浅谈《线性代数》的课堂教学
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摘要：本文从教学目标出发，分析教学内容与教学方法，结合教学形式，阐述《线性代数》的课堂教学。
关键词 教学方法 抽象 理论
代数与分析是数学的两大分支，较分析而言，代数更抽象，因此学生初接触时会感到吃力、困难。线性代数是高等代数的一个分支，是大学数学的重要基础课之一，在社会科学、自然科学中有广泛的应用。通过该课程的学习，学生为后续专业课程的学习打下基础，同时逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。如何教好且让学生学好该课程是大学数学教学中一个重要的问题。本文从教学目标、教学内容与教学方法和教学形式三方面简单阐述培养学生对线性代数的兴趣，使线性代数的教学过程具体化、生动化，学生的学习过程自主化、有趣化，进而提高课堂的教学效率。
1教学目标
明确开设一门课程的目的以及教授一门课程的目标是教学的前提。线性代数是大学数学的一门重要的基础课，通常在大学的第一学期就开始学习，课程所涉及的主要内容从理论上讲是后续相关专业课程及学生自我数学素养培养的必要基础。如行列式、矩阵、线性方程组、向量等是大部分工科专业课程的基础，关系到学生对专业知识的理解、掌握及应用;同时学生在学习过程中可以了解到一部分数学发展史和一些数学家的逸闻趣事，提高自身的数学修养。从应用上讲，该课程服务于信息、金融、工程等领域，在学习理论知识的同时，培养学生利用数学知识分析、解决实际问题的能力。例如在大数据时代，处理大型数据，收集有价值的信息，矩阵是必不可少的工具，培养学生建立数学模型、将矩阵理论知识应用到相应问题的能力等。以此为教学目标，合理安排教学内容，采取恰当的教学方法，通过该课程的学习，以期培养学生学习的兴趣，使学生在学习过程中，掌握知识点蕴含的数学思想与数学方法，以及应用所学知识解决实际问题的能力。
2教学内容与教学方法：由具体到抽象、由实际到理论
每一个数学知识点几乎都包括三部分：定义、引理、定理。学生首先接触到的是定义，由以往的教学经验发现，很多学生反映线性代数中大部分概念比较抽象、生硬，没有直观的理解，容易造成凭空创造出来的印象。不像分析的一些概念，比如函数的连续性有非常直观的几何图形。因而对于线性代数中的定义学生经常提出这样的困惑“为什么要引入这个概念，有什么意义”，这是在课堂教学中时常遇到的问题，回答好这个问题是教好某一知识点的第一步。事实上，不仅是线性代数中的基本概念，数学中很多基本概念的产生都有自然的背景，蕴含着很多精彩有趣的思想。但是由于种种原因，这些内容在学科的发展中慢慢淡化，教材中更是很少提及，著作者将大量的篇幅、精力用在了理论内容陈述的严密性与逻辑性上，忽略了问题原有的乐趣，造成现在的读者，尤其是学生在阅读时的困扰与疑虑。在教学中，教师应依据内容选取合适的教学方法，适当引入相关的知识为学生“答疑解惑”。对于比较抽象的内容，可以采取由具体到抽象、由实际到理论的教学方法，在条件允许的情况下，可以用通俗易懂的文字介绍知识产生的背景或者举证一些简单的引例，吸引学生的兴趣，引导学生思考知识点所蕴含的数学思想与数学方法。
对于一些晦涩难懂的内容，可以从具体到抽象，由简单到复杂。如行列式的定义，可以从中学熟知的利用消元法解二元一次方程组讲起，写出解的形式，说明二阶行列式是二形式的另一种记法（同时可指出二阶行列式代表取定正方向时平行四边形的面积，利于学生理解交换行列式两行行列式值变号的性质），指出二阶行列式的值实际可按第一行展开，然后引入三阶行列式（代表三维空间中取定正方向时平行六面体的体积），是三形式的一种记法，其值也可以按第一行展开，进而思考n阶行列式。让学生主动参与新知识的提出，加深对知识点的理解，发现数学之美。又如特征值和特征向量。从简单的例子出发，将二阶方阵乘以二维向量所表示的几何意义明确的展示出来，让学生发现二阶方阵乘以一个向量相当于将原来的向量做了伸缩、旋转变换。然后作用在某一类特殊的非零向量，发现该类向量只发生了伸缩并没有发生旋转（对称除外），并且对应此类向量伸缩的倍数是固定的，引导学生思考是不是每个矩阵都有类似的一类向量，且对应着一个固定的伸缩倍数，该类向量即为特征向量（特征向量不唯一），对应的伸缩倍数即是特征值。这样就引出特征值和特征向量的定义，学生易于理解、接受。
