函数思想在高中数学解题中的应用

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　　[摘 要]函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想。它是高中数学解题的重要思维策略，是一种考虑对应、运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。函数比较抽象，学生单纯依靠题意和理论理解难度很大，这就要求学生必须运用一定的数学思想才能化繁为简，以达到理清函数的本质，并找到抽象问题解决的突破口，进而实现完美解答的目的。本文以函数思想在高中数学解题中的应用为研究载体，阐述培养学生多元思维的方法。
　　[关键词]函数思想;构造函数;函数模型;函数性质
　　 近年来，高考数学试题落实新课程标准要求，以高中数学六大主干知识为考查的重难点，同时兼顾向量、不等式等非主干知识，通过模块间的综合、渗透，突出能力的考查，力求综合考量学生的数学素养，包括数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。高中数学教学的重要环节是提高学生的解题能力，增强学生的数学思想应用意识，不断提高學生的数学素养。高中数学题型多变，如何快速、正确解题也成为影响学生数学成绩提高的重要因素。分析发现，高中数学解题并非无章可循，应用正确的数学思想往往能达到事半功倍的效果。其中，函数思想是重要的一种思维策略。那么，如何引领学生应用函数思想来解题呢？
　　一、将代数式看作函数来解题
　　解答高中数学部分题型时，直接进行解答难度较大，而且部分学生因无法处理已知量与未知量之间的关系，导致解题出错。此时，如能结合题目中的已知条件，将代数式看作函数来解题，可使数学解题柳暗花明。函数思想的应用意识培养，要求教师多呈现相关题型，通过对比分析提升学生的代入感，并在解题中形成良好的思维习惯。
　　例如，已知函数f（x）=ax3-x+1，为能保证x∈[-2，3]，总有f（x）≥0成立，请问实数a的取值范围是什么？
　　分析：解答该类恒成立问题的题目时，不少学生认为应将a分离出来而后进行解答，此种解题思路是正确的，不过在分离参数之前，应当先通过对式子、数据进行分析，显然本题在分离参数a时，不等式两边同时除以a的系数，因此需要对a的系数的正负情况进行讨论，即，当x=0时，显然f（x）=1>0。当x≠0时，需要分两种情况进行讨论：
　　1.当x∈（0，3]时，f（x）=ax3-x+1≥0成立，可转化为a≥- ，显然应将 看做函数，只要a的值大于等于其最大值即可。设g（x）= -，求导得 g'（x）= ，不难得出当x∈（0， ]时，g（x）为单调递增函数，而当x∈[ ，3]时，g（x）为单调递减函数，因此，g（x）max=g（ ）=- ，要想满足题意，则a≥- 。
　　2.当x∈[-2，0）时，f（x）≥0可转化为a≤- ，同样将-看做函数g（x），只要a小于等于其最小值即可，当x∈[-2，0）时， （x）>0，g'（x）单调递增，因此，当x=-2时，g（x）min=g（-2）= ，即a≤ 。综上可知a的取值范围为[- ， ]。
　　二、利用构造函数法来解题
　　通过巧妙地构造函数，能使复杂的问题转化成熟悉而简单的问题。高中数学综合型题目中，采用传统方法很难求解，不少学生尽管花费大量时间，但却得出错误结果，因此，在解答一些数学题目时，教师应引导学生注意观察，注重构造函数，以降低求解难度，顺利进行解答。
　　例如，函数h（x）=2ex-e-x，为能保证任意x∈[0，+∞），总有h（x）≥ex+2ax成立，求实数a的取值范围是多少？
　　分析：该题目题干较为简单，分离参数法在此就失灵了，可通过构造函数的方法进行求解，即可设g（x）=h（x）-（ex+2ax），即，g（x）= ex-e-x-2ax，因为对所有x≥0，都有h（x）≥ex+2ax，等价于x∈[0，+∞）时，g（x）min≥0，如此便不难求解：
　　1.如a≤1，当x≥0时， g'（x）=ex+e-x-2a≥2-2a≥0，因此，g（x）在x∈[0，+∞）是增函数，从而g（x）min=g（0）=0，因此，f（x）≥ex+2ax。
