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例谈化归思想在中学数学解题中的应用

作者:未知

  摘 要 化归思想是中学数学解题中常用的一种重要思想,在解题时的应用十分广泛。本文通过例举化归思想在中学数学解题中的应用,如:解方程,求数列通项,处理含参不等式,解三角函数,解应用题等。通过对这些题目的逐一分析,继而总结出化归思想解题的一般规律与原则,即通过将未知的问题转化归结为已知的知识、将复杂问题转化归结为简单问题。
  关键词 化归思想;中学数学;解题;应用
  中图分类号:B027 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2019)02-0075-01
  化归思想的最终目的是为了简化求解过程,实现复杂问题简单化、抽象问题具体化。化归思想以其高度的实用性和有效性,赢得了师生的一致认可,是实现对学生综合素养教学的重要手段。
  一、化归思想的基本概念
  化归思想是处理数学问题的一般思想方法,其核心是:在解决数学问题时,常常是将要解决的问题A通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题,且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。化归的基本功能是:生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。
  二、化归思想在中学数学解题中的应用
  (一)解方程
  例1.解方程(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0
  解:原方程可化为:
  (x2+8x+7)2+8(x2+8x+7)+15=0
  令y=x2+8x+7这样,我们将解方程
  (x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0
  转化为规范化方程y2+8y+15=0的形式。
  对于方程y2+8y+15=0可化为(y+3)(y+5)=0,
  可得方程的解为: y=-3或y=-5。
  所以我们有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5,继而接着解两个方程可得原方程的解:
  从上题我们可以看出:在解方程时对方程变量进行替换把高次方程转化为低次方程,再对低次方程进行变形化为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),使之纳入原有的已经解决的知识结构,这就是化归。
  (二)求数列通项
  例2:设正数数列{an}的前n项和为Sn,又        ,求an。
  分析:因为当n≥2时,an=Sn-S(n-1),所以2Sn=
  ,所以2Sn2-2SnSn-1=(Sn-Sn-1)2+1,所以Sn2-Sn-12=1,所以数列{Sn}的平方数列{Sn2}是公差为1的等差数列,易求S1=1,所以Sn2=n,因为an>0,所以      ,所以                   。
  从上述两题我们看到不少既非等差又非等比的数列,却可以通过适當的变形,化归为一个等差数列、等比数列或一个通项易求的数列,从而求出原数列的通项公式。
  (三)处理含参不等式
  函数与不等式关系密切,尤其是含参数的不等式问题,变量较多。遇到这类问题时,我们应如何处理呢?
  例3:如果2x-1>m(x2-1)对任意m∈[-2,2]都成立,求x的范围。
  分析:解题时易想到,由原不等式解出x,再根据m的范围确定x的范围。可以想象,此法解题过程非常烦琐,很难解出结果。应如何考虑呢?注意到m的范围已确定,转换一下角度,把所给不等式看成m的不等式如何?
  解:原不等式变形为:
  m(x2-1)-(2x-1)<0
  左边显然是m的一次函数,记作f(m),
  由题知,f(m)<0对任m∈[-2,2]恒成立,由一次函数性质只需
  
  即可,这样便可解这个关于x的不等式组,从而得解:
  从上例可以看出,处理这类问题时我们不妨换个角度,可通过化归思想,把它转化为函数问题,反客为主。把我们熟悉的未知数看作参变量,而把原来的参数看作主元未知数,分离变量,利用转化思想把它化归为函数问题,利用函数性质即可轻松获解。这样处理,不但方法巧妙,而且过程简单,有利于培养思维能力,提高解题能力。
  例4:某商店进货每件50元,据市场调查,销售价格(每件x元)在50≤x≤80时,每天售出的件数P=    。若想每天获得的利润最多,销售价格每件应为多少元?
  这是一个u关于    的二次函数,当               。
  即x=60(x∈[50,80])时,u取最大值,故每件定价为60元时,利润最大为2500元。
  在这一题中我们先把实际问题转化为数学问题,使之能用数学理论解决具体的实际问题,再在数学问题的解决中继续应用化归转化的思想,尽管上述方法转化方向各不相同,但其实质都是一样的:尽量转化为熟悉的知识或方便求解的问题上。
  从以上几道例题我们可以总结出化归思想解题的一般规律,即:生疏化成熟悉、复杂化成简单、抽象化成直观、含糊化成明朗。
  化归思想作为一种重要的数学思想方法,在数学问题的学习中有着十分重要的作用。通过分析化归思想在中学数学中的具体应用,我们总结出了化归思想解题的一般规律,即对题目自身的特点,遵循熟悉化、简单化、特殊化等原则,化繁为简,化难为易,从而达到解题的目的。
  参考文献:
  [1]凌健.化归思想在数学解题中的应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2008(2):115-117.
论文来源:《读写算》 2019年2期
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