新型紧致WENO5格式

来源:用户上传      作者:孙阳 李兴华 艾晓辉

　　摘 要：随着科学研究的不断深入，目前已有的计算格式仍未能满足人们对流体力学数值模拟研究的高精度、高分辨率、高效率及较强稳定性的要求。针对紧致型WENO格式的计算精度、计算效率及稳定性等性能进行了考察，构造了新型的紧致型WENO格式。数值实验表明：新型紧致WENO格式在保持原紧致WENO格式分辨率的前提下，计算速度有明显提高，计算时间显著减少。因此，研究可以说是对高精度数值方法研究方面的有益补充和探索。
　　关键词：高精度;紧致型WENO;守恒律方程;时间离散;有限差分法
　　DOI：10.15938/j.jhust.2020.01.024
　　中图分类号： O24
　　文献标志码： A
　　文章编号： 1007-2683（2020）01-0154-05
　　Abstract：With the continuous deepening of scientific research， the current calculation schemes is still unable to meet the requirements of high accuracy， high resolution， high efficiency and high stability for numerical simulation of fluid mechanics. In this paper， we investigated the performance of computational accuracy， computational efficiency and stability of compact WENO scheme， and constructed a new compact WENO scheme. The numerical experiment results show that the new compact WENO scheme can improve the calculation speed obviously and reduce the calculation time significantly on the premise of maintaining the resolution of the original compact WENO scheme. Therefore， this study can be regarded as a useful supplement and exploration for the research of high accuracy numerical methods.
　　Keywords：high accuracy; compact WENO; conservation laws equations; time discretization; finite difference method
　　0 引 言
　　隨着计算机技术和计算流体力学的发展，数值模拟以效率高、投资小、周期短等诸多优点，在航空航天、气象等多个自然科学领域中起着相当重要的作用。计算流体力学的数值方法主要有有限差分方法，有限元方法以及有限体积方法等。有限差分法是对方程的微分形式进行离散，它由于形式简单、编程容易实现且计算速度快，被广泛地研究和应用，特别是对于多维问题其优点更加明显，适合求解比较规则的区域上的流动问题，但是它不适合处理复杂的几何外形问题。有限元法首先是在固体力学中发展起来的，而后又移植于流体力学中，它用于流体力学计算的历史比有限差分法要晚，计算工作量比有限差分法要大。但它在处理复杂的几何边界时十分灵活方便，求解步骤规范化，易于编制通用程序。然而，叶轮机械流场中常常会有激波、漩涡以及分离等现象，具有非常强的非线性特征，传统的有限元法遇到了很大的困难。有限体积法（Finite Volume Method，FVM）[1-5]是通过对散度型方程在控制体上积分，把体积分转换成控制体表面法向通量面积分的一种计算方法，在一阶精度有限体积方法是对方程的积分形式进行离散，由于保持了物理量的守恒，并且可以对区域进行任意网格剖分，可根据实际需要加密和疏松网格，适合处理复杂的几何外形问题，近年来已成为模拟复杂流动的重要方法，得到了广泛地应用。目前大多数商业软件和工程软件广泛采用的方法，如Fluent、NUMECA以及中国空气动力研究与发展中心研制的亚跨超和高超声速CFD软件平台等都是采用有限体积法。
　　为了能够更加高效地捕捉到间断，并且避免间断附近出现数值振荡，计算流体力学及计算数学等领域一直致力于研究稳定高效的数值计算方法。1983年，Harten提出了TVD（Total Variation Diminishin）概念并构造了具有二阶精度的TVD格式，TVD[6-10]概念被广泛应用到构造无波动激波捕捉格式的构造。TVD类格式的发展以及计算机硬件技术的进步使得CFD技术在二十世纪八十年代中后期以来取得了迅猛的发展，并在航空、航天领域取得了极为广泛的应用，可以说TVD类格式的出现奠定了目前计算流体力学在工程应用中的地位。在一般问题中，在流动均匀区域计算精度达到二阶就能够模拟实际的流动，然而随着航空航天技术的发展，应用问题日趋复杂化，例如高超音速环境使得叶轮机械的气动加热问题严重;另外，在激波与附面层的干扰区，不仅需要高分辨率的捕捉激波位置，准确的计算出物理粘性也很重要;此外，还有湍流、热流以及摩阻等方面的工程问题，这些都使得目前基于TVD性质发展的并得到广泛应用的一类二阶精度格式难以满足工程需要。为真实刻画流场内流动细节，人们纷纷要求采用高精度数值离散方法。因为高精度数值方法的耗散误差和色散误差较小，这使得其差分方程与微分方程之间差别减小，从而在同样条件下高阶数值能够分辨出更加精细的流场结构，捕捉到更细微的结构变化。高精度数值方法的的优势还体现在它能够降低对网格数目的要求。因此，发展高精度（三阶以上）计算方法研究已经成为计算流体力学的一个重要发展方向。紧致型WENO格式以其高精度和紧致特性成为其中的一个研究方向。 　　4 結 论
　　本论文主要研究流体力学的高精度高分辨率差分格式。对于两类高精度高分辨率差分格式 WENO 格式和紧致型WENO格式予以了分析讨论。通过对不同数值格式的考察和分析，从非线性谱分析出发，构造了二对角的紧致型WENO格式。针对原有的三对角紧致型WENO格式进行了研究和改进。紧致格式具有基架点少、分辨率高的优点，而WENO格式具有较强的数值稳定性，将二者优点结合的紧致型WENO格式可以说是较为优秀的新型高精度计算格式。但由于三对角的紧致型WENO格式需要求解三对角方程组，且存在大量矩阵的逆运算，势必会影响计算速度，因此本章构造基于两个通量重构、四个基架点的计算公式的二对角紧致型WENO格式。这样避免了矩阵求逆过程，提高了计算效率，计算速度仅高出WENO5的15%。改进的格式较原格式计算时间大大降。
　　下一步作者将试着将推广到高维守恒律方程方程组问题以及叶轮机械数值模拟平台当中，现公式推到已经完成，正在进行数值实验，以得到较优结果。
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　　（編辑：王 萍）
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