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巧用“分类”理解概念,帮助学生积累数学活动经验

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   【摘要】等式与方程是数与代数教学中最基本的概念之一,方程作为一种重要的数学思想方法,它对于丰富学生解决问题的策略,突破算术思维方法中的某些局限性,提高学生解决问题的能力,发展学生数学素养有着非常重要的意义。同时,它也是学生进一步学习代数知识以及其他科学知识的重要基础。让学生在分类操作中体验等式与方程的本质与特征,让教学变粗糙为精致,最终使学生对等式与方程的含义由模糊逐渐到清晰,积累数学活动经验是非常必要的。
  【关键词】分类操作 等式与方程 数学活动经验
   一、初上与反思
   1.初上
   “等式与方程”是苏教版小学数学五年级下册第一单元第一课时的内容,方程刻画的是现实世界中的等量关系,对小学生来说,从具体事物的数量抽象出数,是认识上的一次飞跃,由具体的确定的数过渡到用字母表示未知的、可变的数是认知上的又一次飞跃。根据学生的学情和思维层次发展,一开始,笔者是这样教学的:
   环节一:教学等式
   出示题图。
   (1)先观察,图中画的是什么?
   师:知道天平有什么用处吗?(简要介绍天平)你们从图中能知道什么?想到了什么?
   (2)学生交流得出:50+50=100。
   说明:像这样的式子叫作等式,等式的左边是50+50,右边是100。
   (3)让学生写出一些等式。
   环节二:初步感知方程
   出示天平图。
   教师引导学生用式子表示天平两边物体的质量关系。
   说明:式子中的x都是未知数。
   观察讨论这些式子中哪些是等式?这些等式有什么共同点?
   学生交流小结:有两个是等式,两个不是等式;两个等式都含有未知数。
   教师揭示方程的意义,像x+50=150,2x=200这样含有未知数的等式叫方程。指导学生比较50+50=100,x+50=150,2x=200这三个等式,体会等式与方程的逻辑关系。
   环节三:认识方程与等式的关系
   小结:方程是一种特殊的等式。
  2.反思
   但是在随后的练习反馈中,部分学生对于方程与等式的关系理解不够透彻,有的学生认为以下两种答案是正确的。
   笔者认为出现这样的情况,主要是前面部分的教学有如蜻蜓点水,导致学生对方程和等式这两个概念的认识不够,笔者的“一带而过”导致学生在板块中分不清两者之间的包含关系,其实就是因为初学时没有能够让所有的学生好好体会这两个概念,笔者关注学生的已有经验不够,导致他们不能完整、清晰地表达出这两个概念的本质关系。随后,笔者查了一些资料,基于杜宾斯基的APOS理论,一个数学概念的图示,有相应的活动程序、对象以及某些原理相联系的其他图示。所形成的一种个体头脑的认知框架,数学课堂教育应关注于学生是如何学习数学的,以及什么样的教学计划可以帮助这种学习。笔者想到要设计活动,让学生自己内化概念。课标明确指出分类是一种重要的数学思想。在研究数学问题中,常常需要通过分类讨论解决问题,分类的过程就是对事物共性的抽象过程,教学活动中要使学生逐步体会为什么要分类,要如何分类,如何确定分类标准,在分类过程中如何认知对象的性质,如何区分不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累,使学生逐步感悟,分类是一种重要的思想,学会分类可以有助于学习新的数学知识,有助于分析和解决新的数学问题。笔者决定修改教案,于是第二次笔者是这样设计的:
   二、改变与反馈
   1.改变
   环节一:看天平写式子
   回忆:天平如何称物体?怎么知道天平是否平衡?
  师:看图,用式子表示天平两边质量大小。
   生:50×2=100。
   师:根据这4个天平,你能写出哪些式子?
   生:x+50>100,x+50=150,x+50<200。
   (教师增加几个天平,让学生自己独自写式子)
   ……
   师:像这样,天平平衡时,我们写出的式子是等式。
   环节二:分类并讨论
   活动任务:
  (1)将刚才写出的所有式子进行分类。
  (2)在小组里说一说,自己分类的标准是什么?是如何分类的?
   第一次汇报:
   生:将式子分成等式和非等式。
   师:把等式再分类,你会如何分?
   生:含有未知数的和不含未知数的。
   师:分出这些,经过了几次分类?
   第二次汇报:
   生:将式子分为含有未知数的和不含未知数的。
   师:将含有未知数的式子再进行分类,可以怎么分?
   生:等式和非等式。
   师:分出这些,经过了几次分类?
   环节三:理解方程的意义
   师:无论按哪种分类标准,最后的结果都是经历了两次分类,最后都得到了一类“含有未知数的等式”,这就是方程。
  2.反馈
   与最初的教案设计相比,看似只多了“分类”的活动,但是效果是完全不同的,学生通过自己的分类活动将概念内化,通过四个步骤:①揭示概念的本质属性给出符号;②对概念进行分类;③巩固概念,利用概念的定义进行简单识别活动;④用概念解决问题并建立联系,采用“属+种差”的概念同化方式,实实在在地提高了学生学习数学知识的能力。学生通过了两次分类过程:一次是把式子分为等式与非等式,另一次是含未知数和不含未知数的等式,这两次的分类标准,正巧就是方程含义的两大特征。汇报环节也是经过考虑的,第一次先分为等式和非等式,然后分为含未知数和不含未知数;第二次是先按是否含有未知数,再按照是否是等式来分类,目的在于让学生体会无论按哪种分类标准,最后的结果都是经历了两次分类,都得到了一类含有未知数的等式。在分类的过程中,提升了学生的逻辑思维能力,让他们在分类操作中体验等式与方程的本质与特征,让教学变粗糙为精致,最终让学生对等式与方程的含义由模糊逐漸变为清晰。
   充分利用分类这一活动提升了学生的活动经验。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志,帮助学生积累数学活动经验,是数学教学的重要目标,是学生不断经历和体验各种数学活动的结果。
  
   【参考文献】
  [1]孔凡哲,曾峥.数学学习心理学第2版[M].北京:北京大学出版社,2012.
  [2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.
  [3]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009.
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