数学例题教学研究的回顾与展望

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　　摘要：数学例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，影响着数学课堂教学的成效。以中国知网收录的与此主题相关的核心期刊论文为研究对象，采用文献计量法与内容分析法，对其进行量化与质性分析。量化分析从发表年份、期刊来源、作者单位类型及合著情况、关注情况四个方面进行，质性分析从数学教材例题以及数学例题教学两个层面梳理研究结果。数学例题教学研究需要立足传统、面向世界、重视实践，强化反思，进而找准数学例题教学研究的立足点、生长点和创新点。
　　关键词：数学例题;例题教学;回顾展望
　　例题是数学教材的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源[1]，也是学生理解概念、原理，领悟数学思想方法的具体途径[2]。而例题只有通过教学这一方式才能发挥其功能，例题教学则是课堂教学的重要组成部分，也是决定教学效果的关键环节。关于数学例题教学，自数学课程改革实施至今已有不少研究成果，本文通过对这些研究成果的整理和分析，以了解数学例题教学研究的现状，充分认识数学例题教学研究的必要性和重要性，展望未来研究方向。
　　一、研究设计
　　本研究以“中国知网资源总库”为文献来源，为保证所检索文献的全面性与权威性，在“期刊”的高级检索“主题”一栏中分别输入“数学例题教学”和“数学例题”，将搜索日期限定为1999年至2018年，并且“来源类别”选定为“核心期刊”，剔除重复以及无关文献，选取38篇文献作为研究对象。本文以文献计量法与内容分析法为主要研究方法。
　　二、研究结果
　　（一）量化分析结果
　　1.发表年份
　　从数学例题教学研究的发文数量及年份分布，可以反映出该研究的研究现状以及被关注程度，也可预测未来研究的发展趋势。由图1可以看出，1999～2018年，中文数据库“中国知网”收录“数学例题教学”研究的核心期刊论文数量于2015年达到峰值，其整体呈上升趋势，局部呈波动状，反映了数学例题教学研究近20年的基本态势。
　　2.期刊来源
　　由表1可以看出，关于数学例题教学研究的论文核心期刊来源共10种，其中71%来源于《教学与管理》、《数学通报》与《数学教育学报》三种期刊。
　　3.作者单位类型及合著情况
　　作者单位类型揭示出研究该领域的主体作者分布状况。将作者单位类型简单划分为中小学、高校和专门研究机构三种，论文的合著情况分为独立撰写与合作撰写两类。统计发现，中小学教师是数学例题教学研究的主力军，有19篇是其独立完成，占比60%，合作撰写的论文作者单位类型大多是高校。
　　4.关注学段
　　研究对象所处学段反映了该领域研究者的关注点。统计发现，研究对象所处学段近50%集中于高中，其次是小学、初中，学前、中职或大学等其他学段均无涉及。
　　（二）质性分析结果
　　1.基于教学的数学教材例题分析
　　（1）功能分析
　　由于部分教师在实际教学中未充分认识到教材例题的价值与功能，造成教材例题无效或负效使用的现象，基于此吴立宝提出了教材例题的六大功能[3]。教材例题作为教材内容的重要组成部分，其在教材所处位置的不同，发挥的功能也有所不同。一般情况下，例题在讲述完某个概念、定理后给出，一方面是因为数学概念、定理等的高度概括与抽象性，通过例题将抽象概念具体化，帮助学生初步理解和掌握;另一方面，由于概念大多是用陈述性知识和程序性知识表征，而例题是将陈述性知识程序化的体现，有助于学生认知图式的构建及自动化[4]，这体现了例题的示范与巩固功能，其中示范功能除了显性层面的示范，如解题规范、解题程序等外，还有隐形层面的示范，如数学思维方法等。此外，部分新知直接以例题的形式给出，此类新知不是要求学生重点掌握的内容，是基础知识的拓展延伸，这体现例题的展示新知功能[5]。最后部分例题在复习旧知的基础上也为后续的新知打下基础，体现了例题的复习功能与衔接功能。
