线性代数在经济领域的应用初步探讨
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作者:黄静静 刘文琰
摘要：数学是研究数量与空间形式的科学，古典数学分为代数、几何和分析三大领域。其中线性代数这一代数学分支既包含代数学的内容，又和几何学密切相关，在理工农医经济等领域都有重要的应用。文章结合应用实例，着重探讨了线性代数在经济领域的应用。
关键词：线性代数;经济领域;应用
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）11-0268-04
一、研究目的与意义
线性代数，英文名为Linear Algebra，是数学中的一个重要分支。代数的英文名Algebra，源自阿拉伯语，它的本意为“reunion of broken parts”，即“把打破的重聚”。因此，把许多看似不相关的事物联系到一起并对其进行高度抽象，这是代数的特点与用途。抽象的目的是通过代数把某些错综复杂的问题转化为人们熟知的数学模型，从而能够更加快速简便地解决问题。线性代数的研究内容包括矩阵、行列式、线性方程组、向量、线性空间和线性变换等。近年来，随着科学技术尤其是计算机技术的迅猛发展，线性代数的应用领域得到了极大的拓展。以前只是在传统的物理领域中应用，后来随着时代的发展，迅速拓展到非物理领域（生物、经济、医学、社会学等领域）。许多经济学家尝试将数学和经济学紧密地联系在一起，并通过对大量数学工具的运用，使得经济学领域的理论研究工作取得了重大的进展。在上述数学工具中，线性代数出现的频率很高。本文致力于寻找线性代数与经济问题之间的密切关系，着重探讨线性代数在经济领域中的重要应用。
为了使读者更加深入地了解线性代数应用领域的广泛性以及线性代数对经济领域相关研究的重要推动作用，本文除了总结陈述前人的研究外，还列举并分析了几个实践中的案例，以期能够通过本文的研究促进线性代数理论在经济领域的应用，促进社会经济与科技全面发展。
二、前人的研究综述
王珍萍（2017）曾简要阐述线性代数理论的重要性，并且说明了在其他的科学领域中线性方程组解法有十分重要的应用。在当前社会主义市场经济的环境下，经济实务体系中的重要组成部分是对经济领域的投入产出问题进行分析。这种类型的经济问题的解决要归功于线性代数的应用，它的优势是其他方法所没有的。
张莹华（2011）曾经提出，线性代数就是对向量、线性方程组、矩阵和线性变换等概念的研究。线性代数的相关概念和思想方法能用几何具体地表示出来，并且在抽象代数和泛函分析中有着广泛的应用。通过借助于线性代数等多种数学理论和方法，经济理论的研究工作取得了很大的进展，显著加深了人们对于经济规律的理解与把握。
桑卓（2006）曾提出，数学是一切科学的基础。发展经济需要研究经济理论，掌握经济规律，而在研究这些的过程中大多数都需要应用数学。自从1969年设立诺贝尔经济学奖以来，诺贝尔经济学奖得主的成果大多数都是应用数学的理论、思想和方法来研究经济问题所得的结晶。这些年来，人们已经通过应用数学理论方法使经济领域中的很多重要问题得到了良好的解决。
郑烨（2009）提出了线性代数中每一个理论在各个领域中的不同运用，如矩阵、线性变换、二次型正定判定等在不同领域的运用。
三、实例分析
（一）矩阵运算的应用案例
矩阵的运算中，人们比较容易接受和掌握矩阵的加法、减法以及数乘运算等运算方法。而矩阵的乘法的算法相对来说非常特别，不易理解，但大量的矩阵理論及其应用都是建立在矩阵的乘法之上的。矩阵的乘法广泛应用于各个方面，矩阵的乘法中不仅只有两个矩阵相乘，还有多个矩阵相乘的情况，这里就多矩阵相乘在经济中的应用举例。
案例一 支付资金流动问题
为了保证金融机构的现金能够足额支付，金融机构在A市和B市的公司分别设立了基金，平时可以使用这笔基金，但是每个周末清算时必须保持总金额不变。经过了长时间的现金流动，发现每周公司的大部分支付基金在流通过程中仍然留在本公司，然而每周A市公司有大约12%的支付资金最终流向B市公司，B市公司则有大约15%的支付资金最终流向A市公司。最初，A市公司的基金为106万元，B市公司的基金有212万元。按照这种规律持续下去，两家公司的支付基金数额变化趋势是怎样的？若要求每个公司的支付基金高于130万，则需不需要在必要时调动资金？
案例二 模糊评价矩阵在分析经济影响权重中的应用
评价方案或者成果时，其中需要考虑的因素非常多，并且某些描述难以明确地表达出来。在这个时候，就可以采用模糊评价方法来对事物从定性化的评价转为全面且定量化的评价。因为模糊综合评价可以有效地解决许多难以量化的问题，所以它非常适合解决各种不确定性问题。模糊矩阵在模糊综合评价中用于表达各因素的不同的隶属度，最终利用该矩阵进行运算得出各因素的重要程度排序。
