单元视角下“圆的方程”专题的问题串设计

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　　摘要：基于“直线与圆”单元的整体分析，将“圆的方程”专题整合为2个课时，第一课时研究圆的代数表示——标准方程和一般方程，第二课时研究直线与圆的位置关系。基于“圆的方程”专题的教学要素分析，设计该专题的问题串（例题组），指出：逻辑明确、思维连贯、逐层深入是设计问题串（例题组）的基本要求，也是引导学生学会思考和研究，善于提出和分析问题的重要出发点。
　　关键词：中观设计 单元视角 问题串设计 圆的方程
　　在《高中数学中观教学设计：现状、问题与对策》一文中，笔者提出：“确定单元内容后，应该在中观层面上引导学生掌握研究一个新的数学对象的‘基本套路’。”具体而言，就是在单元整体的“大观点”（big idea）下，设计出体现数学整体性、逻辑连贯性的系列化数学活动，引导学生构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法。本文以“直线与圆”单元中“圆的方程”专题为例，讨论如何整合教材内容，设置适当的问题串（例题组），突出单元视角下问题引导和解题教学的内在逻辑。
　　一、“直线与圆”单元的整体分析
　　我国数学教育先驱傅种孙先生在谈及几何教学时，指出：“几何之务，不在知其然，而在知其所以然;不在知其所以然，而在何由以知其所以然。”在这一思想的指引下，章建跃博士梳理出中学几何教学中研究数学对象的基本路径：界定数学对象（给定义）—对象的表示和分类—基本性质（对象内部各要素之间的关系）—特例—联系和应用（与其他对象之间的关系）。“直线与圆”单元的研究路径大致符合这一路径，同时也具有独特的个性。
　　首先，直线与圆作为两种最特殊的曲线，在初中平面几何学习中已经做过介绍，在高中解析几何研究中不需要再给出定义;作为两类最简单的曲线，也没有特例值得研究。正是由于直线与圆的特殊几何性质，在涉及两者的解析几何问题的研究中，常常会借助于平面几何的性质。比如，判断直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系，比利用方程組（联立直线与圆的方程）的解，显得更为方便。这些都是“直线与圆”单元研究路径的特性。
　　其次，直线的研究大致遵循“对象的表示—对象内部各要素之间的关系—与其他对象之间的关系”的基本路径。直线的方程就是直线这个几何对象的代数表示，由定点和方向确定直线，可以得到点方向式、点法向式、点斜式、斜截式方程;由两个定点确定直线，可以得到两点式、截距式方程;为了研究两条直线的位置关系，需要建立统一的表示，得到直线的一般方程。直线的内部要素是点，直线上点与点之间的关系主要体现在“三点共线”“线段定比分点”等具体问题中。直线与直线的位置关系分定性（包括平行、相交、重合等）和定量两个层面进行研究;对于两条平行直线，可以研究两者之间的距离，进而转化为研究点到直线的距离;对于两条相交直线，可以研究两者的夹角。需要特别说明的是，对称性是几何研究的核心性质，而垂直正是对称性的具体反映，因此，两条直线垂直应该作为一种特殊的位置关系单独研究。
　　最后，圆的研究主要分为两大方面。一方面是通过方程来表示圆，包括具有明显几何特征的标准方程和具有二次代数结构的一般方程;另一方面是通过直线与圆的位置关系来凸显圆的性质，这相当于将研究数学对象的基本路径中的两个步骤（性质、联系）合二为一了。
　　二、“圆的方程”专题的教学要素分析
　　（一）教学内容分析
　　沪教版高中数学教材中，“圆的方程”专题由3个课时组成（各课时的主题粗略可以归纳为标准方程、一般方程和杂例），例题设计碎片化，缺乏严密、系统的内在逻辑。在具体教学设计中，笔者根据上述分析，将该专题整合为2个课时，使得每个课时的主题突出，便于问题串（例题组）的设计。
　　第一课时研究圆的代数表示——标准方程和一般方程。在此之前的内容是“直线的方程”，之后的内容是“圆锥曲线的方程”，所以，本节课有着承上启下、展示研究思路、渗透研究方法的作用。圆的标准方程刻画了圆的几何特征：位置（圆心）和大小（半径）。圆的一般方程刻画了不同位置、不同大小的圆的共同代数特征：均为一类二元二次方程。无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都由三个参数确定，因此，用待定系数法求圆的方程，是本节课的教学重点。
