运筹学课程教学模式探讨
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作者:白雪洁
[摘 要] 运筹学是数学专业和管理类专业的核心课程之一。分析了运筹学课程的特点，着重从教学过程中应采用的几种数学思维、教学方法两方面对如何教好运筹学课程进行探讨。教学实践证明，运筹学课堂教学模式有助于学生数学思维能力的提高，理论和实验有机融合的一体化教学既提高了学生学习运筹学的兴趣，也提高了学生的操作能力，培养了学生的创新、创业意识。
[关 键 词] 运筹学;数学思维;教学方法
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）22-0050-02
运筹学，作为一门课程有其自身的特点：即数学模型的高度抽象性、数学方法的严密逻辑性和实际应用的范围广泛性。运筹学的教学不仅要使学生理解基本知识，掌握常用方法，具备建模和求解技能，还要在思想上完成从基础数学向应用数学的转变，思维方式上时刻关注问题的最优化决策。运筹学是数学实验、数学建模、最优控制等多门后续课程的基础，是各领域解决实际问题不可或缺的数学工具。该课程教学的成功有利于提升学生将实际问题凝练为数学问题的能力，增强学生的数学素质和创新创业意识，对培养双创型人才具有重大意义。
一、运筹学教学中运用的几种数学思维
（一）抽象思维
抽象思维是对事物的属性进行分析、综合、比较，抽取出事物的本质属性，撇开其非本质属性，使认识从感性的具体进入抽象的概念。线性规划是运筹学中第一个抽象概念，之后的许多概念如运输问题、目标规划、整数规划和非线性规划等都是对线性规划的深化和推广。理解和掌握线性规划的概念是学习后续内容的基础。
（二）逻辑思维
逻辑思维是借助概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程。运筹学中各分支的主要结论，其证明实际上都运用了逻辑推理方法。学习定理的证明有助于增强学生思维的逻辑性。比如证明线性规划问题的基础可行解对应于可行域的顶点时用到的反证法就是一种数学上经常用到的逻辑方法。
（三）归纳思维
归纳是从众多个别的事物中概况出一般性概念的思维方法，主要通过分析特例来引出普遍结论。比如，在运筹学中，由合理利用线材问题、运输问题、连续投资问题的数学模型归纳出了线性规划的数学模型;由生产计划问题和配料问题的数学模型归纳出了目标规划的数学模型;由多属性综合评价问题和有价证券的资组合问题归纳出了非线性规划（特别是二次规划）的数学模型;由最短路线问题和机器负荷问题归纳出了动态规划的优化思想。
（四）类比思维
类比是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也可能相同或相似的一种推理形式。例如，在学习线性规划的单纯想法后，可以用类比法得到对偶单纯形法;对线性规划的特例运输问题，可类比单纯形法讲解表上作业法;求解线性目标规划的数学模型，当决策变量有两个时可采用图解法，多于两个时可采用类似于线性规划的单纯形法。
（五）发散思维
发散思维是从一个目标出发，沿着各种不同的途径思考，寻找多种求解思路的思维。例如，給出如下线性规划：
针对模型结构，我们可以利用两阶段法、大M法、对偶单纯形法直接求解原模型。我们也可以采用间接方法，先写出该规划的对偶线性规划。由于对偶规划含有两个决策变量y1和y2，用图解法求出最优解y1=8/5和y2=1/5，再用对偶定理得到原线性规划的最优解x1=11/5，x2=2/5和x3=0。
（六）收敛思维
收敛思维是从多种方法中找出最优方法或唯一方法的思维方式与发散思维相对。例如，最短路线问题可以用逆序标号法来计算，也可以用动态规划思想求解，还可以用Dijkstra方法求解。这是发散思维，但用逆序标号法简便易操作，这就是收敛思维。
（七）创造性思维
创造性思维是一种具有开创意义的思维活动，基于感知、记忆、思考、联想、理解等能力，辅以综合性、探索性和求新性特征的高级心理活动，需要人们付出艰苦的脑力劳动，开创出认识新成果。
二、运筹学的教学方法
2018—2019学年第一学期我校采用理论课和实验课相结合的教学方式，使运筹学教学过程得以优化。
（一）理论课教学