　　2.如a>1，方程 （x）=0的根为x1= 1n（a-），x2=1n（a+），因为 a-<1，因此方程g' （x）=0只有一个正根 x2，当 x∈（0，  x2）， g' （x）<0，g（x）为减函数，当x∈[ x2，+∞），g（x）为增函数，因此g（x）最小值为g（x2 ），不过当x∈（0，x2 ）时，总有g（x）<g（0）=0，因此，g（x）min=g（x2 ）<0，与题意不符。综上可知a的取值范围为a∈（-∞，1]。
　　三、建立函数模型来解题
　　高考中常以数学应用题来考查学生的数学建模素养，在教学中，我们发现如何具体实施对实际问题的理解，并抽象出数学模型，进而应用数学知识求解实际应用题的解题策略问题一直是学生的硬伤，对此，要多引导学生接触多样化的实际应用问题，积累更多的数学模型。函数模型在高中数学应用题中最常见，常以七类初等函数或其混合形式呈现，应在教学实践中给予适当的归类训练，多角度思考，慢慢体会数学模型思想，为学生更好地解题提供更多的可能性。
　　例如，随着电商的不断兴起，快递行业也蒸蒸日上，已知某快递公司需要从A地运一批货物给相距Skm的B地，该汽车从A地匀速行驶到B地，汽车每小时的运输成本为a+bv2元，且最大速度每小时不能超过ckm （其中a，b，c均为大于0的常数），请问汽车的行驶速度为每小时多少千米时，全程运输成本最小。
　　分析：该类应用题要结合具体问题情境，梳理数量之间的关系，或易或难地建立起关键的两个变量之间的函数关系式即建立函数模型是解题的关键。
　　设汽车全程运输成本为y元，则不难得到其与速度v（km/h）之间的关系满足关系式：y=a· +b··v2（0<v≤c），汽车的行驶速度为多少时，全程运输成本最小，可等价转化为该函数在指定范围内自变量v取何值时函数值y有最小值，于是，y=S（bv+ ）=Sb（v+ ）（0<v≤c），（1）当 >c时，函数在0<v≤c为减函数，因此，v=c时，y有最小值S（bc+ ）。（2）当 ≤c时，y在0<v≤ 为减函数，在 ≤v≤c为增函数，因此，当v= 时，y有最小值2S。 　　四、利用函数性质灵活解题
　　高中阶段的学生会接触到很多函数，熟练掌握不同函数的性质，结合具体数学题目加以灵活应用，不仅能降低解题计算的繁琐度，而且能保证解题的正确性，因此，教师要引导学生学会利用函数性质进行解题。
　　例如，已知定义在R上的函数f（x）满足f（x ）=-f（-x），且图象关于x =6对称，当-6≤x <0时f（x）=-log，则方程f（x）+5=0在（0，36）内的所有根的和为多少？
　　分析：综合应用函数的性质，数形结合，多思少算是此类题目的解题要点。本题中易判断函数f（x）是奇函数，不难得出当0<x≤6时，f（x）=-f（-x）=  log，因为y=f（x）的图象关于直线x =6对称，故f（12- x）=f（x），再根据f（x）是奇函数得知f（12- x）=-f（-x），从而f（x）=-f（12+ x），因此函数f（x）的周期是24，综合以上的函数性质不难得到函数f（x）在（0，36）内的图象。方程f（x）+5=0在（0，36）内的所有根之和等价转换为函数f（x）的图象与直线y=-5在（0，36）内所有交点横标之和，因为-5<-log，结合图形可知，共有四个交点，它们分别关与直线x =6、x =30对称，因此，所有交点横标之和为72，也即方程f（x）+5=0在（0，36）内的所有根的和为72。
　　总之，函数思想是高中数学解题的重要思想，由于高中知识点较多，题型又复杂、多变，部分题型利用传统方法难以找到有效解答的方法，运用函数思想能帮助学生找到解题思路，而且计算并不繁琐，可达到快速解题的目的。教师要多讲解函数思想在解题中的应用，鼓励学生不断总结与反思相关数学题型的特点，结合数学题型的特点养成利用函数思想解题的习惯，并在解题实践中不断丰富函数解题思想，完善问题解决的策略，最终实现解题能力的全面提升。
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　　 （责任编辑 付淑霞）
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