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整体思维在小学数学中的应用

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  【摘 要】整体思维是数学思维的重要形式。本文就整体思维在小学数学中的一系列表现,如:整体代入、整体联想、整体替换等。突出在小学数学学习中整体思维的重要性,并对其进行了简单的探讨。
  【关键词】整体思维;整体联想;整体构造
   在整个小学数学的学习中,学生会进行很多的思维活动,如:数形结合、发散思维、推理能力等,培养用数学的眼光解决问题,而整体思维就是其中不可或缺的一种。通过对整体思维的学习,孩子不仅可以发现数学解题方法的多样,也可以发现数学的简洁美;在平常生活中,整体思维好的孩子,也能从整体、从大局着手处理问题,不是只看问题的局部或个体。因此,研究整体思维在小学数学中的应用,显得极其重要。
   一、整体思维的定义
   整体思维在辩证法中,又叫做系统思维,它认为事物是由各个局部按照一定的秩序组织起来的整体,在解决问题时人们应该持有整体或者全面的观点,不能以偏概全。
   在数学中,整体思维又被称为整体思想,就是要求我们在解决数学问题时,应该从问题的整体性质出发,善于用整体、全面的眼光,把握各方面的关联,将问题作为一个整体去思考,尤其突出对问题整体结构的分析,从而抓住问题的内在联系,进行有目的、有意识的探索,从而找到解决问题的途径。
   整体思维在数学教学中一直存在,从我们小学学习的化简与求值,到初中学习的解方程组,再到高中学习的等差等比数列,从代数到几何……可以说,在数学学习中,整体思维是学生应该具备的一种最基本的思维。
   二、整体思维的主要表现形式
   整体思维在小学的主要表现形式有:整体代入、整体替换、整体配对、整体联想等。
   (一)整体代入,简化计算
   整体代入法:在解决问题时,将题目中的已知条件或者一些式子重新组合看做一个“整体”,并把这个“整体”直接代入其他式子,从而方便解题,简化计算,避免运算的繁琐和困难。
   【例1】□+△=9,□+△+△+△=17,那么□=(  ),△=(    )。
   分析:仔细观察这两个式子,若要从已知条件直接求出□和△的值,虽然可以,从1+8=9、2+7=9、3+6=9、4+5=9,把这些数一一对应,直到算出结果,可以算出但会有点烦,而细心的同学可以发现,如果把□+△=9看作一个整体,再整体代入后一个式子,得到9+△+△=17,得出两个三角形的和是8,一个三角形就是4,再次带回第一个式子,可以得出正方形是5,从而得出答案。
   (二)整体替换,转换思维
   整体替换法:在解决数学问题时,我们可以将题目中某个式子或者部分,用其他形式来表示,替换掉原来的式子或部分,转换思维,更方便解决问题。
   【例2】学校买来5个足球和10个篮球,共计550元。每个足球比篮球便宜10元,每个足球多少元?篮球呢?
   分析:这是一道很简单但也很典型的整体替换。由已知条件,我们可以把篮球全部替换成足球,或者把足球全部替换成篮球。假设买的全部是篮球,一共买了15个篮球,5个足球替换成5个篮球,需要补50元,那么15个篮球一共550+50=600(元),那么每个篮球价格:600÷15=40(元),每个足球价格:40-10=30(元)。足球与篮球的互相替换,成功解决了问题,将难题简单化。
   【例3】一个笼子可以容纳18只同样大小的鹅和9只同样大小的鸭,或者容纳14只同样大小的鹅和15只同样大小的鸭。如果这个笼子专门用来装鹅,最多可以装几只鹅?
