HPM视角下学生全景式思维的培养
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【摘 要】具有知识论、教学论、课程论以及哲学、历史学等多维视角的HPM，有助于学生建构包含系统思维、逻辑思维、抽象思维、发散思维、创造思维等多种思维在内的全景式思维。教师应在基于HPM视角培养学生的全景式思维方面做出自己的努力。
【关键词】HPM;全景式思维;逻辑意识;方法建构;跨界发展
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）01-0047-03
【作者简介】陈小彬，江苏省常州市武进区实验小学分校（江苏常州，213161）科研中心主任，高级教师，常州市优秀教育工作者。
美国数学史家莫里斯·克莱因提出：“历史呈现了知识的来龙去脉，叙说人类的认识是如何步步深入的，在抽象的过程中我们就能体会和把握认识提升的关键。”数学史研究数学知识的起源、形成和发展，具有知识论、教学论、课程论以及哲学、历史学等多维视角的HPM，已然成为帮助学生建构包括系统思维、逻辑思维、抽象思维、发散思维、创造思维等多种思维在内的全景式思维的有效途径。
一、HPM与全景式思维
1972年，在第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations Between the History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）。今天，我们通常也将数学史与数学教育的关系这一学术领域本身称为HPM。
基于HPM视角，带领学生追根溯源，相对完整地呈现数学知识产生、衍化和发展的关键脉络，引导学生多维度地认识、理解、“刻画”数学、应用数学，有助于培养学生的全景式思维。基于HPM视角培养学生的全景式思维，需要教师引导和鼓励学生尝试从每个数学符号、每种数学知识的历史源头开始研究，明晰或经历其产生和发展的关键过程。
二、基于HPM视角培养学生全景式思维的策略
（一）模块重组：梳理数学史文化脉络，唤醒学生全景式思维的逻辑意识
1.阅读积淀，启发学生思辨原点。
通过阅读生动、丰富的数学历史故事，可以让学生了解数学发展过程中若干重要人物、重要事件与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，加深对数学的理解，感受数学家锲而不舍的探索精神和严谨态度。苏教版1 ～ 6年级12册教材一共安排了65个“你知道吗？”内容，展示了一些数学家的故事、数学趣闻、数学史料和数学应用案例等，可以借此带领学生开展丰富多彩的数学阅读活动，让学生初步了解所学数学知识的历史背景，感知数学在人类社会进步和文明发展中的作用，欣赏数学的美。
2.创设情境，搭建学生思考支架。
教学时，把一些知识点置于具体的史料情境中，引导学生开展观察、比较、分析、抽象、概括等数学活动，有助于他们实现古今知识的对接，加深学生对数学内容及其实质的理解。例如：教学苏教版五上《认识负数》一课时，可以以负数历史演变的情境引入新课——我国是世界上最早使用负数的国家。战国时期，李悝在《法经》中说“衣五人终岁用千五百不足四百五十”。成书于公元一世纪左右的《九章算术》中记载：“粮食入仓为正，出仓为负，收入的钱为正，支出的钱为负。”借助古人的主观表达帮助学生理解负数，然后与学生现实生活中直观的温度计、海拔进行比较，寻找共同点，帮助学生深入理解负数。这样教学，顺应人类思维发展规律，为学生搭建起了思考的支架，在一定程度上促进了学生的数学思考和数学理解。
3.复现历史，助推学生思维生长。
美国教育心理学家奥苏贝尔指出：要根据学生原有的认知结构进行教学。原有的认知结构对新知识学习产生重要影响的变量主要有三个，即可利用性、可辨别性和稳定性。在教学过程中重演历史，帮助学生在原有认知结构的基础上构建新的认知结构，从而清晰地辨别原有知识和新知识的异同点，并按照一定的结构严密地组织起来。如此，面对新的学习任务，学生便能迅速地在认知结构中找到学习新知识的固定点，从而顺利实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化，实现原有数学认知结构的扩充和新的數学认知结构的建立。例如：教学苏教版四下《三位数乘两位数的笔算》一课，计算123×24，就可以引导学生将古今中外的计算方法进行对比（如图1）。
通过重演123×24计算的历史，可以沟通古代印度、古代中国、当今中国的竖式计算方法，让学生在古今中外数学知识互相作用的基础上，将所掌握的数学知识形成系统，从而在头脑中形成相应的数学知识板块，呈板块结构状态的数学知识不仅便于储存，还便于提取，是一个不断发展、变化的动态结构，更是学生思维的生长点。
