数学观察能力的意义、特点及培养路径

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　　摘要：数学观察能力是获取数学信息、加工数学信息的重要能力，具有目的性、有序性、取舍性等特点。培养学生的数学观察能力应落实在平时数学概念、运算法则、思维训练、解决问题的教学过程中，激发浓厚的观察兴趣、培养正确的观察方法、锤炼良好的观察品质等是可行路径。
　　关键词：数学观察能力；意义；特点；路径
　　中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2015）06C-0025-04
　　一、数学观察能力的意义
　　观察是以感知为基础，有目的、有选择地认识事物本质与规律的一种方法。在数学学习中，观察可为思维的展开提供感性材料，便于进一步发现问题、提出问题。常用于形成概念、导出原理过程中发现事物的共性与规律，获取解题过程中的有用信息。
　　观察能力是构成智力的一个重要组成部分。数学观察能力是一种有目的、有计划、有选择的较持久的数学感知能力。在获取数学信息方面表现为，对于数学材料形式化感知的能力，对问题形式结构的理解能力，对数学现象本质特征的洞察能力；在加工数学信息方面表现为，准确概括数学关系和迅速进行数学运算的能力，简化数学思维过程和简便运算的能力，以相似的结构和迁移的方法进行思维的能力。因此，它是关联着理解、思考，有目的、有计划的多种感知觉的综合活动。
　　二、数学观察能力的特点
　　（一）目的性。目的性是保证观察能够按照一定的方向和目标进行的重要特点之一。人在没有明确的目的感知水温冷热、色彩冷暖时，只是一般感知，不能称为观察。只有当感知活动具有探明事物本质特征的目的时才是观察。
　　数学观察能力的目的性是指解决数学问题。解题的第一步就是审题，审题的特质即观察，弄清题目已知什么条件与要求解什么结论；第二步能否实现概念的转化，其条件和结论可转化成什么，由此能否建立条件和结论之间的联系；第三步带着思考观察题目，还可挖掘出一些隐含条件，看看哪些条件还未用到，未用到的条件换个说法是什么，与要解决的问题有何联系。如此追问，确保感知题意的每个环节都有明确的目的。
　　（二）有序性。从局部入手，有条理地思考整体解决问题的办法，要求观察既要循序渐进，又要全面系统。例如：求1+22+33+44+…20002000的和的末位数字。
　　要求和的末位数字，观察的末位数字是什么，再看有什么规律、能组成以多少为周期的循环序列。首先观察前10个数的末位数字1、22、33、…，1010，依次为1、4、7、6、5、6、3、6、9、0；再观察1111、1212、1313…，2020的末位数字依次为1、4、7、6、5、6、3、6、9、0。这样所有的末位数字组成以10为周期的循环序列，而且每个循环节和的末位数字是7。因此，由1开始，1+22+33+42+…+20002000可化为200个循环节。所以，原式的末位数字和是×200，即原式末位数字是0。
　　（三）取舍性。感性认识与理性思考是观察力的主要因素。理性思考具有把握事物本质特征的作用，它可使人们及时地把握观察到的客体意义，增强观察的完整性、真实性和深刻性，便于取舍与选择。
　　在观察过程中，运用基本的数学方法，有效地比较、分类、分析、归纳、综合，考察问题的各部分及整体特性，就会使人们易于把握问题的整体和部分。例：计算1+2+3+…+100的和。
　　求和问题，将数一个一个累加，当然能够算出结果，由于加数多就麻烦了。在观察和式加数特点的同时，将不同加数转化为相同加数相加，再将加法化为乘法可简便地解决问题。按100+99+98+…+1结果，与原式是相等的；将此式与原式相加，再观察其部分的特点，1+100、2+99、3+98、…、100+1都相等。这就是倒序相加法。
　　（四）敏锐性。观察的敏锐性指善于发现易被忽略的信息。有些问题直接求解不易入手，可间接解决。如从数形结合的角度，将数量关系转化为位置关系，借助几何图形，可使问题得到巧妙解决。
　　（五）全面性。要获得观察对象的全部信息，在观察过程中，不仅要注意到事物比较明显的特征，更要考察事物比较隐蔽的特征。许多数学应用问题的背景设置与求解工具是不一致的，因而全面观察命题的构成是很重要的。
　　观察力的各种特点在学习活动中有各自不同的体现。观察的目的性是学习目的性的一个有机组成部分，它保证学习能够按照一定的方向和目标进行；观察的计划性，是循序渐进地学习不可缺少的心理条件，有助于学习者获得系统化的知识；观察的取舍性有助于学习者对知识的理解；观察的敏锐性有助于学习者学会善于发现易被忽略的信息；观察的全面性有助于学习者能全面深刻准确地领会获得的知识。在学习中，必须把观察力的各种品质结合起来，按照预定的目标去获得系统的、深刻的、真实可靠的感性知识。
　　三、数学观察能力的培养路径
　　（一）注重在数学概念教学中建立正确的观察目的
