基于持续期模型的商业银行利率风险规避
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作者: 杨 锦
利率风险是指利率变化导致金融产品价格变动，使持有这些金融产品的经济主体的收益和经济价值产生波动。利率敏感性分析是对商业银行资产负债的成熟期进行分析匹配以达到规避利率风险的目的。但用金融资产的成熟期衡量利率变动对金融资产的价格的影响并不精确，因此西方发达国家商业银行普遍采用持续期模型对利率风险量化，理解和应用持续期模型同样有助于我国商业银行提高利率风险管理水平。
一、持续期含义及特性
持续期这一概念最早由麦考莱为分析和管理债券组合利率风险特性于1938年提出,又称麦考莱持续期。持续期是金融资产承诺的未来现金流的支付时间的加权平均,用公式表示：(1)
其中，D表示金融资产的持续期，表示t期现金流量，t表示现金流量发生距离现在的时期，表示t期现金流量的现值，n表示最后一笔现金流量的时期，即金融资产的成熟期，r表示贴现率，P表示该金融资产的当前市场价格,也是未来所有现金流量的现值总和。从(1)式我们可以看出,Macaulay持续期是金融资产承诺的未来现金流的支付时间的加权平均,其权重等于金融资产支付的未来现金流的现值占金融资产总现值的比例。
利率变动对金融资产价格的影响实际就是金融资产价格对利率变动的敏感性，因此我们可以对金融资产价格求利率的一阶偏导数，可以得到: （2）
两边同时除以P得到：（3）
根据(4)式,金融资产价格对利率变动的敏感性为:（4）
其中为修正持续期。(4)式表明金融资产的价格变动率是修正后的持续期与利率变动的乘积，而且金融资产价格变动的方向与利率变动的方向相反。由此我们可以得出结论:金融资产的持续期越小,该金融资产的利率风险就越小；金融资产的持续期越大，该金融资产的利率风险就越大。
持续期具有可加性，换言之，债券组合的持续期就是单个债券持续期的简单加权平均，权数代表在n种债券投资中的比例。利用持续期具有可加性的特征，可对商业银行的资产和负债组合进行所谓利率风险免疫管理，即指通过某种管理方法，使银行的资产组合和负债组合分别受到的市场利率变动的影响能够相互抵消，从而达到利率风险免疫的目的。
二、持续期模型隐含的假设
1.麦考莱持续期不适用于具有隐含期权性质的金融资产，比如可赎回债券、抵押支持证券及可提前偿付的贷款和可提前支取的存款等，因为它没有考虑到隐含期权对这类金融资产的价格的影响。麦考莱持续期假设未来所有资产和负债的各期现金流不受利率波动的影响，但含有隐含期权的资产和负债的未来现金流会随着利率波动而变化，金融资产价格也会发生相应的变化，因此麦考莱持续期无法衡量此类资产和负债的利率风险。
2.运用持续期来衡量利率风险的准确性受到利率变动幅度的影响。在利率发生小幅变动时，持续期能够较为准确地衡量出金融资产价格对利率变动的敏感性，但当利率变动幅度较大时，利用持续期来衡量利率风险就会产生较大的误差，其原因在于金融资产的价格收益率曲线是凸性的，而非线性的。持续期是金融资产价格对利率的一阶导数，即金融资产的价格收益率曲线上某点的切线的斜率，它会随着利率的变化而变化。因此，持续期在利率上升时，会高估金融价格的下跌幅度，而在利率下降时，又会低估金融资产价格的上升幅度。所以，要更为准确地衡量债券价格对利率变动的敏感性，必须考虑金融资产价格收益率曲线的凸度，即金融资产价格对利率的二阶导数，它衡量了该曲线的弯曲程度，我们对金融资产价格求利率的二阶偏导数，得到： （5）
两边同时除以P得到： (6)
根据(6)式有;其中C为金融资产的凸性。凸性弥补了持续期假设的债券价格变动与利率变动线性关系的不合理性,反映了持续期随利率变动而变化的事实，它与持续期的结合使用,更能准确地反映债券的利率风险敞口。
3.从公式中,不同项代表现金流量产生的期限不同,但每一项的分母中所用的r相同,意味着我们假定不同期限的收益率相同,即收益率曲线为水平,但收益率曲线在现实中不会是水平形状的,解决的方法就是根据利率期限结构来分段考虑贴现率。
三、持续期模型在商业银行利率风险管理中的运用
商业银行资产负债管理的重要内容之一就是控制利率风险，其核心思想是尽可能地使资产的现金流量的时间和数额与负债的现金流量的时间和数额都相互匹配。但问题是，银行在经营活动中承担着大量的资产转换功能，这就决定了其现金流量不可能完全匹配。所以国外银行解决这一问题的方法，是把注意力集中在资产和负债的价值上，使得资产与负债的价值差对利率变动完全不敏感。要使银行资产与负债的价值分别受到利率冲击的影响能相互抵消，最好的方法就是运用持续期模型计算出银行资产和负债的加权平均持续期，通过调整资产负债结构使其持续期缺口为零，进而对整个资产和负债组合的价值不产生影响，即所谓利率风险免疫管理。
以A、L 和E 分别表示一家银行的资产、负债和权益的价值，则银行的权益价值变动可表示为:（7）
运用泰勒扩展式给出A和L分别与利率r之间的数学关系：
（8）
（9）
根据(4)和(6)式，可以得到银行资产、负债的修正持续期和凸性，即：
则银行的权益价值变动可表示为： （10）
其中定义为持续期缺口，它反映了银行资产与负债持续期错配的程度；定义为凸性缺口，它反映了银行资产与负债凸性错配的程度。
可见，银行的权益价值受整个资产负债表的持续期缺口和凸性缺口、资产规模和利率变动的影响。在银行资产规模一定的情况下，持续期缺口绝对值越小，银行权益价值的利率弹性愈小，银行面临的利率风险也愈小，在持续期缺口为零的情形下，市场利率的任何变动会导致银行的资产价值与负债价值都以相同幅度变化，而银行的权益价值不发生变化，以确保银行经营的稳定。
由于无法获得银行每笔业务的详细数据，本文根据招商银行2007年年报表估算了一个资产负债表：十亿元
说明：为简化问题，本文将1年及1年以下的存款、贷款、投资都记入1年，1年以上的贷款、投资和其他投资都记入5年贷款、投资，1年以上5年以下的存款计入3年存款，5年及以上的存款计入5年存款
所有利率采用2007年12月21日公布的利率：1年期存款利率为4.14%，1年期贷款利率为7.47%，3年期存款利率为5.40%，5年期存款利率为5.85%，5年期贷款利率为7.83%，1年期投资的票面利率为3.33%，5年期投资的票面利率为6.34%，市场收益率采用2008年6月26日的全国银行间债券回购利率(7天)，为3.257%，
不考虑利率变化导致现金流量变化的情形，假定收益率曲线为水平，则由该资产负债表得到的持续期计算如下：
1年期贷款的市场价值为，其持续期D1为1年
1年期存款的市场价值为，其持续期D2为1年
3年期存款的市场价值为，
其持续期为：
5年期贷款的市场价值为:
持续期为：
5年期存款的市场价值为：
持续期为：
1年投资的市场价值为，持续期D6为1年
5年投资的市场价值为
持续期为：
所有资产的加权平均持续期为:
所有负债的加权平均持续期为:
银行的修正持续期缺口为:
银行的修正持续期缺口不为零，存在利率风险。若利率上升，银行价值上升，利率下降，银行价值下降。若通过增加1年期负债来使持续期缺口为零，则该银行需增加302426.27亿元的负债就避免了利率风险。
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