渗透数学思想方法提升学生的数学素养
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作者: 李金光
中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)09-0-02
新修订的《义务教育数学课程标准》其中有一个重要的变化，那就是将“双基”变“四基”即原来的掌握数学基础知识、训练数学基本技能的基础上，又增加了领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验。这一纲领性指导思想，要求我们数学教师在数学教学中，要转变传统的重知识重技能训练的教学思想，更加关注学生数学思想方法的渗透，突出数学思想方法的有效教学。促进学生的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。在实际的教学中发现,很多刚升入初中的学生对数学知识掌握起来感觉非常吃力,其关键原因在于数学思想的方法没有转变过来。从小学数学的学习到初中数学的学习是一个从具体到抽象、从感性到理性的一种质的飞跃,小学学习数学的方法已经不再能适用于初中数学的学习。而数学知识的学习的关键在于数学的思想方法,它是建立知识的学习与应用之间的桥梁。所以,要做好中小学数学知识的衔接教育工作,就要立足于培养学生数学思想方法的教学,要在具体的教学环节中渗透一些初中数学的思想方法,以提高学生的学习能力,达到一定的学习效果。
一、数学思想方法的内容
《义务教育数学课程标准》明确指出:数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。将数学思想和方法纳入基础知识范畴,足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视,也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一种共识。培养学生的继续学习的数学能力，提升学生的数学基本素养，养成良好的数学思维方式，渗透数学思想的教育是一个行之有效重要途径。在长期的数学教学实践过程中,我们发现要注意培养学生以下的数学思想方法:
1.数式通性的思想
代数是由算术演变来的,这是毫无疑问的。利用代数符号这个工具,是代数思维发展的重要元素,它使我们在用代数解决问题方面变得更加有效。它是用字母表示数的代数思想的基础,是由具体到抽象的源头。但是完成这个飞跃,学生要经历一个“跌跌撞撞”的攀登过程,并且表现出显著的个性差异。那么,学生对学习用字母表示数的目的到底是什么是否了解?在学习用字母表示数时会碰到什么样的困难?这些问题都是教师在实际教学工作中会面临的问题。再如利用学生熟悉的有关数的运算来学习整式的运算。根据教科书的这个编写特点，在整式运算的教学中要强调通过类比的思想方法学习式的运算，理解数的运算性质和运算律在式的运算中仍然成立，体会“数式通性” 促使学生的学习形成正迁移。所以“数式通性”思想的渗透,对于刚接触初中代数知识的初一学生来说,是很有必要的。
2.分类讨论思想
所谓分类讨论思想,就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,使所学知识条理化。
学生进入初中,从引进负数的概念开始,分类的思想就逐步融进了教学工作中,并且随着知识结构的深入而不断加强。比如:有理数的分类、整数的分类、负数的奇偶次方、去括号法则等,都蕴含有分类的思想,对学生进行分类思想的培养,有助于学生思维的严谨性。
3.整体性思想
所谓“整体性思想”,就是在教学过程中,充分考虑各教学要素之间的关系和影响,把各要素加以整合,以发挥最大效能。学生进入中学,开始接触代数式,而代数式是初中数学知识的基础。在代数式学习过程中,整体性思想时刻伴随,很好地简化了解题的难度,提高了解题的效率。比如在合并同类项一节的教学中，我设计如下一个变式例题：
计算：①
②
③
④
让学生探索，当学生得出结果后，引导学生分析问题②③④与①有怎样的关系，学生会发现结果中每个单项式的系数是相同的，只是字母不同，聪明的同学会发现老师只不过是把①式中的、分别用不同的单项式、或多项式进行了替换，里面实际上渗透了整体思想的运用，通过师生的合作交流许多同学自己又类比编出许多道新颖的试题.通过这样的培养,逐渐让学生养成了整体性思想,对九年级利用“换元法”来解一元二次方程的问题也有很大的帮助。
4.化未知为已知的思想
初一的学生在小学阶段已经接触了一元方程,那时已经建立了化未知为已知的思想,通过将未知量看作已知量,由题目的具体环境,建立等式关系,解方程后求出未知量。那时学生已经能够体会到列方程解应用题相比用算术方法要简单很多。进入初中以后,接触了代数式,将一些未知量看作已知量,在列方程、不等式以及解方程、不等式时非常方便,这也同时体现出了代数方法处理某些问题时,相比算术方法所具有的优越性。比如在实际解方程组的教学过程中,“消元”、“降次”等基本思想都是化“未知”为“已知”的体现。
5.数形结合的思想
数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。“数以形而直观,形以数而入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”,这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述。有些代数问题单纯用代数方法来解,反而显得烦琐,若能恰当、巧妙地借助几何图形,使数量关系的问题直观而形象化,实现抽象概念与具体形象的结合。在初中数学的教学中,从数轴的引进到有理数大小的比较,从相反数、绝对值的几何意义到列方程解应用题的画图分析求解等,数形结合的思想在初中数学的教学中得到了充分的体现,它将复杂的知识简单化、抽象的概念具体化。
6.可逆性思想