　　数学概念教学常常采用温故知新、直接启发、巧设悬念、实验演示、类比引导、情景创设等教学方法，目的是引导学生主动地、自觉地、有意识地观察认识数学概念的本质特征。这样不仅使学生明确学习新知识的必要性，而且还能引起学生认知冲突，启动思维机制，甚至激发积极愉快的情绪，从而产生积极的思考活动。如在角的概念推广教学中，运动员掷链球时，观察旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？在函数单调性的概念教学中，可提出问题，引导学生：观察图象的变化趋势概括出当自变量增大时函数值的变化规律。
　　问题驱动，使学生感知活动带着问题、带着任务按预定的方向和目标进行观察，既激发了学生观察的兴趣，又使学生意识到有效观察离不开正确的观察目的。
　　（二）注重在运算法则教学中培养正确的观察方法
　　数学学习中，无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现、综合分析能力的提高等都离不开认真、仔细的观察。如学生在运算中的许多差错，不善解题意、不善于对公式进行“等价变形”，通常与观察能力不足分不开。运算是指根据运算法则与公式对具体对象进行变形的演绎过程。数学运算通常包括数值计算、式的恒等变形、方程与不等式的求解，函数的初等运算、超越运算、微分、积分运算，各种几何量的测算，概率统计的初步计算等。因此，运算法则教学是培养学生学会观察的重要载体之一。在教学中，要针对大多数学生缺乏生活经验和独立、系统的观察能力，在观察事物时，往往抓不住事物的本质，或者看得粗心、笼统，或者缺乏运用已有知识经验观察，甚至观察无序等问题。可采用问题导向、任务驱动等教学方法，引导学生学会观察、欣赏地进行恒等变形与图形的变换，保证观察的正确性，进而培养正确的观察方法。 　　如培养学生学会解剖观察方法时，可把观察对象分解成两个以上的部分进行观察。引导学生明确整体是由部分构成的，在观察整体的同时，还应观察其部分的特性，从部分中把握整体，这样，就能抓住解决问题的关键，使解题过程简化。像“利用样本估计总体”就是统计的核心思想。
　　（三）注重在思维训练教学中锤炼良好的观察品质
　　观察能力的培养主要体现在观察品质中，它包括观察的变通性、批判性、严密性、发散性等品质。应从创设问题教学情境、优化教学方法、挖掘教学内容、设计教学过程、强化思维训练等方面培养学生的观察品质。
　　1.数学观察的变通性。观察的变通性是指观察角度调整的及时性以及观察中思维的发散性、就是引导学生善于从习惯的思维模式或通常的题型求解套路中摆脱出来。根据数学观察变通性的主要表现，应从以下几个方面训练。
　　透过现象看本质。变通首要的是抓住问题关键、抓住问题本质。心理学告诉我们，感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。持久的知觉要达成有效的目的，离不开透过现象看本质。任何一道数学题，都是由一定的数学命题构成的。要想解决它，就必须观察题目所给的具体条件与关系，对其进行深入的、细致的、透彻的观察与思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
　　把握特征联想。联想的过程就是变通的过程，联想是问题转化的桥梁。有一定难度的数学问题，其中所隐含的解决办法都是不明显的、间接的。因此，解题的方法如何选择，取决于能否从观察对象本质特征出发，灵活运用有关知识与方法，从相同、相近、相似角度联想或揣想，寻找问题解决的突破口。
　　换个说法转化。转化是数学解题的一种十分重要的思维方法。其本质特征就是换个说法。具体地讲，转化就是把复杂问题转化成等价简单明了的问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时应善于将题目中的关键词、语段或观察到的具体特征换个说法，以实现转化的目的。
　　2.数学观察的批判性。数学观察的批判性表现在观察活动中就是指不盲从、善于发表独立见解。当所要解决的数学问题较为复杂即面对数量关系或位置关系时，直接观察一般难以入手，这就要思考从其他角度观察，从而在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法。根据数学观察批判性的特点，可从以下几个方面训练。
　　学会质疑。学贵有疑。朱熹说“读书无疑者，须教有疑，乃能骤进。”亚里士多德说过：“思维从疑问和惊奇开始”。当问题较为复杂，思路、方法不够明确时，可设疑――问题能否再简单一些或特殊一些，通过观察具体的、特殊的情况，与原命题进行比较，从而探求解题思路和方法。当然，只有牢固掌握基础知识，才能简化问题。同时，在解题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，也是批判性的体现。
　　善于反思。当问题较为抽象，题意不够明显，思路、方法难寻时，一般可反思问题能否具体些；一些从正面观察难于解决的问题，可反思――能否从其反面观察，使题意明确，思路清晰，方法便捷。同时也要养成在观察过程中反问自己：观察所得结论有根据吗？观察正确吗？这是最终结果吗？只有步步为营，稳打稳扎，才能确保观察正确无误。
