卡普列加数的公式求法

来源:用户上传      作者:曾俊雄

　　【摘要】用公式法求卡普列加数，既可以快速求出卡普列加数（系列），又可以快速求出它们对应的卡普列加数的分式表达式，以及具有周期变化规律的卡普列加数的分式表达式，并且说明了循环数中存在卡普列加数的条件。
　　【关键词】循环数符号  卡普列加数分式表达式  卡普列加数系列  卡普列加数同余数
　　【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）14-0235-02
　　观察这个等式：945205472=89341338，05179209 （1）（运算结果的前、后半部分用逗号隔开），其循环和：89341338+05179209=94520547。人们把具有這种特征的数叫作卡普列加数。为便于研究：把94520547称为卡普列加数，89341338， 05179209称为卡普列加平方数，等式（1）称为卡普列加数的一般表达式（以下同）。为研究循环数的循环周期现象，卡普列加数的周期变化规律，特给出循环数符号的定义和规定：定义1  循环数符号（b/a）i=m表示既约真分数b/a（本文分母中的字母a均为不含2及5的素因数） 的1节或多节循环数的前m位数，符号（b/a）i=λ或（b/a）λ（λ表示b/a的循环节长度，以下同） 表示b/a的1节循环数，符号[（b/a）λ][（b/a）i=n]表示[（b/a）λ]×10n+[（b/a）i=n]，符号[（b/a）λ]k表示把数[（b/a）λ]重写k遍并串联在一起的k重数，符号[（b2/a2）i=kaλ+nλ+d] 表示[（b2/a2）λ'=aλ]k[[（b2/a2）i=nλ+d][其中10λ'=10aλ≡1（moda2），nλ<λ'，以下同]。
　　规定循环和的意义：[（（b+a）/a）λ]n=[（b/a）λ]n+（10λ-1）n。
　　为能快速求出卡普列加数和卡普列加数系列，特证明下面的定理：
　　定理  如果10λ≡au+1 （moda2），且bn≡c，cu≡1（moda），那么[（b/a）λ]n是卡普列加数系列，并且它们的分式表达式为：
　　{[（b/a）λ]n}2=[（b2/a2）i=nλ+d]，[（（ab-b2）/a2）i=nλ+1] （公式2），其中当0<ab+b2<a2时，d=0;当a2<ab+b2<2a2时，d=-1。
　　证明：对模a2来说，由于10λ≡au+1，所以102λ≡（au+1）2=a2u2+2au+1≡2au+1，103λ≡（au+1）（2au+1）=2a2u2+3au+1≡3au+1，…，10nλ≡nau+1。设10nλ≡x（moda2）（0<x<a2），则x≡nau+1，所以nau≡x-1（moda2）。因为bn≡c，cu≡1（moda），所以bnu≡1，b2nu≡b（moda），所以b2nau≡ab（moda2），即b2（x-1）≡ab，所以b2（x-2）≡ab-b2（moda2） （2），又因为0<ab-b2<a2，所以根据公式1中的条件得y=ab-b2，把y=ab-b2代入公式1得：{[（b/a）λ]n}2=[（b2/a2）i=nλ+d]，[（（ab-b2）/a2）i=nλ+1]，其循环和[（b2+（ab-b2））/a2]i=nλ=（b/a）i=nλ=[（b/a）λ]n，所以[（b/a）λ]n是卡普列加数（系列）。下面再求出d的值：由（2）得xb2≡ab+b2（moda2）（3）。因为ab<a2，b2<a2，所以ab+b2<2a2，所以当0<ab+b2<a2时，由（3）得H=ab+b2，所以d=（H-2b2-y）/a2=[（ab+b2）-2b2-（ab-b2）]/a2=0;当a2<ab+b2<2a2时，由（3）得xb2≡ab+b2-a2（moda2），所以H=ab+b2-a2，同理可得d=-1。可见，可以用公式2求出卡普列加数系列[（b/a）λ]n的分式表达式。
　　当定理中的b=1时，由bn≡c，cu≡1（moda），可得nu≡1（moda），由此得推论1：
　　推论1  如果10λ≡au+1 （moda2），且nu≡1（moda），那么[（1/a）λ]n是一个卡普列加数。
　　又当10λ'=10aλ≡1（moda2）时，10（ka+n）λ=（10aλ）k×10nλ≡10nλ;而b （ka+n）=bka+bn≡bn（moda），即10（ka+n）λ≡10nλ（moda2），b（ka+n）≡bn（moda）。根据定理的证明可知，定理中多加一个条件10aλ≡1（moda2）时，公式2中的n可以用ka+n替代，由此得推论2：
　　 推论2  如果10λ≡au+1 ，10λ'=10aλ≡1（moda2），且bn≡c，cu≡1（moda），那么[（b/a）λ]ka+n（k为正整数）也是卡普列加数系列，并且它们的分式表达式为：
　　{[（b/a）λ]ka+n}2=[（b2/a2）i=（ka+n）λ+d]，[（（ab-b2）/a2）i=k（a+n）λ+1]，即{[（b/a）λ]ka+n}2=[（b2/a2）λ'=aλ]k[（b2/a2）i=nλ+d]，[（（ab-b2）/a2）λ'=aλ]k[（（ab-b2）/a2）i=nλ+1]（公式3），其中当0<ab+b2<a2时，d=0;当a2<ab+b2<2a2时，d=-1。
　　总之，用公式就可以快速求出卡普列加数（系列），还可以快速求出它们对应的卡普列加数分式表达式，有利于我们深入研究卡普列加数、研究循环数的周期变化规律，使卡普列加数、广义卡普列加数的研究进入一个新的时代。让我们迎接新时代，去探索循环数学中未知的循环现象吧。
　　作者简介：
　　曾俊雄（1959-），男，汉族，福建漳州人，中学高级教师，专科，研究方向：多年来致力于研究卡普列加数和循环数的周期变化规律。
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