　　第二课时研究直线与圆的位置关系。这是解析几何中第一次系统研究直线与二次曲线的位置关系，在此之前的内容是“直线与直线的位置关系”，所以，本节课是定量研究两个几何对象的位置关系的相关理论和方法的延续与深化。直线与圆是几何研究的两个重要对象。在解析几何中，联立直线与圆的方程，根据方程组解的情况，可以判断直线与圆的位置关系，同时可以定量刻画直线与圆公共点的位置。平面几何中判断直线与圆相交、相切等情况的各种方法，在解析几何中也都有对应的代数表述，并且在圆的研究中具有重要的价值。因此，本节课的教学重点是，用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，包括垂径定理等几何结论的代数表述。
　　（二）学生学情分析
　　第一课时立足于圆的代数表示。学生刚刚学习了“曲线和方程”（沪教版高中数学教材的编排），初步认识了曲线（几何对象）上的点与方程（代数表示）的解之间的关系，会用方程表示动点的轨迹，知道通过联立方程的方法研究两条曲线的交点的问题，因此，可以引导学生自主完成圆的标准方程的推导。学生系统学习过三元一次方程组的行列式解法，这为利用待定系数法求圆的方程做了知识准备。在初中，学生学习了圆的定义及其简单的几何性质，掌握了单变量二次式的配方，但是尚不熟悉多变量二次式的配方，因此，通过配方法研究二元二次方程表示圆的充要条件，是本节课的教学难点。
　　第二课时立足于直线与圆的位置关系。学生尚不熟悉运动变化的直线与圆的位置关系的定量刻画，所以，以圆的动弦的中点轨迹为例，用定量方法研究几何图形变化中的不变性，是本节课的教学难点。 　　（三）教学目标分析
　　第一课时：会推导并掌握圆的标准方程和一般方程，进一步熟悉求曲线方程的方法;会用待定系数法求圆的方程，在对圆的方程两种形式的选择过程中，体会形与数的转化;通过阿波罗尼斯圆的介绍，理解坐标法处理几何问题的基本思路。
　　第二课时：会用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断直线与圆的三种位置关系;会用向量坐标、斜率等代数工具将切线的几何特征、垂径定理等结论代数化，体会形与数的转化;通过圆的动弦的中点轨迹问题的研究，感受几何图形变化中的不变性。
　　三、“圆的方程”专题的问题串（例题组）设计
　　（一）第一课时：圆的代数表示
　　师今天我们研究圆。研究一个数学对象，首先要做界定、给定义，请同学们复述圆的定义。
　　[预设学生回答：平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹，定点为圆的圆心，定长为圆的半径。]
　　师界定研究对象后，需要用数学语言来表示对象。在解析几何研究中，我们用方程来表示曲线，再利用方程来研究曲线的性质。
　　（三）问题串（例题组）设计说明
　　在单元整体分析的基础上设计问题串（例题组），需要以明确的逻辑主线贯穿始终。设计每节课的问题串，应按照形式相似、背景相同的原则，通过问题变式，逐渐深入问题的本质。例题组的设计也是如此，不能“拉到篮子里就是菜”，应深入认识每道例题的功能和价值，明确选题指向。在“圆的方程”专题的问题串（例题组）设计中，两个课时的逻辑主线都是极为鲜明的：
　　第一课时通过方程来表示圆。首先，由定义得到圆的标准方程（问题1），并由圆心坐标、半径大小巩固对标准方程的认识（问题2）;其次，由标准方程展开得到一般方程，问题3重点在于分析圆的一般方程的结构;接着，通过例1比较圆的标准方程和一般方程，加深对两种形式的本质认识;最后，通过例2凸显利用方程表示圆的重要价值。
　　第二课时通过直线与圆的位置关系来凸显圆的性质。由直线与圆的方程判断位置关系，跟初中所学相比在思维层次上并没有明显提升，故而本节课例题设计的逻辑主线是：直线、圆、两者位置关系三个信息，已知其中两个，研究第三个。在具体设计时，“已知圆的方程，求切線的方程、动弦中点的轨迹”是探讨的主要问题：直线确定时求出其方程，直线不确定时研究其变化中的不变性。例3、例4研究过定点的切线方程，例5研究过定点的动弦中点的轨迹，例6研究定向（斜率固定）的切线方程、定向的动弦中点的轨迹。进一步地，在研究问题的选择上，“已知对象”可以是圆，也可以是直线;“两者位置关系”可以是相切、相交;“未知对象”可以定一个条件（比如过定点）。由此，可以提出一系列的其他问题。
　　总之，引导学生把握逻辑主线，学会思考和研究，善于提出和分析问题，是“圆的方程”专题中问题串（例题组）设计的重要出发点。
　　参考文献：
　　[1] 任念兵.高中数学中观教学设计：现状、问题与对策[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（9）.
　　[2] 章建跃.学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例[J].数学通报，2019（1）.
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