　　勇于思考。认真思考是批判性思维的基本要素之一。在观察中思考，就是要寻找更好的观察点、决定或者判断。有时往往受思维定势或别人提示的影响，观察时盲目附和，不能提出自己的看法、发表不同见解，就不利于提高思维品质。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，有自己独到的见解，才能将感性认识上升到理性认识。如对于一般函数的定值、定点等问题，直接求解一般难于解决，这时，可根据题设要求仔细观察思考特殊状态下呈现出来的性质和规律，然后类比解决。
　　3.数学观察的缜密性。周密、细致是观察者能真实、全面反映观察对象具体特征的内在要求。由于数学概念具有高度抽象性和论证具有严密逻辑性的特点。要求获取与加工数学信息的观察过程，既要明确观察目的，又要遵循严格的逻辑规则。但是，由于学生已有知识经验的差异以及精益求精心理品质的差异，学生的观察过程常常出现不严密现象，应教导学生明确观察目的、全面考察内容，养成细心的、一丝不苟的观察习惯。
　　4.数学观察的发散性。数学观察发散性指的是对一个对象能从多种角度观察。在教学中可采用举一反三、触类旁通办法，引导学生发现规律。如有些数学题，教师可对例题进行有目的、多角度的演变，调换命题的题设和结论，指导学生经过一题多变的观察和思考，在解题过程中开阔思路，寻求多种方法解决问题，使学生认识到“办法总比问题多”。等差数列通项公式、前n项和公式的应用，通过变式可使学生明白“知三求二”的道理。
　　题型变式可从不同角度调换问题的题设和结论，解法不尽相同，但是它们都依据了公式。这样教学为学生从不同角度去观察问题、思考问题，用不同方法解决问题提供了丰富的材料，使学生的知识在更广阔的领域内循环，观察的敏锐性得以培养和练习，在突破学生聚合思维模式上具有一定的意义。
　　（四）注重在解决问题教学中提炼灵动的观察策略
　　观察策略就是为了实现观察目标，事先制定的观察预案，并且，在实现目标的过程中，根据对观察对象理解的变化来制定出新的方案，或者根据对观察对象理解的变化选择相应的方案。由此可见，灵动的观察策略体现的是生成性学习水平。在解决问题教学中要善于站在哲学的高度，用联系的观点、矛盾的观点、运动的观点，指导学生有目的地、全面地、精确地、深刻地、有序地观察数理、空间、结构等，引导学生把握灵动的观察策略，从而学会科学地思维，发展智力。
　　1.问题设计要精选素材，体现观察策略特征。
　　策略本质特征就是在一个大的“过程”中进行的一系列行动、思考、选择。解决问题的策略有一般策略和特殊策略之分。一般策略用于解决常规问题，如分析法和综合法；特殊策略适用于解决非常规实际问题。由于一些问题本身数量关系、结构特点的不同，适用的观察策略也就有所不同。如一些问题，仅从文字条件理解数量关系较为困难，但通过画图采用数形结合的方法等，可很快观察出数量之间的关系。
　　2.问题解决要掌握方法，体验观察策略价值
　　策略和方法是有区别的。方法主要指怎样做，如计算的方法、画图的方法等，它属于程序性知识。从本质而言，方法是对外办事的能力。策略是怎样做好，是对可能多的方法做出选择，需要对方法本质内容有清晰的认识，它是个体对内控制的能力。因此，观察策略的形成需要学生体验其价值。观察策略是建立在对方法本质内容有清晰的认识基础上的。因此在教学时，教师应注重让学生大胆尝试，多采用实践探究、合作交流等学习方式解决问题，从中体会观察策略；同时教师要重视恰当的点拨与引导，以帮助学生形成解题方法和体验策略价值。
　　3.问题总结要提升认识，体会观察策略内涵。
　　策略也是决策。如何决策，还要认识到策略和方法也是有联系的。策略的形成首先要以学生学会并掌握方法为前提，因此体会策略内涵，要从学习方法开始，没有方法的习得，就没有策略形成的条件。当然学生形成了观察策略，就能更加自主、合理、灵活地应用方法，进而提高解决问题的能力，两者相辅相成。学生运用归纳与演绎、综合与分析等方法，能够洞察对象本质以及揭示对象间的相互关系，把握问题的本质和规律，深入细致的分析问题。由此可见，数学观察活动需要一定的抽象程度和逻辑水平；尤其发掘观察对象隐含条件时，更能体会观察始终与思维紧密在一起的特点。学生在解决问题过程中的感受和体验是零散的、无意识的，因此，解题后教师要帮助学生整理、归纳解决问题过程中的体验，最终内化成自己的策略。如何学会观察，一般地应按照由整体到部分或由部分到整体等一定的顺序，捕捉题目的特征，同时，边观察边思考，使观察与思维互相渗透，提取解题策略。
　　总之，数学教学具有数学本身的特点，在教学中要通过利用数学内容中蕴含的丰富数学思想方法，采用多种手段，对学生进行长期的、有目的的训练，激发学生的观察爱好，把握观察的基本方法，形成良好的观察品质，养成主动观察、善于观察的习惯，逐步培养学生的观察能力。
　　（责任编辑：张志刚）
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