运用实例教学正反比例概念的浅见

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　　摘 要：正反比例概念的教学是小学数学教学的难点，是初中函数教学的基础。本文就运用实例概括概念，理解正反比例之间的联系，判断正反比例，解答相关应用问题几个方面作了阐述。
　　关键词：小学数学教学 正反比例概念 形成 判断 应用
　　人民教育出版社出版的现行小学数学教材将比安排在六年级上册，将比例安排在六年级下册。因为“比”和“比例”是现实问题的抽象，在教学中应通过实例形成概念，掌握规律，巩固概念。而正反比例的知识，反映了生活和学习中最基本、最常见的数量关系以及变化规律。现就如何运用实例教学正反比例概念谈一些浅见。
　　一、运用实例概括概念，揭示正反比例之间的内在联系
　　新的数学概念的引入直接关系到概念的形成和发展，在正反比例概念的教学中，充分运用教材中的实例：“文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系”和“圆柱形玻璃杯的底面积与水的高度的变化情况”应引导学生用自己的语言叙述教材中相应的两个表中的数量关系，并借助教材上提供的数据和图表，渗透函数思想，让学生知晓：两种相关量，是指一种量变化，另一种量隨着变化。接着要求学生抽象概括两种相关联的量的变化规律，实例1，是，两种量的比值一定，用X/Y=K表示：实例2是，两种量的乘积一定，用XY=K表示。
　　那么它们到底有哪些联系呢？这两个概念的前提是相同的，条件和结论各不相同。条件为相对应的两个数的比值一定，结论是成正比例;条件为相对应的两个数的积一定，结论是成反比例。从而精确地、完整地、清晰地概括出了正反比例的概念。
　　二、运用实例进行正反比例的判断
　　要想正确解答正反比例的应用问题，首先就要判断该问题到底是正比例问题，还是反比例问题，常用判定方法有以下几种。
　　1.简单问题的实例判断
　　学习正反比例的概念后，对于一些简单问题采用实例判断。如，某学生步行时，速度、时间、路程三个变量进行研究，借助已学知识：路程=速度×时间。如果，速度（时间）一定，路程和时间（速度）成正比例。如果路程一定，速度与时间成反比例。
　　2.易错问题的实例判断
　　如，“圆的周长一定，圆周率和直径成反比例。”的判断。有的学生误认为：“积一定，两种相关联的量就成反比例。”
　　通过C=2πR=πd的实例运算，大家才恍然大悟，π是常数，不是变量，命题不成立，若将C，R看变量，=2π，符合正比例概念要求，C与R成正比例。从而提高了学生对正反比例的判断能力。
　　3.易混问题的实例判断
　　如，判断题：（1）读书的时间一定，读一页书所需时间与页数;（2）读书的时间一定，读书总页数和读每页书所用的时间。有的学生一见“时间一定”就迫不及待地判断“成正比例”。为此，可创设了一个实例：某学生读40分钟的书，如果每分钟读0.5页，他一共能读多少页0.5×40=20（页），不难看出（1）属于x.y=k的问题，是反比例;（2）属于x/y=k的问题，成正比例。
　　4.陌生问题的实例判断
　　如，一根长方体木料，所锯段数和需用时间，成什么比例？因为学生缺乏生活经历，对此类问题感到陌生，容易误判为成正比例。用实例让学生画草图，比较锯成2段、3段、4段，......时相应所锯的次数......。发现：锯成的段数总比所锯的次数多1。于是出现了≠≠，以及1×2≠2×3≠3×4。所以它们之间既不能成正比例，也不能成反比例。
　　三、用实例法深化概念的基础知识，生成基本技能
　　修订后的《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了四基标准。基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。基础知识的学习目标是解决“知道”与“不知道”的问题。而基本技能的学习目标是解决完成活动时“会与不会”“熟练与不熟练”以及熟练到什么程度的问题。要想将知识变成技能，是需要经过动手操作、动笔演练、动脑思考、合作交流等一系列的训练过程。现以正反比例为例加以说明：
　　1.用实例理解概念，生成判断技能
　　正反比例这一部分的教学内容，主要使学生理解和掌握两种相关联的变量间的比例关系。如行程问题中的基本公式：路程=速度×时间。根据正反比例的概念，路程、速度、时间三个变量中，必须有一个量一定，判断另外两个变量的关系。如某学生步行速度4公里/小时，步行3小时的路程是多少？4×3=12（公里）。依据正反比例的概念，得出：①速度一定，路程与时间成正比;②时间一定，路程与速度成正比;③路程一定，速度与时间成反比例。在此基础上，用正反比例的概念解答这一类型的应用题就顺利了。如，解决：购物问题，=数量;做工问题，=工作效率;产量问题，=亩产量。......
　　2.用实例转换成正反比例的技能
　　在生活和学习中，学生会遇到一些具有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化的情况。如，植树、路边安装路灯、锯木分段、爬楼梯等问题中两个变量乍看是成正比例或反比例，按实例算一下，却不一定是。
　　如，植树问题，在60米长的跑道外侧植树每5米植1棵，可植多少棵？植树棵数与间隔数成比例吗？通过实例算一下，得出以下结论：①两端都植1棵间隔数与棵数不成比例;②一端植一端不植，间隔数与棵数成正比例;③两端都不植，间隔数与棵数不成比例。将①的棵数-1，③的棵数+1，就转换成②了。想实例，安装路灯与植树一样，锯木分段所锯次数比段数少1，爬楼梯问题，一楼不需爬，通过这样的实例分析，以上问题均可转换为成正反比例的问题，并可进一步解决相关应用问题。
　　3.用实例提高解答应用题的技能
　　教学中，可通过解答应用题的过程反复使用正反比例的概念，审题、分析、解答和检验等步骤巩固正反比例的概念。例如，老师和学生2人，用电脑打一份资料，3小时可完成，老师1人打需5小时，学生每小时能打2页，问老师每小时能打多少页？此问题有哪些解答方法？学生凭经验使用了比例分配法、倍比法、归1法等方法。若抓住工作总量为1，工作总量=工作效率×工作时间，按xy=k，因此工作效率与工作时间成反比。学生单独完成任务的时间为：1÷（1-）÷3=7.5（小时）。列成反比例式：7.5：5=X：2，解得X=3（页），检验略。或用：（1-）=X：2 更为简单。
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