行列式不同计算方法的比较研究
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【摘要】求解线性方程组是代数学研究的基本议题之一。几百年来，围绕线性方程组的求解发展出了众多理论，其中行列式理论是这些理论中发展较早也是较为完善的部分。行列式在诸多领域都有应用，而行列式的计算则是应用行列式的基础。本研究综述了行列式计算的诸多方法，分析了这些计算方法的适用条件，并比较了这些方法在不同类型行列式计算中的优缺点，给出了一种根据行列式特征选择计算方法的通用规则。
【关键词】线性方程组;行列式;克拉默法则
引言
求解线性方程组是代数学研究的基本议题。几百年来，围绕线性方程组的求解发展出了众多理论，其中行列式理论是这些理论中发展较早也是较为完善的部分。行列式在诸多领域都有应用，而行列式的计算则是应用行列式的基础。由于工程问题中的行列式计算通常阶数4民高，直接使用定义计算是十分困难的，但鉴于工程问题中的方程组多为稀疏型或对称型方程组，对应的行列式也具有稀疏或对称的特征。
行列式的计算方法研究十分广泛，如：杨关玲、刘家保、晏一心、陈晓等都对此有所讨论。总的来说，行列式的典型计算方法约有7-8种，目前的文献多为对这些方法的重复总结，并给出一些实例进行分析，缺乏对这些方法的比较，更没有给出一种根据行列式特征选择计算方法的通用规则，因此本研究可以对现有研究做少许补充。
本研究综述了行列式计算的诸多方法，分析了这些计算方法的适用条件，并比较了这些方法在不同类型行列式计算中的优缺点，给出了一种根据行列式特征选择计算方法的通用规则。
1.行列式的定义与性质
1.1 行列式的定义
行列式的定义式又称行列式的完全展开式，其表示如下，
其中，j1j2，…，Jn是一个n元排列，求和号表示对所有的n元排列求和τ（j1j2，…，jn）表示n元排列j1j2，…，jn的奇偶性。通常，我们用|A|表示矩阵A的行列式。
1.2 行列式的基本性质
行列式的计算离不开行列式的基本性质，在行列式计算中常用的性质总结如下：
性质1行列式行列交换不改变行列式的值，即|A|=|A’|，
性质2行列式某一行的所有元素都含有同一个因子k，则有：
性质3若行列式中存在全为0的一行，则行列式值为0，
性质4行列式可以拆分，即：
性质5行列式交换两行的位置，行列式的值变为原来的相反数，
性质6行列式中若有两行元素一致，则行列式的值为0，
性质7行列式中若有两行成比例，则行列式的值为0，
性质8行列式的某一行加上令一行的某个倍数，行列式的值不变，
性质9行列式可以按一行展开，即：
其中Aij是aij的代数余子式。
上述性质中，由于性质1的存在，所有关于行的性质关于列也成立。此外，性质2，5，8中的运算称为行列式的初等变换。行列式的初等变换是计算行列式的最基本方法。其次，性质4是拆分法的基础，性质4通常配合性质3，6，7来使用。
2.行列式的计算方法及其适用性条件
行列式的计算有消去法、拆分法、化三角法等方法。以柱的文献通常只对这些方法进行机械的罗列，缺乏对这些方法之间联系的讨论。本节将对这些常用方法进行总结，并讨论它们的使用条件，给出一种根据行列式特征选择计算方法的通用规则。
2.1行列式计算的基本思路
本质上说，行列式的计算只有一种思路，即转化。我们认为，行列式一切计算方法都是转化法的延伸或变形。行列式转化的目标包括两个，即要么转化成已知计算公式的特殊类型的行列式，要么转化成已知计算方法的或是能用特定方法求解的行列式。而具体怎么转化则涉及到多种方法，如消去法、加边法、拆分法等等。下面的图示展示了行列式计算的基本思路。
2.2 特殊类型的行列式及一些特定方法
2.2.1 特殊类型的行列式
如上节所述，特殊类型的行列式主要包括三角型行列式、ab型行列式、箭型行列式和范德蒙行列式。这些行列式具有明顯的特征及容易记忆的计算公式，更重要的是，对一般的行列式，经过一系列的转化后会化成这些特殊类型的行列式。
三角型行列式是指对应矩阵是上三角或下三角的行列式。这种行列式的值即是对角线上元素的乘积，例如：对上三角行列式有：
第二种特殊行列式是箭型行列式，箭型行列式形状如下：
即行列式对应矩阵除了第一行、第一列和对角线以外，其他位置的元素为0。箭型行列式可以通过初等变换化成上三角行列式。具体的，我们将箭型行列式的2到n列依次乘以并加到第一列上，即可将原行列式化为上三角形式，最后利用上三角行列式的计算公式得到：