　　不同类型的教材例题其教学功能也不尽相同，通过对教材例题分类剖析，可明确不同类型教材例题的功能。陆明明根据喻平教授提出的四种数学解题教学模式，将教材例题分为问题解答型和问题解决型两类，指出问题解答型例题功能在于帮助学生将陈述性知识程序化、自动化，而问题解决型例题功能在于帮助学生获得问题解决的策略性知识[6]。此外，以学生典型错误为素材的纠错型例题，促使学生在教师引导下积极发挥自我意识和主观能动性，促进学生对数学知识，观念和方法的正确理解和掌握，充分发挥示错的警示功能[7]。
　　综上所述，数学教材例题有助于学生将解题过程规范化，抽象概念具体化，陈述性知识程序化，零散知识系统化，静态知识动态化，隐形思想显性化。研究者需以充分挖掘教材例题功能为前提，发掘数学例题教学潜能，发挥数学例题的教学价值。
　　（2）比较研究
　　练习题的配置是数学教材的重要组成部分，一定程度上反映了数学教材编写者的价值取向与编写风格[8]，对数学教材例题的比较研究分为编写特色与综合难度两个维度。宋运明等学者对小学3个版本4～6年级数学教材例题从8个维度进行了全面分析研究，首次提出了例题编写特色的分析框架，并在如何彰显例题编写特点方面提出了建议[9]。张文宇等人对海峡两岸小学数学教材分数内容例题的整体结构和编写特征进行比较，整体结构部分以史宁中的知识团思想为基础，编写特征部分则在宋运明的例题编写特色分析框架的基础上，借鉴朱雁、范良火的例题表征形式以及李业平的例题回答方式研究成果，结合教材特征，对其进行修改，除知识领域、情境倾向以及有无插图三个维度外，添加例题表征方式及回答方式两个维度[10]，如表3所示。此外，盧萍与邵光华参照练习题设置结构制定了例题设置的比较框架，从例题的浅层结构与深层结构对中德教材代数部分例题特色进行比较[11]。王晓丽，张明亮将戴再平建立的例题分类进行调整，并采用黎野平建构的分析问题3层面为研究工具，对中美初中数学教材有理数部分的例题从数量、内容、形式、背景、特征以及特色模块进行比较研究[12]。 　　《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》提出“调整教材内容，科学设计课程难度”，于是，中小学教材的难度比较成为近年来的热点问题，影响教材难度的因素很多，而难度水平的界定取决于所使用的评价工具[13]。鲍建生建构的五因素多水平模型长期以来被用于比较数学问题的综合难度，如表4所示。在《高中数学教材中例题的综合难度的国际比较》一文中对原有综合难度模型进行修改，背景、运算、推理三个难度因素及水平划分不变，知识含量因素名称变为知识综合，探究因素改为数学认知因素。另外，王晓丽，张明亮选择鲍建生建立的综合难度模型为研究工具之一，并根据有理数例题特点对鲍建生综合难度模型中背景因素的划分修改为无背景、学科相关联、日常生活以及无实际意义四种[14]。濮安山、徐慧敏也以鲍建生的数学课程综合难度模型为研究工具，将探究因素水平划分为识记、理解、应用与探究，知识含量因素水平划分为单个、两个、三个、四个及以上[15]。
　　（3）二次开发
　　顾泠沅指出变式教学能使不同学习水平的学生都得到有效的训练，中学数学的绝大部分基本题都可以通过适当的改造，为不同的教学目标服务[16]。动态课堂教学的有效性很大程度上取决于对静态教材文本的正确解读与使用，教师在潜心走进教材的同时，也要善于走出教材，做课程内容的开发创生者，通过对教材例题的有效改编，多角度、多层次地加深对课本例题的理解，进而优化课堂教学[17]。而在实际教学过程中，教师利用教材时往往存在就题论题、浅尝辄止，也存在误解意图、南辕北辙的负效运用的现象，制约着课堂教学效益的提高[18]。在此背景下，研究者针对教材例题的改编做出一系列的策略研究，综合吴成业、曹志国、汪东兴等学者提出的教材例题改编策略，可以概括为“删”“变”“拓”“调”“增”五个字。其中，“删”指对教材例题部分条件进行适当删减，以充分调动学生的心理需求;“变”一方面指改变数据，意在指导学生不拘泥于数据的形式，透过数据看本质，另一方面指适当变换例题素材，充分考虑时空差距与区域差异，以贴近学生生活，激发学习兴趣;“拓”指对教材中例题的解题方法进行拓展，采用延迟评价方式，引导学生对多种解题方法进行比较选择;“调”指以学生的现实认知为起点，调整教材内容的呈现方式与次序，避免循环论证与形式化的特征探究;“增”指针对教材信息呈现的留白现象，通过增设教学环节，引导学生理解学习内容本质。此外，也有教师在教学过程中发现教材例题的不足或不恰当之处，对其进行改编后取得良好的教学效果。如孔莉群教师在以课例为载体的课堂教学研究活动“磨课”过程中，充分体会到一道例题的优化过程，也是教师教学行为的调整、改进的过程，需要教师把握时机，以学生的最近发展区为前提，给予恰当的诱导，让学生处于积极创造的过程中[19]。
