关于矩阵运算的教学研究
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作者:陈伟 孟凡云
摘要：矩阵是高等代数的重要研究对象，是高等代数中学习其他知识点的重要工具，学好矩阵是学好高等代数的前提条件。文章以矩阵运算的教学为例，将矩阵的运算与大家熟知的数的运算相类比，使学生更容易理解与掌握矩阵运算的相关知识。
关键词：矩阵;运算;类比
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）11-0274-02
矩阵本质上是一个数表，数表可以看作是数的推广，矩阵的运算可以看作是数的运算的推广。在数的运算中有加减乘除四种运算，那么在矩阵中也有类似的“加减乘除”运算。本文我们将以类比的方法来讲述矩阵的“加减乘除”四种运算，其目的是让学生更好地理解矩阵的四种基本运算。在类比的过程中，一方面我们将以数运算中的熟悉知识点来引入矩阵的运算，另一方面，我们将重点突出两者中不同的地方，其目的是希望学生能够更好地理解与记忆矩阵运算的特殊性质。
下面我们分几个部分进行讨论。
一、矩阵的加减法运算
矩阵的加减法运算比较简单，在两个矩阵是同型矩阵的条件下，只要对应位置的元素相加即可。矩阵的加法运算可以直接看成是数的加法运算的推广，所不同的地方在于并不是任意两个矩阵都可以做加法，前提条件是两个相加的矩阵必须是同型矩阵。在数的运算中，数的加法运算满足交换律和结合律。矩阵加法运算也满足交换律与结合律。
二、矩阵的数乘运算
矩阵的数乘运算和乘法运算都可以看作是数的乘法运算的推广。
首先看数乘运算，即数与矩阵的乘法运算。数与矩阵相乘得到的矩阵是数与矩阵中的每个元素相乘所得到的。在数的运算中，数的乘法运算满足交换律和结合律。数与矩阵的乘法运算也满足交换律和结合律。
矩阵的加法和数乘运算可以看作是数的加法和乘法运算的直接推广，其运算性质与数的加法和乘法的运算性质相同。学生理解与掌握起来并没有太大难度。下面重点来看矩阵的乘法运算和“除法”运算。
三、矩阵的乘法运算
矩阵的乘法运算相对于矩阵的加法运算与数乘运算来说较为复杂，不能简单地看作数的运算的推广，但其运算性质的学习可以与数的乘法运算性质进行比较。
在学习矩阵乘法的运算性质之前，和学生一起回顾一下数的乘法的运算性质。然后自然地提出问题，矩阵的乘法运算是否也满足类似的性质？带着这些问题，给出如下的例题让学生分组讨论。
例1 设A=1 1 3 -12 -1 1 2，B= 2 1 0-1 0 3 2 4 1 1 3 4，计算AB和BA
例2 设A=139，B=（3，2，1），计算AB和BA
例3 设A=-1 2 1 -2，B= 1 2-1 -2，C= 3 -3-3 3，计算AB和BA
例4 设A= 2 2-2 -2，B=-2 2 2 -2，C= 3 -3-3 3，计算AB和AC
对于第一个例题，学生通过计算会发现在这个例题中由于AB是一个2行3列的矩阵，但BA的乘积不存在，所以AB≠BA。
此时提出问题若BA的乘积存在，是否一定有AB=BA？让学生带着问题去做例2。学生通过计算会发现例2中AB和BA的乘积均存在的情况下，由于AB的阶数和BA的阶数不同，所以AB≠BA。
再次提出问题如果AB的阶数和BA的阶数相同，是否一定有AB=BA？让学生带着问题去做例3。学生通过计算发现AB的阶数和BA的阶数相同的情况下，也不一定有AB=BA。
三个例题总结下来，学生就能自然地理解矩阵乘法不满足交换律的性质。对于矩阵乘法不满足消去律的性质，我们给出例4，学生通过计算以及分组讨论会发现AB=AC在A不是零矩阵的情况下，不能推出B=C。
对于矩阵乘法运算不满足的交换律以及消去律，我们举出具体例子以加深学生印象，从而让学生明白虽然矩阵是数的推广，但是矩阵的运算并不完全是数的运算的推广。
四、矩阵的逆运算
首先，在给出逆矩阵的定义之前，先回顾一下倒数（逆）的定义：对于一个非零的数a，如果存在一个数b使得ab=ba=1，则称b是a的倒数或者称b是a的逆。提示学生在方阵的乘法运算中我们有如下性质EA=AE=A，让学生自然地想到单位矩阵E是数1的推广。然后让学生尝试用类比的方法给出矩阵的逆的定义：对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=E，则称B是A的逆。提醒学生对于类比得出的矩阵逆的定义不太严格，从而引出其严格定义。
在考查矩阵逆的存在性和唯一性時，先问学生两个问题：任给一个数是否都有倒数？如果有，是否唯一？我们都知道，倒数如果存在肯定唯一，但并不是任一个数都有倒数，一个数a有倒数的充要条件是a不等于0。那么问题来了，任给一个矩阵是否都有逆矩阵？如果有，是否唯一？下面的关键问题就是证明矩阵逆存在的充要条件以及逆矩阵的唯一性问题。在证明了方阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0的定理之后，与倒数存在的充要条件进行类比，以加深学生对于此定理的记忆。
五、矩阵方程
对于矩阵方程的学习也可以与数的一元方程进行类比。矩阵方程有三种基本类型，下面我们分类型类比。
第三种基本类型的矩阵方程AXB=c的求解可以类比一元方程axb=c的求解，此种情形是前两种情况的综合运用，这里就不再赘述。
参考文献：
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]姚慕生，吴泉水.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2008.
[3]王卿文.线性代数核心思想及其应用[M].北京：科学出版社，2019.
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