（二）系统重构：链接古今数学方法，指向学生全景式思维的方法建构
1.追本溯源，寻找学生概念建构的契合点。
学生学习数学概念的基本方式包括概念的形成与概念的同化。概念的形成揭示的是各种概念是如何通过个体思维的活动转化为个体所掌握的概念的过程，它一般要经历“辨别—分化—类化—抽象—检验—概括—形式化”的过程。概念的同化实际上就是利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质过程。在概念的建构过程中，以追本溯源的方式学习关键概念，有助于学生重组经验世界、拓展认知疆域、提升数学思维。例如：教学苏教版四上《认识平行》，课始，课件演示铅笔盒不小心从桌子上掉下去，掉出两支铅笔，出现两种情况——一种是两支铅笔都掉到了地上;一种是一支铅笔掉到了地上，一支铅笔掉到了椅子上。两支铅笔都在地上，在数学里我们就说“两条直线在同一平面内”。接着出示——早在3000多年前，我国《墨经》说：“平，同高也”“平，谓台执也，若兄弟”。拓展学生的平面知识，促进学生对平行和平面知识概念的建构。 2.历史相似，勾连数学家错误与学生错误的融合点。
学生的理解具有历史相似性。学生当下遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难。困扰古人的问题往往也会困扰学生，学生在其发展过程中会以类似的方式来克服类似的困難。纵观数学科学不断展拓的历程，以此反观现实中学生的数学学习。教师可以通过关注历史上“数学家的错误”，深刻理解并正确对待今天课堂上学生出现的类似错误，寻找错误的同源性，对症下药，勾连数学家错误与学生错误的融合点。
（三）项目推进：实践探索聚焦本质，推进学生全景式思维的跨界发展
1.序列研究，催生知识与思维的层级递进。
序列研究是对不同年龄组的被试进行横向研究，然后在间隔一定时间后，对同一批被试进行一次或多次重复研究，从而构成纵向研究，是横向研究与纵向研究的结合。开展序列研究可以带给学生探索的体验、创新的尝试、实践的机会和发展的能力。例如：笔者以苏教版五上“面积”为主题，带领学生开展了序列研究活动。通过引导学生多角度地进行“面积”的序列研究，把学生置于历史的时空，沟通了平面图形、立体图形的面积的相关知识，对接了数学中面积的相关知识在实际生活中的应用，在不知不觉中发展了学生以空间形式和数量关系为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，以认识、发现数学规律为目的的数学思维。主要研究过程如下：
研究1：我来说面积。查找面积相关的史料，再以故事的形式讲一讲面积，介绍有关面积的前世今生。
研究2：三角形的面积研究。学生以小组为单位，用多种方法研究梯形、三角形的面积计算公式。
研究3：圆的面积研究。不管哪一种研究路径，曲边图形向直边图形的转化都是圆面积探索中无限图形序列的终极状态，也就是无穷系列的极限。
（1）课堂研究：
（2）刘徽方法： （3）印度圆：S=rc÷2=πr2
（4）教材呈现：
2.跨界融通，启动创造与思维的深度开发。
所谓跨界，是指突破原有行业的惯例和常规，通过嫁接其他行业的理念和技术实现创新和突破的行为。在数学史料视野下，笔者认为，要关注学生的深度需求，构建线上、线下相融合的学习模式，把数学学习置于大研究的背景下，让体验、操作、猜想、合作、交流成为学生学习的常态。如教学苏教版五上《校园绿地面积》一课，教师将学生分成四人小组，并布置了几个任务：（1）了解我国有哪些传统的面积单位（如亩、分等），以及与我们现在学习的国际通用单位之间有什么联系;（2）每个小组实地勘察，按照1︰100的比例尺绘制校园平面图;（3）测量校园绿地面积，填写调查表;（4）开展校园一景写生活动;（5）设计校园绿地;（6）对校园绿地建设提出改进建议。在上述活动中，学生经历了查阅史料、实际勘察、测量、应用公式计算等学习过程，甚至为了计算圆的面积计算公式，自觉超前学习，进一步巩固面积的相关知识，拓展了他们学习、研究的视野。通过开展校园景色写生、设计校园绿地、对校园绿地建设提改进建议等活动，让学生将阅读、研究、实践、写作融为一体，不断构建学习能力的关联性模型。
总之，HPM视角下的数学教学不仅能促进学生建构知识网络，还能为其学习的迁移提供潜在的支持，激发学生各种思维能力协同发展，推动学生各种智力因素和非智力因素协调发展，真正实现学生思维的全景式发展。
【参考文献】
[1]斯特科.数学史[M].侯德润，张兰，译.北京：中国人民大学出版社，2010.
[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[3]蔡宏圣.数学史：走进小学数学课堂[M].北京：教育科学出版社，2016.
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