　　另外，陆明明基于问题变式的水平、垂直变式这两类结构，将例题变式划分为3个层次，分别为平行变式、垂直变式与螺旋变式。其中水平变式不带来认知负荷的变化，从垂直变式到螺旋变式，认知负荷不断加重，3个层次的变式层层递进，互相依存，互相补充[20]。
　　2.基于研究的数学例题教学探析
　　（1）理论探寻
　　样例学习理论是数学例题教学研究的理论基础之一，也是例题教学研究的理论支撑。样例学习是指学习者通过研习样例习得专家的问题解决方法的一种学习方式。在课堂实施样例学习，需要着重关注两类问题：一方面是样例的設计，另一方面是如何对学生的学习过程进行指导，这两类问题直接影响学生的学习效果[21]。
　　变式理论是中国数学传统教学中十分重要的一个组成部分，核心是善于通过变化突出其中的不变因素[22]，变式理论为数学例题的变式教学提供了理论基础。
　　产生式迁移理论是例题学习的理论基础之一，规则以陈述性知识的形式进入学习者的命题网络，然后通过变式练习转化为以产生式表征的程序性知识。当两项任务之间有共同的产生式或产生式的重叠式，迁移就会发生。所以，产生式的相似是迁移发生的条件，产生式自动化是顺利完成复杂认知操作的基础[22]。
　　在心理学上，因信息呈现的顺序不同会出现首因效应，也称“第一印象效应”，由美国心理学家洛钦斯首先提出。虽然第一印象并非总是正确的，但却是最鲜明、最牢固的。因此，在数学教学中，课堂信息的呈现顺序也会影响学生的数学思维。但教材基本上还属于纸质为主的信息呈现媒介，编写者无法把信息呈现意图有效地体现在教材上，故在教学实践中，需要教师根据具体教学情况，发挥主观能动性[23]。
　　（2）实践经验
　　基于数学教育价值视角，林少安举例阐释了例题教学在培养探究能力、养成理性思维，弘扬文化价值以及养成良好品质四个方面的教育价值[24]，若要充分发挥数学例题教学的教育价值，首先需要认识到数学例题教学过程中存在的问题，以此为基础，不断改善，最终实现数学例题的有效教学。
　　在以往数学教学过程中，一方面课堂结构以演绎法为主，这不利于学生数学思维的形成，所以构建以归纳法为主，以演绎法为辅的课堂教学模式，充分揭示数学知识的发现过程，基本实现数学家、教师、学生思维活动的和谐统一至关重要[25]。另一方面，教学模式多采用“概念—例题—练习”，对数学思想方法的重视程度不够，这种教学模式下的概念教学基本是一次性的，而数学概念作为数学思维的核心和逻辑起点，是数学定理、性质的逻辑基础，故数学概念的二次教学应成为例题教学的一个环节，通过引导学生对已掌握的概念进行二次学习，挖掘概念中隐含的数学思想方法，发挥数学思想方法教学的特点与优势[26]。而“条件+任务”是传统数学例题的标准形态，也是长期以来数学例题的主要形式甚至唯一形式，这促成了“问题解决”的教学常态，而数学现象作为学生观察、探究、发问的素材，没有发挥出本身的教育价值，孙四周通过具体教学案例阐释了基于活动与体验的例题教学，让学生经历“现象—问题—解决—反思”的全过程[27]。 　　要实现数学例题的有效教学，首先对教材例题的二次开发是基础，通过对教材例题适当改编，使其成为数学例题教学的原材料。其次例题教学的恰当设计是核心。再者提高学生例题学习效率是数学例题教学的根本，这就需要教师从学生的视角设计顺应学生发展的例题教学[28]。最后整个教学过程的优化是关键，教学起点是学生认知结构中原有的知识经验，教师需要在学生认知基础与教学目标之间进行合理分层，增设台阶，为实现教学目标需要选取合理的教学方式，通过课堂提问，使学生暴露思维轨迹，进而对课堂生成进行合理调控，培养学生数学思维能力，故通过对教育目标的合理制定、教学起点的合理设置、教学方式的合理选择、课堂提问的精心设计、数学思维的潜移默化、课堂生成的合理调控，进而提高例题教学的有效性[29]。
