用函数方程的思想研究等差数列题
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作者:王刚 李林轩 闫玉齐
摘 要：当函数的自变量的取值范围变为取一切正整数时，函数就演变成了数列。如等差数列的通项公式是由一次函数演变而来的，等差数列的前n项求和公式是由常数项为0的二次函数演变而来的等。由于数列与函数之间存在着这种“天然”的联系，而函数与方程又是密不可分的，基于此条件下，本文对于用函数方程的思想研究等差数列题进行详细论述。本文先论述了高中数学的函数与方程思想，然后列举了很多例子对于此类利用函数方程思想来解析数列问题进行例证。
关键词：函数方程;解题思维;数列
一、 高中数学的函数与方程思想
在高中数学中，函数是重要组成部分，也是主要内容之一，函数问题利用求解方程或者方程组，或者利用方程的自身性质去对问题进行转化或者分析，将问题解决。在解函数问题时，不仅要理解方程的内容，更需要透彻理解方程的概念，并在实际问题解决中，能够真正运用方程思想的精髓。理解函数中的变量并且以数学变量的基本形式划分之间的相互关联。应用函数知识与函数知识功能的基本功能思想去解决数学对象之间的关系问题，在丰富和改进数学问题方面有了很大的发展，产生了强大的数学问题解决修正能力，从而成为研究热点。其中此处所讨论的方程思想主要是分析数学变量中的直接关系，相互耦合关系。对于高考中函数问题，必须通过组建方程组（或方程）的分析或方程的构造来理解等价的概念，并直接分析方程组，或者根据题意构造方程，通过构造方程组或者方程的形式来深入理解函数方程，通过了解方程概念的基础上完成函数的解决方法。
函数和方程是两个不同的数学概念，但它们密切相关连。从高中数学的角度来分析，关于函数和方程在解决实际问题方面起着两个主要作用：一方面，这与基本功能的特征有关，解出方程式的结果并讨论参数值。另一方面是通过建立函数关系来解决与问题相关的工作的性质，从而降低问题的复杂性。
二、 函数与方程思想在数列中的应用
从函数和数列方面进行分析，可以有个比较容易理解的方程表达式，而这个数列是一个类型的函数的比较独特的表达。其实，数列和函数功能非常相似，选择函数思维能够解决一些复杂数列不能解决的问题。
总结：这种解题方法运算非常少，比较注重题目的条件，将数列的函数特点结合起来，这种解题方法非常好。
本文只着重研究了函数与方程思想在解决等差数列含参问题中的应用，其实函数与方程思想在解决数列其他问题，例如，数列最值问题、数列通项公式等方面都非常有帮助，值得进一步挖掘。
数学中数列其实就是函数的一种特殊表达方式，与函数的最大区别在于，其定义域是属于离散状态，这让一些学生对于接受数列是一种特殊函数存在疑惑，在实际解决数列问题当中，也很难从函数的角度入手，则对于数列题型就会存在不理解的误区。本文所研究的主要为采用方程与函数等功能来解决数列问题，其实，在采用函数与方程来解决数列问题中产生的其他问题，比如，在数列最值问题的解决中，解决数列极值问题采用方程或者函数都非常有用。
三、 总结
综上所述，数学思维是数学教学活动的指导思想和数学活动的泛化思想。这有助于学生从更高层次的整体思维中有效地理解数学的本质。它利用数学知识发现和改进数学知识结构，探索解决问题的方向。通过实例来总结和比较数学能力和数学思想的运用，教会学生早期的科学方法论，提高思维素质，提高思维能力。数学思维教学使中学数学教学更加现代化。数学思维仍然是隐含和暗示的，因此有必要明确强调其重要作用，使学生能够清楚地认识到解决问题的方法只有在数学思想的监督下才是科学的问题解决方法，具有非常强大的推动力和创造力。
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作者简介：
王刚，中一职称，陕西省西安市，陕西省西咸新区黄冈泾河中学;
李林轩，闫玉齐，陕西省西安市，陕西省西咸新区黄冈泾河中学。
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