一类数列收敛的充分条件

来源:用户上传      作者: 周玮

　　 [摘 要]本文分析了用于定义Euler-Mascheroni常数的数列，并在此基础上给出了其收敛的两个充分条件而非必要条件，这些条件较已有的条件更为简洁。
　　 [关键词] 数列 收敛
　　数列 是收敛的[1]，且其的极限是Euler-Mascheroni常数C（C=0.57716…）。
　　数列 收敛的证明，最早由瑞士数学家Leonhard Euler给出[1]，在很多数学分析书[2][3][4]中都能看到，但其证明的过程比较复杂。
　　可以通过证明下面的定理，来得到一个判断包含上述 在内的一类数列收敛情况的判定定理。
　　定理一：
　　对于数列 ，其中 的首项是a1，公差是d（d＞0）的等差数列；若f（x）在[a1，+∞] 上单调有界时，则 收敛。
　　证明：1）首先证明当f（x）单调递减时，定理成立。
　　若f（x）单调递减，且M为它的一个下界，则对任意数自然数n，当 时：
　　
　　
　　 即： ，故数列 单调递减。
　　 同时， 时， ，
　　 两边同时积分： ，
　　 即
　　 令 n=1，2，3，……n，由上述式子得到：
　　
　　
　　
　　 相加之得：
　　
　　
　　
　　即
　　
　　
　　 即 ,
　　故 故： 有下界。
　　由上知： 单调递减且有下界，故 收敛。
　　2）当f（x）单调递增时，同理可证 单调递增有上界。
　　故： 收敛。
　　由于1），2）所以定理成立。
　　定理二：
　　 对于数列 ，其中
　　 是首项为 ，公差为 的等差数列，若 在
　　上单调有界时，则 收敛.
　　证明类似于定理一。下面，用定理来证明数列
　　 收敛.
　　证明：数列 为首项是1，公差为1的等差数列，并且 在 上单调递减有上界 ，由定理一知：
　　数列
　　 收敛.
　　又如，在判断以下两数列收敛时，也可用上述方法.
　　1）
　　2）
　　
　　 此外 由两部分之差构成。被减数是一个级数的前n项和，而减数是一个数列的第n项，那么当 收敛时，这两部分的收敛性有如下关系：
　　推论一：在定理一条件下，级数 与数列
　　的敛散性相同。
　　推论二：当 满足定量一条件时，级数 与数列
　　 的敛散性相同。
　　如：判断级数 与数列 的敛散性相同，而数列 发散，故 也发散。
　　由推论一、二可知若 满足定理条件时，则 收敛；也就是说，定理一、二是判断一类数列收敛的充分条件，但是其并不是必要条件，如反例所示：
　　
　　分析：
　　前面已知证明 的收敛情况，故
　　 收敛。
　　 但是， 并不是单调有界的。因此，定理一、二是 收敛的充分条件而非必要条件。
　　参考文献：
　　[1]Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press.
　　[2]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002.
　　[3]同济大学应用数学系.微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2003.
　　[4]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2001.
　　作者单位：西安职业技术学院 陕西西安

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