　　例题教学设计作为实现数学例题教学有效性的核心，一方面，数学课型不同则数学例题设计意图不同，进而影响例题的设计策略。例如，复习课具有时间跨度大，涉及内容多，综合性强的特点，对学生知识的迁移、查漏补缺、系统掌握以及思维能力的发展是极其重要的，所以，首先复习课例题的选取要遵循新颖性、梯度性、过程性以及关联性的原则[30]。其次，由于思维发展的阶段性特点，决定了对知识的掌握要经历一个由浅入深、由零散到系统的螺旋上升、直至完整的过程，故復习课例题重在帮助学生认知图式结构化、网络化。这就需要例题教学设计时整体规划，完善认知结构，根据知识的内容领域、知识间的区别联系、新旧知识的生长点和连接点，运用系统论的思想，以整体规划的眼光通盘考虑例题设计，凸显数学知识的整体性[31]。再者，复习课需要帮助学生查缺补漏，识错纠错，故可设计纠错型例题。
　　另一方面，数学例题教学过程中，数学例题的信息呈现方式也是影响例题教学的重要因素。根据首因效应，在不改变例题本质内容的前提下，例题条件和结论信息呈现的时间与顺序会对数学教学产生不同的教学效果。杨秋红等人将例题信息的呈现简单划分为“无选择性呈现”和“选择性呈现”两种，其中“选择性呈现”可进一步细分为三类，指出整体性呈现例题信息虽可以凸显教师的主要教学意图，但也容易忽视信息背后涉及的数学思想方法。选择性呈现方式的思维发散度较强，但需教师根据例题本身特点、教学意图和学情把握好发散的“度”，灵活选择教学手段，使其具有可操作性[32]。
　　三、研究未来展望
　　1.数学例题教学研究的立足点
　　数学例题教学研究应立足传统，面向世界。传统数学例题教学理论与教学经验是数学例题教学研究的现实“根”基，但需要辩证理顺“国际化”与“本土化”的关系，反对绝对化的研究立场，运用比较、反思、混合的研究方法，不断触摸最新数学例题教学研究的前沿，在继承优良研究传统的前提下，厘清传统数学例题教学研究的局限性，找准尝试、调整、改善、促进数学例题教学研究的立足点。如从中国传统例题教学重视“双基”的培养到课改将“双基”拓展为“四基”的研究路径梳理，捕捉、研究数学例题教学是如何夯实“四基”的，进而探寻数学例题教学过程中如何培养和发展学生的数学核心素养。
　　2.数学例题教学研究的生长点
　　数学例题教学研究的生长点就在于数学课堂实践。因此，要把研究的重心置于课堂教学，分析数学例题在整体课堂教学中的地位与作用，探析例题与概念、命题、原理、思想、方法之间的内在关系，特别是基于数学文化的视角探析例题教学的生长点。视数学课堂教学为其实验田，运用科学的工具、方法、手段来探视例题教学发展学习共同体数学素养的功能价值，强调数学例题教学的微型调查、微型实验、微型分析、微型改进，以诊断分析课堂教学中的例题教学问题。珍视每一次课堂教学中例题的嵌入、导引、分析、探究、反思过程，把数学例题教学研究的生长点置于数学课堂教学中。
　　3.数学例题教学研究的创新点
　　数学例题教学研究要发挥其功能价值，就要在理论与实践创新上下功夫。首先，数学例题教学是数学教学理论探索的一个重要方面，一定不同于其他学科的例题教学，需要运用新的技术和手段来探索例题在不同的课型、不同的时空、不同的共同体学习过程中表现的不同形态，运用教育学、心理学、信息学等理论来探析数学例题教学的机制与运行策略，特别是要综合众多已有的研究成果，创新性地探索例题教学中的投入与产出、情感与价值、理性与感性、限度与发展等问题。数学例题教学研究的创新一定是继承基础上的创新，要全面梳理数学情境教学、参与式教学、变式教学、问题链教学、自学辅导教学等例题教学环节中的优势与不足，充分地研究在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思中数学例题存在之根、教学之径，不断深度研究数学例题教学与数学教学模式创新之间的关系，助推数学教学变革，全面提升学生的数学思维品质与关键能力。
　　课改历经20年，数学例题教学研究取得了不少研究成果。要以此为基础，站在前人的肩膀上，继续探索数学例题教学的理论基础，用更加全面、细致、系统的观点直面现实问题，牢记数学例题教学的使命与担当，不断深入地去学习、去实践、去观察，开拓数学例题教学研究新天地。
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　　责任编辑：颜莹
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