突破难点的数学学习

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　　数学的学习就是在经历困难、解决困难的过程中获得新知。教师在这个过程中的作用就在于引导学生经历解决困难的过程，帮助学生突破难点，获得清晰的认知。笔者以北师大版四年级上册“角的度量”为例，分别用“迁移”“变序”“类比”“变式”等方法突破度量角教学中的难点。
　　一、巧用迁移，突破度量方法的难点
　　【片段1】
　　师：同学们，今天我们来学习测量角的大小。想想我们以前测量过什么？
　　生：长度、面积。
　　师：长度是怎么测量的？
　　生：用尺子。0刻度线对准线段的一端，另一端指向刻度几，就是几厘米。
　　师：若尺子上没有0刻度线，你还能测出这条线段的长度吗？
　　生：可以对准任何一个刻度，数一数经过了几厘米就是几厘米。（见图1）
　　师：原来不从0刻度线开始也能测出长度。
　　设计意图：借助二年级“认识厘米”时断尺测量的方法，复习长度的测量不一定都从0刻度线开始测量，还能通过数一数的方法得到。打破学生固化思维，勾起学生的回忆，巧用断尺测量长度方法，迁移至非0刻度线开始也能测量角的大小，为后续学习“角的度量”埋下伏笔，做好铺垫。
　　二、变序教学，改变度量认知的顺序
　　【片段2】
　　师：经过刚刚的复习，发现测量长度可以不从0刻度线开始，还能通过数一数的方法得知一共有多长。那么在量角器上，如果不从0刻度线开始，你能找到相应度数的角吗？ 比如，1度角有哪些？
　　生：1～2度中间，2～3度中间，5～6度中间……
　　师：你能总结一下哪些角都是1度角吗？
　　生：两个刻度之间隔了1度就是1度角。
　　师：你能用同样的方法找找10度、15度或者其他度数的角吗？
　　生： 这些都是10度（见图2）。
　　设计意图：改变从0刻度线开始测量，再认读刻度的教学顺序，引导学生们先学会在量角器上找相同度数的不同角。打破学生原有的认知顺序，通过找角，帮助学生熟悉和回顾角的度量实际上是单位量的累积这一本质属性。
　　【片段3】
　　师：有一个角，明明没有任何一条角的边指向10度，为什么也是10度？
　　生：中间相隔10度，这个角就是10度。
　　师：你发现了什么？
　　生：中间相隔30度就是30度。
　　生：中间相隔115度，就是115度这样大的角。
　　生：只要看中間间隔几度就是几度。
　　师：同学们，经过找角度的过程，你发现角的大小是指什么？
　　生：就是角张口的大小。
　　设计意图：通过追问，引导学生进一步理解角的大小是指角张口的大小，使学生明白度量角的大小就是指度量角的张口有多大，而并非指角的其中一条边指向哪个刻度。使原来角的一条边必须对准0刻度线，变成了角的一条边对准任何一条刻度线都能测量出角的大小。变序教学，打破学生固有的认知顺序。
　　三、类比沟通，比较度量本质的异同
　　【片段4】
　　师：同学们，从非0刻度线开始找角与断尺测量长度有什么相同的地方？
　　生：都可以不从0刻度线开始测量。
　　师：不从0刻度线开始测量，怎么得到有多长，是多少度呢？
　　生：可以1度1度、1厘米1厘米地数出来。
　　生：还可以大刻度减去小刻度。
　　师：那为什么从0刻度线开始测量时，就不用数或者不用减了呢？
　　生：因为0刻度线开始测量，数到几就刚好是终点的那个刻度。
　　生：任何一个数减去0还是它自己本身，所以从0刻度开始测量，直接读出另一个刻度就可以了。
　　师：现在能否说说测量角度和测量长度的过程都有哪些相同的地方？
　　生：都是数一共有多少的过程。
　　师：像这样一个个单位量累积起来一共有多少就是多少的测量，你们还在哪里学到过？
　　生：面积。用1平方厘米的小正方形铺，铺多少个就是多少平方厘米。
　　师：是的，这个过程在数学上就是一个个单位量累积的过程。
　　设计意图：通过对比长度测量和角度测量之间的相同点，引导学生总结出测量实际上就是单位量累积的过程，一共有几个单位量就是线段有多长、角度有多大。因为测量就是为了实际应用的方便，才统一了单位，并在基于统一单位的基础上，累积多少单位量就是多大，长度是如此，面积如此，角度也是如此，以后学习的体积、容积也是一样。通过类比，帮助学生建立不同属性内容测量之间的联系，将测量的知识串成一个知识链，帮助学生理解测量的本质。
　　四、变式练习，提升实践应用的能力
　　【片段5】
　　师：下面的角其中一条边被量角器遮住了（见图3），你认为这个角可能是几度？
　　生：可能是110度，也可能是40度。
　　师：还有其他可能吗？
　　生：也可能是20度。
　　师：如果是20度，另一条边在哪里？
　　生：可能在30度的那条刻度线上。也可能在50度的那条刻度线上。
　　师：还有可能是几度呢？
　　生：应该有很多种可能。
　　师：那这个角的大小范围是多少？
　　生：应该在0～110之间。
　　设计意图：根据一条边来判断角的大小，逆向思维，引导学生再次回顾度量角的大小的本质。并根据寻找角的范围，突破内外圈的难点。
　　测量使物体的属性具有了量化的特征，有助于学生更深刻地理解物体可测量的属性。纵观整堂课的设计，教师从学生的难点—不清楚读“内圈”还是“外圈”出发，以解决“几个单位量”为主干问题，抛开固有思维“读刻度”，从找不同的1度角、10度角帮助学生理解“找到张口的大小就找到了角的大小”，突破学习难点。
　　首先，让学生回顾断尺的测量方法，迁移至非0刻度线开始也能测量出角的大小。其次，变序教学，让学生先找角，再量角，能找到指定大小的角，那么测量角肯定也没有问题了。再次，利用类比，寻找长度、面积和角度之间测量方法的相同点，理解度量的本质就是量的累积。最后，再进行变式练习，通过一条边，确定角的大小范围，真正突破学习难点。
　　四大板块，层层递进，每个板块的学习都围绕突破难点依次展开，螺旋上升，既学习新知，又联系旧知，不断完善。整个过程，教师以帮助学生解决困难为主要目的，使之真正理解知识的本质。
　　（作者单位：浙江省义乌市艺术学校）
　　责任编辑：肖佳晓
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