ab型行列式是另一种特殊的行列式，其对痛线元素都是a，非对角线元素都是b。ab型行列式的计算需要用到消去法，我们将在下一节进行介绍，这里我们先列出ab型行列式的值：
最后一类行列式是范德蒙行列式。范德蒙行列式的形式和值为，
范德蒙行列式的求解需要用到性质9及归纳法。
2.2.2 特殊的计算方法
行列式的特殊计算方法主要有递推法和归纳法。递推法把n阶行列式的值看成一个关于n的数列，而求行列式就是求数列的通项公式。这种方法通常需要使用性质9将一个n阶行列式的值与其某些抵阶子式建立联系，而这些低阶子式有恰好和原行列式形式一致，即是数列中的某几项，从而得到递推关系式。通常对于稀疏矩阵的行列式，特别是工程中遇到的行列式，如：三线型行列式，其建立的递推关系往往是一阶线性递推或二阶线性递推，复杂的递推可能涉及分式递推等。 另一种方法是归纳法。归纳法仍然把n阶行列式的值看成一个关于n的数列。使用归纳法时，我们通常先计算1-4阶的行列式，猜测行列式的通项表示，再用数学归纳法进行证明。
2.3 行列式的转化与求解方法
上一小节我们讨论了特殊类型的行列式和特殊的行列式计算方法，这一小结我们将具体分析如何将一个行列式轉化成这两种类型。
2.3.1 消去法
消去法是一种十分基本的转化方法淇核心原理是行列式的初等变换。常用的消去法包括四种，即初等变换消去法、把所有行都加到同一行上、相邻两行滚动消去以及把某一行的某个倍数加到其他所有行。
上述四种消去法中，初等变换消去法是最基本也是最普适的方法，其目标是把给定的行列式转化为上三角行列式。其他三种消去方法都是针对具有某种特征的行列式，使得进行消去操作后，行列式的大部分元素会变成Oo
具体的，如果一个行列式的每一列（行）所有元素的和都是同一个常数，则我们可以把所有行（列）都加到同一行（列），如：第一行（列）上，这样，第一行（列）的所有元素都相同，从而可以提出一个公因子。例如：
可以看出，这个行列式的每一行的和都是a+（n-1）b，把所有列都加到第一列后，就可以从第一列提出公因子a+（n-1）b，得到：
把所有行（列）都加到同一行（列）通常不能直接把原行列式转化为特殊类型的行列式，例如上例，这是就需要结合别的方法。用某一行（列）的某个倍数加到其他所有行（列）适用于某一行（列）的某个倍数和其他所有行（列）接近的情况，例如上例中的
第一行和剩下所有行只有一个元素不同，因而我们可以把第一行的-1倍加到剩下所有行，得到：
即上三角行列式，从而可以直接求出原行列式的值。
此外，如：果行列式相邻两行较为接近，也可以采用滚动消去的方法，如前面的，相邻两行只有两个元素不同，从而我们依次用后一行见前一行，得到：
这是一个三线型行列式，其除主对角线、主对角线下方及第一行元素外，其他元素为0。三线型行列式可以用递推法求解，例如上例，使用递推法可以得到一个一阶线性递推关系式。
2.3.2 加边法
如果行列式的每一个元素都是两个数的和，且同一列的元素都有相同的加式，即：
则我们可以考虑在原行列式上加上一行（b1，b2，…，bn）及一列（1，0，…，0）’使得原行列式值不变，即：
此时，用第一行的-1倍加到刹下所有行即可消除每个元素的部分。
2.3.3 拆分法
拆分法是性质4的直接运用。在使用中，如果我们观察到行列式某一行或者某几行元素都是两个数的和，则可以使用拆分法把原行列式拆成多个行列式的和。通常拆分后的行列式中有很多都是值为零的行列式，因此实现行列式的简化。
3.总结
本研究综述了行列式计算的诸多方法，分析了这些计算方法的适用条件，并比较了这些方法在不同类型行列式计算中的优缺点，给出了一种根据行列式特征选择计算方法的通用规则。本研究是对现有行列式研究的补充，对行列式的数值计算有一定的意义。
【参考文献】
[1]杨关玲，行列式的计算方法解蝃[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2015.32（7）：68-74
[2]刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012.30（2）：6-10
[3]晏一心.行列式的计算方法及其实际应用[J].科技视界，2016（6）：257-258
[4]陈晓，赵晓花.行列式计算技巧与方法解析[J].九江学院学报（自然科学版）， 2D16.31（2）：74-78
[5]丘维声.高等代数（第2版）[M].高等教育出版社，2002
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