   分析:此题如果直接去求解,因为没有给出鹅和鸭的关系,会不知道怎么去求解。但如果我们能把两个条件中鹅和鸭的关系看成一个整体,即:18只鹅的体重+9只鸭的体重=14只鹅的体重+15只鸭的体重,两边减去同样的14只鹅的体重和9只鸭的体重,那就可以求出4只鵝的体重=6只鸭的体重,两边同时减半,2只鹅的体重=3只鸭的体重,这时候问题就明了了,将鸭转换为鹅,9里面有3个3,而3只鸭等于2只鹅,所以9只鸭的体重等于6只鹅的体重,整体替换回到第一个条件,18+6=24(只),所以最多可以装24只鹅。整体替换,将鸭与鹅互相转换,使题目简单明了。
   (三)整体配对,寻找规律
   整体配对法:在解决一些排列有规律的式子时,我们可以首尾配对,或者交叉配对等,构成一个新的整体,寻找并发现规律,简便题目的运算,从而求出结果。
   【例4】1+2+3+4+……+100
   分析:这是著名的数学家高斯,7岁时解决的题目。刚看题目,不知道如何下手,但仔细观察,可以发现题目的首尾是很有规律,且首尾项的和均为101,1+100=101,2+99=101……50+51=101。进而我们可以尝试整体配对的方法,通过找出首尾项的规律,从而首尾配对求和,从1加到100有50组这样的数,所以50×101=5050。
   【例5】1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62
   分析:看到这个题目时,我们首先从整体着眼,可以发现所求式子很有规律,两个“+”,一个“-”,那我们可以3个数配对,也就是
   1+2-3+4+5-6+……+58+59-60+61+62
   =(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+……+(58+59-60)+61+62
   =0+3+6+……+57+61+62
   =(0+57)×20÷2+61+62
   =570+61+62
   =693
   (四)整体联想,猜测论证
   整体联想法,在解题时寻求不同知识体系的内在联系,从分析问题的整体结构出发,大胆的猜想,进而论证猜测,从而使问题的解决变得有据可循。    【例6】3×3的方格中,分别写有0-8的数字,竖着读时看做是由这三个数字组成的整数,横着读时,也看做是由这三个数字组成的整数,如下图:竖着读时,3个数分别是:36、147、258
   横着读时,3个数分别是:12、345、678
   现在,请在左边的方格中写入0-8这9个数字,其中0、2、6已经填入方格中,使竖着读和横着读时的三个数的和相等。
   分析:依据常规,学生拿到题目肯定会觉得不知道怎么做,需要学生先理解、再思考,一个个试肯定不可以,这时候学生应该学会观察思考,整体联想,去猜测。为了方便,先在右图中用字母表示空格。
   这时候横着读为:AB0、C2D、6EF;竖着读为:AC6、B2E、DF。其中A和F分別在百位和个位,不影响和的大小,可以不分析。整体联想AB0+C2D+6EF=AC6+B2E+DF,只看百位A+C+6=A+B,合理猜测(1)C+6=B(2)C+6比B多1(3)C+6比B小1,有了合理的猜想,接下来一一验证就可以。
   第一种情况只有C=1,B=7,此时表格如右图,看十位7+2+E得数肯定大于10,相应的1+2+D也要大于10,D只能为8,而E=2与已知矛盾。
   第二种情况C+6比B多1,则C=3,B=8,如左图。此时十位上8+2+E=3+2+D,由于8+2=10,与假设的不进位矛盾,所以不成立。
   第三种情况C+6比B小1。C=1,B=8。此时观察十位,只能D=3,E=7。
   这时只有4、5,任意带入发现都可以。480+123+675=416
  +827+35=1278
   580+123+674=516+827+34=1377
   在小学数学的教学中,我们必须注重对学生整体思维的培养,这样不仅可以帮助学生解决数学题目,更能够培养学生在生活中,树立整体的思维,用全面的辩证的眼光去看待和解决问题。因此,整体思维的培养,在小学数学课堂是极其重要的。
   【参考文献】
   [1]杨斌.小学数学思维能力的培养方法[J].教师博览(科研版),2016(8)
   [2]张晓明.数学思维在小学教学中的体现及探析[J].中文信息,2018(2)
   [3]李青云.浅析韦特海默的数学教育思想在小学数学教学中的应用[J].新教育时代电子杂志(学生版),2018(24)
  (淮安工业园区实验学校,江苏  淮安  223008)
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