e的遐想 等

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　　e的遐想
　　
　　美国Mathematical Intelligencer杂志曾举办过一次别出心裁的选美大赛,编者刊出了24个著名的数学定理,让读者打分选出“最美”的。统计结果显示,瑞士数学家欧拉给出的公式eiπ+1=0获得了冠军,原因是这个公式让数学中最重要的五个常数――自然对数底e、圆周率π、虚数单位i、自然数单位1以及常数0――团圆了。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
　　今天我们一起来追寻无理数e的“前世今生”,首先从古巴比伦人的复利问题谈起。有个商人向财主借钱,财主开出的条件是年利率100%,即每借1元,一年后需连本带利归还2元。但如此高的利率依然不能满足财主的贪欲,他想,如果半年结一次账,半年利率为50%,则一年后可收回(1+0.5)2=2.25元,利息比原来更多!这下财主心里算起了“小九九”:如果一年结算3次,4次,……,1000次,岂不发财了?我们可以一起来帮财主算个账,如果一年结算1000次的话,其本利之和就是1+1000=2.71692,这一结果估计会令财主大失所望。他错误地认为,结算次数越多,利息就增长得越快。而事实上,1+n的值虽然随n的增大而增大,却不可能突破一个极限。欧拉把这个极限记作e,也即我们今天所说的自然对数的底。
　　虽然古巴比伦人研究过复利问题,但他们并不知道e这个数。直到1683年,瑞士数学家雅各•伯努利在研究连续复利时,才意识到问题必须靠求1+n当n→+∞时的极限来解决,但伯努利只估算出这个极限值在2和3之间。之后欧拉利用无穷级数1+++++…首次算出了e的近似值2.71828…,还证明了e是个无理数。
　　作为最重要的无理数之一,e几乎存在于生产生活的各个领域。法国著名昆虫学家法布尔在其《昆虫记》一书的第九卷中就有一段文字专门谈到了e这个神奇的数,“……悬链线,是抓住一条软绳子两端任其垂下来的形状;是一张被风吹鼓起来的船帆外形的线条;是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。而表示这一切都需要e这个数”。
　　什么是悬链线?看看图1,自然下垂的铁链形成什么曲线?也许你会不假思索地说是抛物线,那你就重蹈了历史上数学家的“覆辙”,因为连伽利略、伯努利这样的一流数学家都曾误认为这条曲线是抛物线。一直到后来才由德国数学家莱布尼茨给出了它的正确方程:y=acosh(其中coshx=),并把这样的曲线叫做悬链线。
　　悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都要用到悬链线的原理,工程中还有悬链系数这一专有名词。上世纪60年代以来,桥梁建筑中还出现了先进的悬链线形拱桥。连建筑学都与e如此有缘,这的确令人惊叹不已。
　　
　　寻找藏宝图
　　
　　有一张正方形的藏宝图,在它上面叠放了7张与之大小、形状相同的正方形纸片,并最终形成了如右图所示的一个大正方形。显然,标记着数字8的纸片是最后放上去的。现在请你找出最先放上去的,也就是被压在最下面的那张藏宝图。还等什么?快来一起寻宝吧!

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