1.教师对课程内容有宏观把握，关注学术前沿和研究热点，备课时要钻研教材，深入浅出，将前沿内容与教材有机结合，以课前引导、课堂渗透和课后延伸阅读等形式穿插到授课中，开阔学生的眼界和提升学生的高度。例如，我们在教材中以线性规划等数学规划为研究内容，但目前学术界关于规划的研究还有随机规划、模糊规划和鲁棒规划等处理不确定信息的多种方式;讲解完运输问题内容后，借鉴国内外学者关于运输问题的最新研究进展。
2.教师在讲授内容时展现出自己对运筹学的深厚热爱，用满腔激情去影响学生，适当引入运筹学发展史和科学家以促进学生
的学习积极性。例如，绪论中说明我国运筹学发展时给学生介绍老一辈运筹学家许国志和华罗庚的贡献;讲授动态规划时介绍最优控制和钱学森的事迹。
3.课堂讲授坚持“少而精”原则。整体讲清教材的知识结构，章节间内在联系;每讲突出授课内容的重点和难点。例如，线性规划数学模型的建立、图解法、基础可行解、单纯形法、对偶规划、对偶理论、灵敏度分析等一系列理论讲解时，均采用两种产品的生产计划问题作为典型例子。 4.改革数学传统的粉笔加黑板的师授生受方式，尝试用多媒体教学新模式。该方式的主要载体是教学课件，为此我们选择Latex和PowerPoint作为编辑工具，制作了PDF和PPT电子教案。
實践表明，上课前编辑课件，课上会发现存在字符错误。为保证教学顺利进行，对课件要做好及时更新和反馈评价。
多媒体教学借助数字化技术，具有信息量大、操作便捷的优势。经过实践发现，多媒体授课的实际效果与学生摄取的信息量并不是同步增长。观察到学生高强度长时间集中精力有一定困难，一方面，我们把较难理解的内容在黑板上边板书边讲解，给学生整理和思考的时间，拒绝一股脑地向学生灌输一系列知识;另一方面，针对重要求解方法，讲解完后趁热打铁，让学生进行练习，体验学会一种方法的喜悦。
5.案例教学实现运筹学理论与应用实践的有效连接，可以让学生更好地理解数学模型和求解原理，提高学生分析问题、解决问题的能力。例如，根据运筹学的不同模块内容选择不同案例。在线性规划中讨论配料问题和连续投资案例;整数规划中引入设备选址与分配案例;二次规划中分析投资组合案例;目标规划中探讨应急物资分配案例。
（二）实验课教学
1.实验教学与理论教学相结合的教学过程符合新形势下的
教学要求，让学生既动脑又动手，充分利用现有技术发展为教学带来的便利，规避了运筹学中数学理论和算法的枯燥性，实现了运筹学教学的趣味性和实践性。
2.与理论课内容相对应，实验课分成7个专题：Lingo基础、线性规划、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划和二次规划和一个综合性案例。每个专题自有特色，内容循序渐进。综合案例来源于教师熟悉的研究领域或实际问题，对背景和决策有深刻
的理解，可以有充足的经验和能力驾驭整个实验过程。
3.实验课时用开始20到30分钟时间介绍上次课实验的计算结果和本次课的内容及算例演示。特别是对一些关键问题，详细分析如何根据问题建立模型，如何由模型写出针对其结构特点的Lingo程序，并依据实验计算结果给出具体决策方案。
4.实验课时采用屏幕共享方式，提高学生的学习效率。
5.实验课是知识向能力转化、理论指导实践的关键环节。通过几次课的学习，可以看到学生在模型求解上已经有自己的认识
和心得，在时间允许的情况下，鼓励优秀学生分享自己的编程分析过程。例如，前面提到的营业区增设销售店问题，就是由两个学生自己针对问题特点，编写了整数线性规划程序找到不同营业区销售店数量的最优分配方案。
三、总结
“运筹帷幄，决胜千里”。运筹学的最优化思想在工业、农业、商业、交通运输、经济等方面发挥了重要作用，是联系数学与实践问题的桥梁，计算机技术与运筹学有机结合是定量决策的最有力工具。2018—2019第一学期，我们在运筹学信息化教学中迈开了第一步，实践结果表明学生对“理论+上机”的教学模式态度上是积极的，学习效果是普遍满意的。今后我们会继续在实践中完善，并探索其他的新方式，如PBL教学法、翻转课堂等，提升大学生的实践能力，更好地服务于高校培养创新创业人才的根本任务。
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◎编辑 李 静
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