相关结果很容易推广到二元函数极限中，从而对求二元函数极限带来极大的帮助。
2.1 换元法推广两个重要极限
两个重要极限在极限运算中扮演着非常重要的角色，后面的等价无穷小也跟其有着密切的联系。理解好两个重要极限，对于极限运算有着非常重要的作用。接下来利用定理3推广此两个极限。
可把第一个重要极限推广为：
该文弥补了教材的缺陷，系统介绍了换元法的理论依据及其在极限运算中的应用，并推广了相关的结果。
参考文献
[1] 丁艳凤，张玉玲.换元法在求极限中的应用举例[J].科技创新导报，2015（34）：249-250.
[2] 李德樂.浅谈两个重要极限的换元法[J].现代职业教育，2016（12）：135-136.
[3] 冯英杰，李丽霞.二元函数极限的求法[J].高等数学研究，2003，6（1）：33-44.
[4] 叶建兵.二元函数与一元函数的几个转化问题[J].长春大学学报，2016，26（2）：23-25.
[5] 同济大学数学系.高等数学[M].第7版.北京：北京高等教育出版社，2016：43-44，54-55.
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