假设某家银行为了计划下一个年度的贷款投资重点，对甲、乙、丙、丁这四家企业的财务信用进行了贷款风险的投资评估。评判企业财务信用的重要目标因素为企业的人才储备、经营能力、盈利能力和偿债能力，对应的数值如表所示。通过模糊综合评价决策出重点投资的四家企业排名。
（二）行列式在经济领域的应用
行列式是指由一些数值排列形成的方阵经过计算得出的一个数。
线性方程组可用于许多真实的案例中，例如互付工资问题。工资的相互支付问题是指在提供劳动力的过程中因为多方合作所产生的问题。例如，在农忙时，各家各户的农民组成了一个合作小组，大家一起完成每户的耕作、种田和收割等工作。又比如，木工、电工、油漆工等组成了一个工作小组，共同完成各个家庭的装修工作。因为不同的工种所付出的体力劳动和脑力劳动是各不相同的，所以，我们有必要计算互付工资的标准去平衡各方的所得利益。 案例四 互付工资问题
一个互助组由A，B，C三个农民组成，每个人一共在小组成员家中工作6天（在自己家干活的天数也包含其中），使得他们三个人家里的所有农活恰好完成，其中A在A，B，C三人家中工作的天数依次为：2，2.5，1.5;B在A，B，C三人家中都干2天活，C在A，B，C三人家中工作的天数依次为：1.5，2，2.5。根据三个人的工作类型、速度与时间，他们认为他们三个人两两的支出与收入平衡，所以他们之间不用相互支付工资。然后，三个人在隔壁村庄分工合作干了2天活，而且每个人的工作类型和强度都不变，三人一共得到了500元工资。他们如何合理地分配这500元工资？
四、结论与讨论
（一）本文的主要结论
近年来，随着科学技术的发展，线性代数的应用领域扩展越来越迅速，经济活动的实践离不开数学，线性代数在经济生活中发挥着至关重要的作用。
经济学中应用线性代数主要是运用其概念、性质和思想等。文中的案例分为两种，一种是直接应用线性代数，另外一种是间接应用线性代数。
1.经济学中直接应用线性代数。直接运用线性代数来计算经济问题并可直接得出结果的，如用矩阵的加法、减法、数乘、乘法和矩阵的逆，行列式，线性方程组等概念或性质直接用于经济问题中的数据，从而计算得到结果。这种应用较为普遍，企业直接运用线性代数，能够找到决策的理论依据，不会盲目投入与生产，造成企业的经济损失。
2.经济学中间接应用线性代数。经济学中间接运用线性代数不是直接套用线性代数的公式，而是在经济学中解决问题时自然而然渗透着线性代数的思想，例如用模糊綜合评价、层次分析法分析经济问题以及线性规划等。间接运用通常是在经济学中把较难的问题利用线性代数的思想巧妙地解决，使复杂的问题简单化。因为大多数的经济问题都不可能只用线性代数的问题解决，通常还需要经济学的理论知识和社会经验等，不能够直接运用线性代数，所以间接运用线性代数才是经济领域中应用线性代数的主流。间接运用线性代数来描述较为复杂的经济现象，例如国民收入、消费、经济活动等，有利于人们正确把握社会经济活动的规律。
综上，线性代数增强了经济学的可靠性、科学性、客观性，使之得出的决策更加令人信服，为经济学家们更好地解释和预测经济行为提供了一种更有利的手段，为人们的经济生活提供了正确的指导。
（二）本文优点与不足之处
对于线性代数在经济领域中的应用，本文归纳出了矩阵、行列式、线性方程组等知识的应用，并进行了一定的分析研究，加深了人们对线性代数在经济领域应用情况的了解。但是本文也存在着许多不足之处。最大的不足是缺乏大量的真实数据作为本文案例的支撑。由于企业对于数据的保密，无法从各种渠道得到适合且匹配的数据进行模型的搭建，就只运用了理论知识就某些简化的经济系统进行举例，具有一定的主观性，有待创造条件深入研究，做进一步的完善。
参考文献：
[1]王珍萍.线性代数及其在经济领域中的应用与作用[J].数学学习与研究，2017，（05）：18-19.
[2]张莹华.线性代数及其在经济领域中的应用与作用[J].黑龙江科技信息，2011，（30）：221.
[3]桑卓.数学在经济理论研究中的意义和作用[J].数学之美，2006，（01）.
[4]郑烨.浅谈线性代数的实用性[J].才智，2009，（22）：124.
[5]黄玉梅，彭涛.线性代数在中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报：自然科学版，2009，（45）：123-125.
[6]郝玉芹.经济数学在决策理论中的应用[J].经济师，2001，（04）：59-60.
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