浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

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　　摘 要：小学生经常遇到有关“剩余问题”的题，所以学会这类题的解答方法很有必要。这类问题的解法被称为“中国剩余定理”，也有人称为“韩信点兵”。此类问题的解答是利用两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数，进而求出每个除数对应的基础数，其次是求三个基础数的和，最后减去三个数的最小公倍数，以此来解答这类问题。
　　关键词：小学生;剩余定理;学习
　　在小学生的一些思维拓展训练题中或智力竞赛题中，我们经常遇到有关“剩余问题”的题。下面我们就探究一下这类题的解答方法。
　　 一、
　　中国剩余定理的由来
　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
　　这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题。这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的历史地位。
　　二、 学习两个定理
　　 要明白具体解法，首先需要知道以下两个定理。
　　定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
　　定理2：两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数。
　　以上两个定理随便举个例子即可证明！
　　 三、 用剩余定理研究解答此类问题的具体方法
　　题目：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
　　 1.
　　求出3、5、7这三个数的最小公倍数。（说明：以下用中括号[ ]来表示最小公倍数）
　　 [3、5、7]=105
　　 2.
　　求數3、5、7这三个数所对应的基础数。
　　 （1）要找到除以3余2的基础数，就用5和7的最小公倍数3。
　　[5、7]=35
　　 35÷3=11……2
　　 35正好符合“除以3余2”的条件，所以除以3余2的基础数就是35。
　　（2）要找到除以5余3的基础数，就用3和7的最小公倍数除以5。
　　 [3、7]=21
　　21÷5=4……1（余1不符合题意）
　　 根据剩余定理2：
　　 余数、商、被除数同时扩大3倍。
　　（21×3）÷5=（4×3）……（1×3）
　　 63÷5=12……3（扩大后的余数已符合条件）
　　这样得到：除以5余3的基础数就是63。
　　 注意：这一步非常重要。把余数1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，商可以不看。
　　（3）要找到除以7余2的基础数，就用3和5的最小公倍数除以7。
　　 [3、5]=15
　　15÷7=2……1（余1不符合题意）
　　 （15×2）÷7=（2×2）…（1×2）
　　30÷7=4……2（扩大后的余数已符合条件）
　　 这样得到：除以7余2的基础数就是30。
　　 3.
　　把得到的三个基础数加起来。
　　 35+63+30=128（这一步是运用了剩余定理1）
　　 4.
　　减去3、5、7三个数的最小公倍数105。（在基础数比最小公倍数大的情况下）
　　 128-105=23
　　那么满足题意的最小的数就是23了。
　　 四、 理解一首诗歌
　　大家都知道，解这类题时，有下面一首诗歌。而这首诗歌怎么用呢？我们探究一下。
　　 三人同行七十（70）稀，
　　五树梅花二一（21）枝。
　　 七子团圆正半月（15），
　　 除百零五（105）便得知。
　　这首诗歌的意思是，一个数除以3、5、7同余“1”符合条件的数分别是70、21、15这三个数。只要记住这三个数，那么有关“一个数除以3、5、7余数是其他数”的题很快能求出答案。
　　例如上面解答的题目：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
　　①因为除以3余1的基础数是70，那么除以3余2的基础数就是70×2=140
　　 同理：除以5余3的基础数就是21×3=63
　　除以7余2的基础数就是：15×2=30
　　 ③可以用如下算式解答：
　　70×2+21×3+15×2
　　=140+63+30
　　 =233
　　 这个数=233-105×2=23。
　　所以说，这首诗歌实际上是求“一个数除以3、5、7有余数”这类题的一种简便方法。
　　五、
　　我们再举例解答一个除数不是3、5、7的类似问题，你就对“中国剩余定理”问题更清楚了
　　题目：把几十个苹果，7个7个地数余2个，6个6个地数余4个，4个4个地数则余2个。这堆苹果至少有多少个？
　　①求7、6、4的最小公倍数=84
　　 ②用6、4的最小公倍数24÷7=3……3（不符合）
　　（24×3）÷7=3×3……3×3（需扩大3倍）
　　 72÷7=10……2（达到符合）
　　③用7、4的最小公倍数28÷6=4……4（正好符合）
　　 ④用7、6的最小公倍数42÷4=10……2（正好符合）
　　⑤求符合条件的三个基础数的和=72+28+42=142
　　 ⑥求这些苹果至少多少个？
　　 142-84=58（个）
　　从以上例子可以看出，要解决“中国剩余定理”这样的问题，首先是求每个除数对应的基础数，其次是求三个基础数的和，最后是观察三个基础数的和是否小于三个除数的最小公倍数。如大于三个除数的最小公倍数，大于几个最小公倍数，就减去几个，直至小于为最终结果。
　　参考文献：
　　[1]李辉.浅析中国剩余定理及其应用[J].豆丁文库.
　　作者简介：
　　 陈兹中，甘肃省定西市，岷县梅川学区。
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