基于物理意义下的高斯公式教学探究
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作者:李庆容
摘 要 针对大学数学的高斯公式教学中存在数学理论化较重、实际应用不强等问题，采用发现教学法，紧密联系实际物理背景，在矢量分析基础上，通过发现、直觉、探究和提取，介绍散度及其在物理上的应用，归纳出高斯公式的具体形式，对学生应用能力的培养，具有一定的借鉴意义。
关键词 发现教学法 高斯公式 散度
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.01.049
Research on Gauss Formula Teaching Based on Physical Meaning
LI Qingrong
（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）
Abstract Aiming at the problems of heavy mathematical theorizing and weak practical application in the teaching of Gaussian formula in college mathematics， the discovery teaching method is used to closely connect with the actual physical background. Based on vector analysis， through the discovery， intuition， exploration and extraction， the introduction of divergence and its application in physics summarize the specific form of the Gauss formula， which has certain reference significance for the cultivation of students' application ability.
Keywords discovery teaching method; Gauss formula; divergence
高斯公式是微积分学中非常重要的一个公式，思维上继承了微积分基本公式、格林公式“驭繁于简”的思想，揭示了曲面积分和三重积分的联系，方法上一定程度地解决了曲面积分繁杂的计算问题，形式上统一了与上述两个公式具有类似的数学结构形式;物理应用上，由高斯公式发展而来的高斯定理，是静电场中不可或缺的重要工具。受学时和专业的限制，数学课堂教学上主要侧重于高斯公式的介绍和定理的证明，课后习题也侧重于计算，较少涉及应用，一方面推导过程抽象，不易理解，另一方面学生觉得数学离实际很远，产生“数学无用”的思想，导致学习积极性不高，但是在大学物理等其它学科的学习时又不会用，尤其在对电磁学相关问题要用数学方法进行处理时，觉得无从下手，成功的用数学方法解决问题的时候很少。本文结合自己的教学实践，利用发现教学法，探索高斯公式在数学课堂上的教学，为数学上针对本次课的教学改革提供一些有益的参考。
1 发现教学法简介
发现教学法，[1]上世纪50年代由美国的教育学家布鲁纳首先提出，该方法遵循学习规律，注重思维过程，在教学实施过程中，不直接把现成的理论成果提供给学生，而是从学生好奇、喜究的心理特点出发，在教师的启发引导下，学生根据教材和教师提供的材料，自己去发现问题、分析问题和解决问题，成为知识的发现者而不是被动的接受者。一般操作流程是：首先是创设情境，激发学习兴趣;其次是提出问题，形成探究动机;然后是引导观察、分析比较，提出假说;最后是验证假说，得出结论。运用发现教学法时，需要强调四个方面：（1）发现过程（即“好奇”的过程）;（2）直觉思维（防止过早结论化）;（3）内在学习动机（即“喜究”的心理，具有对知识探究的内在的兴趣）;（4）信息提取（即“归纳提炼”的过程，对新知识加以组织，形成内化效果）。
2 发现教学法的实施
高斯公式的传统教学立足于数学角度，从解决曲面积分计算问题入手，引出公式，利用重积分理论进行分析证明，然后举例应用，最后介绍物理上的通量、散度概念，[2]这种教学方式有一定的不足，缺乏实际背景，主要是就数学讲数学，学生容易在诸多积分的学习中引起混淆，更是不知道在其他方面有何应用。针对现行教学中存在的问题，现利用发现教学法，在科学实施的基础上，紧扣实际背景，主要从物理意义出发，对学生激趣，然后逐步引导学生进行发现、探究和提炼，本次设计由曲面积分的物理意义，即通量出发，探究闭合曲面通量问题，引出散度概念，由散度和通量的关系，归纳出高斯公式，这种设计遵循教育规律，学生能够既理解所学知识的实际背景，又学习了科学的研究方法，并且掌握了公式的应用。具体实施过程如下：
2.1 实施过程
2.1.1 发现问题——任一点处通量
设不可压缩流体的流速为，当通过曲面时，则单位时间内通过曲面的通量为：。若为方向向外的闭合曲面，则通量为。现需要研究曲面内任一点处的通量，显然现有公式已不适合。如何合理有效的解决？这时学生会发现这样的问题，也必然想办法去解决问题。
2.1.2 直觉思维——借助微元法
直觉思维很重要，教师可以略作提示引导，此时就是利用高等数学里的微元法思想，借鉴导数求解瞬时速度的方法，将闭曲面∑所包围的体积进行划分，其中点包含在中，其曲面为，则得到点M的通量应该为，但无法回避极限的计算困难，必須寻求其它有效方法来解决。又出现了问题，怎么办？ 2.1.3 “喜究”心理——散度定義[3]
教师要鼓励学生，进行进一步思考和探索。考虑一个平行于坐标面的微长方体，边长为，其体中心坐标为（），易知在长方体的表面计算的积分即为六面积分之和。如图1所示。
考察图1中标记为的面，易知有。因面中心的坐标为，因此。同理，在其相对的面，有，两式合并，得
，
利用，变形得
，
两边取极限，有
，
其他四个面类似处理可得，于是
，
该结果表明通量的极限并不依赖于体积的几何形状，且这个量是标量，不同点有不同的值，记作，称为散度。
将哈密尔顿算子与进行数量积运算，得到。
继续考虑由封闭曲面∑包围的体积 ，将其任意划分成个微几何体，为研究方便，本文取内部的一个立方体，如图2所示。易知通过曲面∑的通量应等于通过每一个小体积的面的通量之和，即，这里是包围小体积的面。观察图3，可以发现，除了部分外表面，通过内部的立体面的通量会相互抵消，从而通过曲面∑的通量仅来自于这些小立体面的和相加构成的面∑。这时获得了初步的成果，虽然和预先设想的不完全一致，但为成功解决本课次问题提供了方向，应该继续探究下去。
2.1.4 信息提取——高斯公式
将进行变形，得：
，
结合三重积分的定义，上式有
因为，，从而
，此即为高斯公式的形式，再进行必要的条件完善和补充，即可得到数学教材中所给的高斯公式和物理教材上的高斯定理。[4]
2.2 不同坐标系下的散度公式
柱坐标系和球坐标系也是工程中常见的坐标系，实际应用也较为广泛，因此在教学中有必要拓展一下这两个坐标系下的高斯公式问题。具体推导过程有一定的繁琐性，教师可以把其作为参考资料发放给学生，让学有余力的学生借鉴和参考，一定程度上也体现了因材施教、分层教学的理念。具体推导过程如下：
柱坐标系中变量有，设其对应单位向量分别为，，，由正交性及与直角坐标系的关系，有，或，，。设，，表示的分量，由于，从而。
球坐标系中变量为，设其对应单位向量分别为，由正交性及与直角坐标系的关系，有，，或，，。设，，表示的分量，类似有，从而。
3 结束语
多元函数积分学是大学物理课程学习的基础，高等数学所涉及到的积分类型比较多，学生在学习过程中普遍感到各类积分交织在一起，容易产生混淆，特别是高斯公式、斯托克斯公式及物理应用，更使得学生对高等数学产生畏难情绪，学生在学习大学物理时又不会应用，导致大学物理的学习困难。实际上只要紧密联系实际物理背景，采用合理的教学方法，积极发挥学生的主观探索意识，就能使学生由厌学变乐学。
参考文献
[1] 布鲁纳.发现的行为[J].哈佛教育评论，1961年冬季号.
[2] 同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.
[3] H.M斯彻.散度、旋度、梯度释义[M].北京：机械工业出版社，2017.
[4] 姜大华等.大学物理[M].北京：科学出版社，2017.11.
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