几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析

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　　摘 要：随着教育改革的深入推进，现代教育更加重视学生综合能力的发展。一次函数属于初中数学的重点教学内容，通过对数字、符号和图像之间的有效融合表示数量关系，而利用几何直观思想通常能实现对其相关问题的有效解决。本文主要分析了几何直观在解决一次函数实际问题中的应用。
　　关键词：初中数学;一次函数;几何直观
　　受传统教育理念和教学模式的影响，部分初中数学教师在教学活动中并未关注学生学习能力与学科素养的发展，没能形成有效引导，单纯采取题海战术提高学生的学习成绩。然而，在求解某些复杂一次函数实际问题时，很多学生表现出无所适从，如何通过一次函数内容教学促进学生几何直观能力的发展，值得我们深思。
　　一、 几何直观
　　新课标（2011版）中对几何直观的定义：通过图形描述与分析问题。通过对几何直观的利用可以将一些复杂而烦琐的数学问题变得简单而形象，有利于缕清解题思路。应用几何直观能够有效帮助学生更為直观地对数学知识形成理解，在整个数学学科的学习历程中均发挥着十分重要的作用。
　　数学学科研究的内容较多、范围较大，其研究对象中有些可以直接被人所看到或摸到，但绝大部分研究对象既看不见也摸不着，很难通过直接观察获得其结论，这也是数学学科最为主要的特征之一。然而，数学知识来自生活，因此这些抽象问题绝对不是无源之水，其根源应该是具体的，而此种具体指的可能是一些具体的图形、图标、模型或者实物。所以，若想实现对一些抽象数学问题的有效解决，我们首先需要探寻其根源，也就是怎样利用几何直观去解决抽象问题，而对数学问题具体根源探寻的过程便称之为几何直观应用能力，它属于新课程标准中对于数学学科教学培养的重要目标之一，对学生学科素养的形成与发展至关重要。有学者提出几何直观的主要表现形式包括图像、语言、模型以及实物，其中最为简单的表现形式为图像与实物。
　　作为初中数学学科的重点教学内容之一，一次函数知识的掌握效果对于学生解决实际问题和今后学习活动的开展将起到决定性作用。虽然在学习过程中学生可以通过以往所学知识对一些简单的问题进行求解，但在面对复杂问题时，对几何图像的利用能使题目变得更加简单，充分突显出几何直观的关键作用，促进学生数形结合能力的发展。
　　二、 几何直观在解决一次函数实际问题中的应用
　　（一）匀速运动中路程和时间函数关系
　　一次函数与图像信息相关的题目中，路程问题属于最为常见的一种题型，相应函数图形也具有较强的直观性：当自变量（时间）为0，相应纵坐标便表示路程的出发点，而时间终止时相应纵坐标则为路程终点。倘若运动全过程以均匀速度行进，图像则表现为直线，两条直线之间的交点则为物体运动过程相遇的时间与地点。出于上述鲜明而直观的特征，使多数路程问题均可通过函数图像辅助解题过程。
　　【例1】 甲、乙两辆卡车分别从距离20km的A、B两地同时出发，并相向而行。如图1所示，其中l1和l2分别代表甲、乙两车离开出发地距离s和行驶时间的函数关系。①哪辆卡车行驶速度更快？②多长时间之后甲车可以行驶至A、B两地中点位置？③多长时间之后两车距离为5km？
　　分析：在对第三小题进行求解的过程中，很多学生会通过“数”的角度解题。由于此题为路程问题中的相遇问题，先求出甲车速度为20÷0.6=1003（km/h），乙车速度为20÷0.5=40（km/h），两辆车首次相距5km时，它们共行驶了20-5=15（km），则可求出经过时间为15÷（40+100/3）=9/44（h）;当两车再次相距5km的时候，它们共行驶了20+5=25（km），因此经过的时间是25÷（40+100/3）=15/44（h）。
　　以上解题过程属于通过数学逻辑思维对实际问题加以解决的有效应用，但在教学过程中教师还要关注引导学生对函数问题和图形之间的有效融合，使他们通过图形去思考与研究数学问题。对于例1，可以引导学生通过对直观函数图像的分析，设时间为x，分别列出两条直线的解析式，即y1=-40x+20和y2=（100/3）x，则纵坐标为-40x+20和（100/3）x，依据两车距离为5km，则可列出|（-40x+20）-（100/3）x|=5，所计算出的x值则为问题答案。