另外，数学中很多知识点是为解决实际问题而发展出来的，或者说有很多实际的应用。在教学中采取由实际到理论的方法，介绍引例，增加知识点的趣味性与实用性。这里我们列举两个知识点。求解线性方程组是线性代数的一个重要内容，是科学研究和工程应用中最重要和最普遍的一个问题。大量工程应用中都涉及到线性方程组的求解，一个很常见的例子是城市交通流量问题，为提高人民的生活质量，促进经济的发展，解决交通拥堵是政府关注的一个重要问题。解决该问题的一个基础性工作就是统计与控制各条道路的交通流量，使各道路的交通流量达到平衡，那么问题就转化为求解线性方程组。同时，线性方程组在物理学中也有广泛的应用，比如在一些理想假设下，描述电磁学的麦克斯韦方程组以及描述波粒二象性的薛定谔方程组都是线性方程组。以这些为引例，可以传达给学生，学习线性代数不止是为了考试挣学分，还可以与我们的生活息息相关，以及应用在自然科学的问题上，吸引学生自发的主动探索如何求解线性方程组。此时引入Gauss-Jordan消元法，初等变换法等解线性方程组，学生就比较容易接受。又如矩阵的基本运算。矩阵的线性运算（加法、减法、数乘）与通常的数字加减本质无异，容易理解。相比线性运算，矩阵的乘法与逆运算不太直观，教师在教学过程中可以举一些有趣的例子从侧面吸引学生。比如密码问题，将原文作为一个矩阵乘以另一个矩阵（加密矩阵） 就得到密文，要破译此密文，就要知道加密矩阵的逆矩阵，在这个过程中将矩阵的乘法和取逆引入，增加学习的乐趣。对于矩阵乘法定义的意义，认识到矩阵与方程组之间的本质联系：矩阵的引入可以为线性方程组提供一个简单的形式，在此基础上就可以很轻松的导出矩阵与矩阵之间的乘法定义。矩阵乘法还有很多实际应用的例子，比如计算某公司各种货物在各个季度的销售总额，用矩阵相乘简单明了，事半功倍。这样学生就不会觉得矩阵运算是一些枯燥无味的数字做机械的运算，鼓励学生课下利用矩阵乘法将一条消息加密之后传送出去，同时思考身边有哪些事情可以用到这些知识点，提高学生解决实际问题的能力。
3教学形式
传统的板书模式，由于书写速度慢、板书量大，老师把大量的精力花在板书设计与书写上，在有限的时间内很难介绍精彩的背景与有趣的实际应用，教学模式单一、枯燥，学生注意力不易集中，容易困倦、开小差，教学效果一般。事实上，可以结合网络、多媒体丰富教学内容，通过适当加入动画模式，吸引学生的注意力，增加与学生的互动，提高学生的课堂的参与度。另外多媒体教学可再现讲过的内容，方便学生回看知识点，提高工作效率。对于比较重要，但证明又相对简单的定理，可以以板书的形式逐步推导，再用PPT重现，使学生加深对此定理的印象。对于篇幅较大且过程冗余的内容，如矩阵的基本運算、求行列式、解线性方程组等，使用PPT讲解，可以整体呈现，简洁明了，易于理解。同时，将课堂上讲解的内容上传至网络教学平台，方便学生在网络上预习、回看和复习知识点。此外，可创建班级微信群、QQ群供学生答疑交流，不懂的知识点，不会的题目，一些有趣的数学故事，可以在群里分享，鼓励大家各抒己见，集思广益，老师做最后的把关，将比较有意思的问题及解决方法在课堂上讲解，这样增加了学生学习的自主能动性，也可以更深刻的理解知识点，做到知其然并且知其所以然。在教学之余，向学生介绍一些数学软件的应用，如Matlab，Mathematica， Maple等，鼓励学生利用数学软件解决一些简单的实际问题，通过分析问题，建立对应的数学模型，利用数学知识、计算机编程等解决问题，增加学生学习的乐趣，增强学生动手与思考的能力。这些都可以有效的辅助教学，培养学习兴趣，提高教学效率。
在线性代数的教学过程中，从教学目标出发，通过对不同的教学内容提出适当的教学方法，传统的教学模式与多媒体、网络相结合，在此过程中培养学生学习的兴趣，使教学过程具体化、生动化，学习过程自主化、有趣化，同时锻炼学生的抽象思维能力与做科研的潜力。引导学生主动的发现问题，提出问题，思考问题，分析问题，解决问题，领略知识点发展的过程，感受学习的乐趣，寓教于乐，寓学于乐，最终希望学生掌握教材的主要内容、应用知识解决实际问题的能力，理解知识点背后所蕴藏的数学思想与数学方法。
参考文献
[1] 李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化，2004（01）：30-33.
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