圆锥曲线中点弦方程求法新探

来源:用户上传      作者: 向华

　　摘 要：研究者通过对偏对称式的研究，给出圆锥曲线中点弦的一种新求法。
　　关键词：偏对称式；圆锥曲线；中点弦
　　
　　一、定义
　　
　　设P（x0，y0）为圆锥曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上一点，则过 P的切线方程为：
　　axx0+b +cyy0+d +e +f=0――（*）
　　把（*）式和ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0比较，得到定义。
　　定义：我们把 称为x的偏对称式，xx0称为x2的偏对称式。
　　
　　二、发现问题
　　
　　例1.已知椭圆方程4（x-3）2+9（y-2）2=36，试求以P（2，3）为中点的弦的方程。
　　解：P（2，3）为椭圆内一点，所以过P（2，3）的中点弦方程存在，又点P不在坐标轴上，因此斜率存在。设此弦所在直线方程为l：y-3=m（x-2），代入4（x-3）2+9（y-2）2=36，
　　得4（x-3）2+9（mx-2m+1）2=36。
　　?圯（4+9m2）x2-2（18m2-9m+12）x+36m2-36m=0。
　　因为P（2，3）为中点，所以 ・ =2?圯m= 。
　　此弦的方程式为4x-9y+19=0。
　　注：4（x-3）2+9（y-2）2=13的偏对称式为4（x-3）（x0-3）+9（y-2）（y0-2）=13。
　　将（x0，y0）=（2，3）代入得4x-9y+19=0。
　　从上例我们发现：求得的中点弦方程与代入另一常数项的椭圆的偏对称式一样，于是我对此产生了怀疑，此结果是巧合还是真的都如此。因此，我展开了探讨。
　　
　　三、探究问题
　　
　　定理：直线l交圆锥曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0于A，B两点，若M（x0，y0）为线段AB的中点，则l的方程为：
　　axx0+b +cyy0+d +e =ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0。
　　证明：设圆锥曲线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），则
　　ax22+bx2y2+cy22+dx2+ey2+f=0――①，
　　ax12+bx1y1+cy12+dx1+ey1+f=0――②
　　由①-②得：
　　a（x2-x1）（x2+x1）+b（x2y2-x1y1）+c（y2-y1）（y2+y1）+d（x2-x1）+e（y2-y1）=0。
　　因为x2+x1=2x0，y2+y1=2y0，
　　x2y2-x1y1= =y0（x2-x1）+x0（y2-y1），
　　所以2ax0（x2-x1）+by0（x2-x1）+bx0（y2-y1）+2cy0（y2-y1）+d（x2-x1）+e（y2-y1）=0。
　　两边同时除以x2-x1（x2≠x1），并记kAB= ，则有
　　2ax0+by0+bx0kAB+2cy0kAB+d+ekAB=0?圯kAB=- 。
　　所以l的方程为y-y0=- （x-x0）。
　　化简（y-y0）（2cy0+bx0+e）=-（x-x0）（2ax0+by0+d）。
　　左右展开，合并即得：
　　axx0+b +cyy0+d +e =ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0。
　　
　　四、结果和应用
　　
　　由以上定理可知，在求圆锥曲线中点弦方程时，只需把中点坐标（x0，y0）代入圆锥曲线方程求出其值，并把它作为此圆锥曲线的偏对称式右边的值，那么就得到了以（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程。下面我们用以上结论解题。
　　例2.已知椭圆方程4（x-3）2+9（y-2）2=36，试求以P（2，3）为中点的弦的方程。
　　解：把中点（x0，y0）=（2，3）代入4（x-3）2+9（y-2）2得到的值为13，
　　所以4（x-3）2+9（y-2）2=36的偏对称式为4（x-3）（x0-3）+9（y-2）（y0-2）=36。
　　故所求直线方程为4（x-3）（x0-3）+9（y-2）（y0-2）=13，即4x-9y+19=0。
　　例3.求过点M（3，-1）且被点M平分的双曲线 -y2=1的弦所在的直线方程。
　　解：把中点（x0，y0）=（3，-1）代入 -y2得到的值为 ，
　　因为 -y2=1的偏对称式为 -yy0=1，
　　故所求直线方程为 -y×（-1）= ，即3x+4y-5=0。
　　参考文献：
　　［1］国立编译馆（民83）．高中理科数学（上）．国立：国立编译馆.
　　［2］国立编译馆（民84）．高中基础数学（三）．台北：国立编译馆.
　　［3］杨健民．公平原理在中点弦方程式的应用.
　　（作者单位 湖北省恩施市来凤县第一中学）
　　

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