对称性在高中数学中的应用举例

来源:用户上传      作者:

　　摘 要：生活中数学无所不在，哪里有数学，哪里就有美。对称美是数学美的一个方面，对称关系广泛存在于数学问题当中，充分利用对称的原理，往往能使问题更简便地得到解决。本文是笔者通过几个比较典型的例子，对数学中所特有的对称的美作一些简单的归类和总结。
　　关键词：对称美 对称性 数学
　　高中阶段我们接触到的对称主要包括点对称和轴对称两种。无论是数学本身，还是在现实生活中都可以找到许多对称的美。如正多边形、立方体、椭圆、抛物线、三叶线等这些几何图形都具有对称的美感。现实生活中有如故宫、蝴蝶、人体的轴对称等等。
　　在各级各类考试中，也经常出现可以用“对称性”来求解的问题，本文通过收集、列举一部分比较典型的例子，介绍“对称性”在数学解题中的一些妙用，并以此为契机让学生感悟数学中独特的对称的美。
　　一、数列中的“对称美”
　　在等差数列的前n项和公式的推导过程中，就体现了数学的“对称美”。已知：等差数列的首项为，公差为 d，求其前n项和。
　　根据前n项和的含义，有
　　，将该式次序反过来可有
　　，两式相加得：
　　false 所以
　　此法为倒顺求和法，体现了等差数列前n项和应用的一般解题思路，也是让学生对数学中对称美的一次感悟。
　　二、巧用二项式系数的“对称性”解题
　　二项式系数的一个突出性质就是具有“对称性”，运用此性质并注意式子的结构特点来解题，不失为一種既简便又巧妙的方法。
　　例：求证：，n为自然数。
　　解：设，注意到二项式系数的“对称性”，即
　　将S倒序排列并与原来的S相加，得
　　所求可证得，所以原等式成立。
　　三、利用中心对称，求曲线方程
　　中心对称问题和轴对称问题在解析几何中经常会碰到，在解题过程中，如果能注意发现和利用对称性的原则，往往可以取得很好的效果。
　　例：在椭圆中，求以点P（2，1）为中心的弦所在的直线方程。
　　用常规方法求解是先设过点P的直线的点斜式方程，再将此方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，然后利用中点坐标公式结合韦达定理，求出斜率，进而求出直线方程，此法的计算量较大。
　　妙解：利用中心对称性构造曲线方程。
　　椭圆关于点P（2，1）对称的椭圆方程为
　　将以上两方程相减，整理后可得所求的直线方程为：
　　除了上述所列之外，数学中包含“对称美”的地方还有很多，而且除了“对称美”，数学中还有许许多多其他“美”的元素，这些都需要我们去探索、去思考、去体会。感悟数学，感悟它的“美”。
　　参考文献
　　[1]何先俊，李庆普.利用对称性求解根之和.中学数学教学（2004）.
　　[2]可喜奎.高考题中对称问题的解法.中学生数学（2001）.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14792153.htm