　　虽然很多学生会由于接触函数的时间较短，不大习惯于利用此种解题方法，但通过对两种方法的对比，能使他们了解到第二种解法更具直观性和简便性。在教学实践中，教师应该关注对学生逻辑推理能力与几何直观能力的综合培养，使学生充分体会问题解决思路和方法的多样性，促进其创新意识和能力的发展。
　　（二）存蓄总量随时间变化函数关系
　　这一类题型对应的函数图像同样具有较强的直观性，在图像当中能够清晰看出某一时刻的存蓄总量。倘若学生在解题过程中能够实现对图形合理的应用，便能准确把握存蓄总量在大于或者小于某个量时相应的时间，对于促进学生思维的完善化发展具有良好帮助。
　　【例2】 某个容器同时配有进水管和出水管，从某一时刻开始3分钟之内只进水而不出水，随后9分钟之内进水和出水同时进行，每分钟进水量与出水量均为常数。容器当中水量y和时间x的关系如图2所示。当容器中水量超过5升时，求其时间x的取值范围。
　　分析：此题给出由两个一次函数所组成的分段函数，并给出一个确定的水量值y=5升，将其分别代入到两个函数的解析式当中，便可求出相应自变量数值（也就是横坐标x的值），随后将两个横坐标之间的差值求出即可。从题目所给出的图像可以看出，在y=5升时，对应着两个x值，所以所求出的结果应该介于一个区间（也就是时间段）。通过适当的几何图形对题目进行解释，可以有效启发学生的思路，帮助他们更好的记忆和理解一些抽象的数学知识内容与方法。
　　（三）分段函数中函数值大小的比较
　　在“一次函数与方程、不等式”一课中，有很多方程或者不等式都是利用“形”加以解决的，使学生充分感受到“以形助数”所带来的直观性。但在教学活动中发现有部分学生会出现疑惑：利用我们之前学习的方法就可以解决方程或者不等式，那为何还要通过“形”解题呢，难道这不是将简单问题变得复杂了吗？基于此，教师可以通过对某些案例的呈现使大家体会其实用性和便捷性。比如在分段函数相关的实际问题当中，倘若通过此种直观思想思考问题，便能实现对复杂问题的简化，继而优化解题效果。 　　人教版初中数学教材在一次函数内容中设置了一道有关上网收费方案选择问题，建模过程中可以分别列出三个一次函数，而其中两个函数属于分段函数，倘若就“数”的角度进行分析，便要对yA、yB和yC三者之间的大小进行比较，这一过程需要对多个方程与不等式进行计算，不管是解题思路还是计算过程都较为烦琐，无疑会给学生带来较大的心理负担。倘若将三个函数在同一个坐标系中绘制出相应图像（如图3所示），便可实现对这一问题的有效解决。
　　依据本课所学知识点，将函数图像交点位置作为分界，两侧较高位置的函数值较大，也就是相应收费方案更贵，反之则表示便宜。通过几何直观，能使一些抽象的数学问题变得直观化、简单化，因此对数学对象直观模型的构建属于充分发挥其作用的关键。此种解法正是对直观模型的利用，更能符合初中阶段学生的最近发展区，对学生解决问题能力的提升提供帮助，并为他们理解所学知识的本质奠定基础。
　　（四）由特征点着手分析图形运动变换规律
　　从特殊到一般，再从一般到特殊这一反复认知的过程属于人类认识客观世界的规律。而数学学科来源于人类长时间的生产生活实践，对数学知识的认识也应该结合这一普遍规律。不管哪种几何图形，它都是由一些最基本的点所构成的，在解决几何图形问题的时候从特征点着手以研究图形的运动规律，往往会使问题变得十分简单，优化学生的解题思路。
　　【例3】 已知有直线y=x+2。①在y大于1时，求x的取值范围;②在x大于等于0时，求y的取值范围。
　　分析：问题一学生在之前的学习中已经接触过，可以利用类比思想进行解答，而问题二可以通过多种方法进行解答。方法一：通过y=x+2变形可得x=y-2，由于x≥0，因此y-2≥0，可解出y≥2;方法二：在x=0时，得到y=2，由于k=1>0，y会随着x的增大而增大，因此在x≥0时，y≥2;方法三：绘制图像（如图4所示），通过图像特征点进行解题。找出直线当中x≥0的邊界点（0，2），通过对图像的观察发现直线当中此点右侧全部点横坐标均大于0，而这些点的纵坐标则都大于2，继而得出原题结论。
　　三、 结语
　　总而言之，通过几何直观能够实现对一次函数实际问题的有效解决，促进学生解题思维的优化发展，在其脑海中构建起更为完整的知识结构，对学生学科素养的形成与发展具有良好的推动作用，值得广大数学教师投入更多时间和精力对其应用方法进行深入研究。
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　　作者简介：
　　洪莎莎，江苏省南京市，南京市第二十九中学。
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