我们都知道“司马光砸缸”的故事，司马光的聪明方法令我们佩服。按常规的救人方法是让“人离开水”，但是由于缸高、人矮、力气小，在场的小朋友没有一个能够办得到；这时，司马光反常规而行，砸破水缸，水流出来，让“水离开人”，落水的小伙伴得救了。司马光的故事使我们联想起，初中数学教材中蕴含了为数众多数学可逆性思想，它存在于数学知识的各个环节中,如加与减、乘与除、乘方与开方、同底数幂的运算法则正逆运用，整式的乘法与因式分解等。这些互逆的知识点结合起来学习,实际上是一种双向活动,教学中学生往往只注重单向的联系,而造成对知识的单一理解和应用,从而阻碍了学生思维的发展。学生在小学阶段接受可逆性数学思想的教育很少,而可逆性数学思想方法有助于培养学生的逆向逻辑思维、创造能力。所以,在实际的教学过程中,要适时注意培养学生的可逆性思想。有理数的运算律、幂运算法则等等逆用都可以简化运算，收到一项不到的效果。
7.特殊与一般的辩证关系的思想
对于一个数学问题,特殊情形下的结论往往反映了一般状况下的特征,一般状态下探索到的结论是问题本质和规律,特殊只是一般中的某种情况。在特殊情形下的解题思路、方法往往对一般状况有指导和启发作用,反之问题若能在一般状况下得以解决,特殊情形当然也就迎刃而解。如整式可以简洁地表明实际问题中的数量关系，它比只有具体数字表示的算式更有一般性。整式中的字母表示数，这使得关于整式的运算与数的运算具有一致性，因此可以说整式的运算是建立在数的运算基础之上的，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形。通过对数与式运算的分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。根据数与式之间的联系，体现数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性。实际上是知识的总结与应用的双向活动,特殊与一般的统一能使学生更灵活地掌握知识、应用知识。故在初一学生对一些问题的理解比较抽象的情况下,特殊与一般的辩证关系的运用,对初中数学的教学有着非常重要的作用。
8.归纳猜想思想
英国著名物理学家牛顿说过：“没有大胆而放肆的猜想，就不可能有伟大发现”。数学家教育家G・波利亚也指出：“要成为一个好的数学家……你必须首先是一个好的猜想家。”这两句至理名言道出猜想的重要性.归纳猜想的思想是数学思想的重要组成部分。在中学数学教学中,对有些已知其真实性的定理、公式、性质,暂时不能给学生进行严格证明,但为了说明其正确性,往往采用具体的、个别的特殊例子来说明,也就是用不完全归纳法进行推理。而猜想是数学思维中的抽象的重要形式。所谓猜想是根据部分事实去推测某种可能结果的方法,是由一些事物去估计可能出现事物的思维方法。苏科版七、八、九年级渗透的数学猜想可谓俯首皆是，这里不再列举案例阐述.
二、数学思想方法的培养方式
对学生数学思想方法的培养,要依托数学思想方法的教学工作。中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体,现行数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的,大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中,并没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。进行数学思想方法的教学,必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则。数学思想方法的构建有三个阶段:潜意识阶段、形成阶段、深化阶段。
一般来说,在这三个阶段的形成过程中,应以渗透性教育为主线。所谓渗透教育,是指在具体知识教学中,一般不直接点明所应用的数学思想方法,而是通过精心设计的教学情境与教学过程,着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想和方法,使他们在潜移默化中达到理解和掌握。虽然数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体,它们相互关联、相互依存、协同发展,但是具体数学知识的教学并不能替代数学思想方法的教学。一般来说,数学思想方法的教学总是以具体数学知识为载体,在知识的教学过程中实现的。数学思想是对数学知识和方法本质的认识,数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。所以,数学思想方法具有高度的抽象性与概括性。如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式,那么作为一类数学方法的概括的数学思想,却只表现为一种意识或观念,很难找到外在的固定形式。因此,数学思想方法的形式绝不是一朝一夕可以实现的,必须要日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握。
数学思想方法的渗透教育主要是在具体知识的教学过程中实现的。因此,要落实好渗透性原则,就要不断优化教学过程(比如,概念的形成过程,公式、法则、性质、定理等结论的推导过程,解题方法的思考过程,知识的小结过程等),只有在这些过程的教学中,数学思想方法才能充分展现它们的活力。取消或压缩教学的思维过程,把数学教学看为知识结论的教学,就失去了渗透数学思想方法的机会,使数学思想方法无有用武之地。
数学思想方法作为数学知识的精髓,它蕴含在数学知识的整个体系之中,好的思想方法对于学生学习数学知识以及其他学科的知识是非常有用的。作为教师,在实际的教学过程中,对具体知识的教学,要通过精心设计教学情境与教学过程,采用渗透的方式有意识地引导学生领会和学习蕴含在其中的数学思想方法,使学生在掌握知识潜移默化教学过程中理解和掌握数学思想的精髓，并应用于今后的学习与工作中，为提升学生的数学素养，增强数学的思维能力，激发创新的数学潜能，使数学思想方法发挥应有的作用。
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