一元二次方程应用题的教法探究

来源:用户上传      作者:仲国梁

　　摘 要：一元二次方程在初中数学的内容中扮演着很重要的角色，是中考的必考点。实际教学中，教师在传授一元二次方程重难点的基础上以典型案例为学习的核心，教会学生学会做有关的应用题，在不断地练习中总结出自己做题的一套思路和策略，以此来提高自己的数学水平以及实际应用能力。
　　关键词：一元二次方程;策略;应用题
　　一、 背景
　　“一元二次方程”的內容按照国家要求的教学大纲是被安排在人教版九年级上册第二章，接触过本章内容后，各位老师的感受是虽然知识点看起来不难相对来说还算简单，与之前学习的一元一次方程有一定的联系，思维缜密，讲解知识点的时候学生多数是可以理解的，但是当把该知识点带入应用题中的时候，大部分学生表示很难，就像没有学习过一样。其实不仅仅是学生对于一元二次方程的内涵思想缺乏理解，很多老师的教学方法大多存在一定的问题，对知识内容的模糊认识;针对此类问题，本文针对开展“一元二次方程”深度教学研究的科研活动，目的在于帮助教师更加科学地分析该教学的知识，有效地提高对学生的教学，众所周知有效的教学不仅对老师学生产生积极的影响，对于家长学校也是一种很好的倡导方式。
　　二、 教法研究
　　（一）概念及内容
　　1. 概念
　　方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程式。必须同时满足这两个条件的方程式才是一元二次方程。
　　2. 内容
　　（1）特点：①有且只有一个未知数;②该未知数最高次为2;③整式方程。
　　课堂上教师给出几个方程形式，让同学们判断是否为一元二次方程，就根据上面的条件进行判断。
　　（2）一般形式：ax2+bx+c=0
　　其中a，b，c均为常数，且a不可以等于0。
　　（3）一般解法：分为四种，分别为直接开方法、配方法、公式法、分解因式法。
　　（4）判断一元二次方程根的方法
　　根据判断式b2-4ac来判断，当b2-4ac>0时，说明该方程有两个不相同的实根，当b2-4ac=0时方程的两个实根相等，这种情况下一般舍去其中一个，也就是说只有一个实数根。b2-4ac<0不存在实数根。
　　公元628年在印度的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一个求根公式。在阿拉伯阿尔，花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，二元一次方程是在一元一次方程的前提下，为了很好地解决一些实际问题所提出来的方程式，是模拟一个现实世界有效解决问题的数学模型，一般情况下，为了实现现实生活中所不能满足的现象，科学家或者研究者们会采取一定的必要措施与现实相连接，其核心本质是符合要求的：包括方程基本思想、类比之前的定理思想、观察模型与比较方法;理性的开发教师以及学生的能力，合理丰富学生形式的转变来适应学习的条件，通过反思、比较、监督等手段在督查学生，积极地影响学生，使得同学们正确认识到本章知识在现实生活中所占据的重要地位，从而提高学习兴趣。
　　难点：对于一元二次方程的内涵与表达，特别是当遇到题目比较长，题目形式比较少见的时候，心理活动就会很慌张，不知道从何下手，完全忘记模型的建立。
　　教师在上该节课之前就应该给学生们普及一下相关信息，一方面可以提高学生对于现实数学应用，另外一方面也可以提高学生学习的主动性。
　　（二）教学问题分析
　　认知理论：关于学习内容的内部加工的系列过程。比如说获取信息资源等达到一定目的的心理学理论。该理论的核心代表人物为瑞士的皮亚杰，美国的布鲁纳和奥苏泊尔。虽然彼此间还是存在着一定的差异，但是当我们取它其中关于学习的这一部分的时候还是有很多的共同之处，一是有机体学习的是知觉和认知的学习的形成和变化，变化是唯一不会改变的东西;二是学习的基础是有机体内部存在的一定的有组织有逻辑的结构，其中主要影响学习的因素是刺激情绪，改变学习者学习当前的任务的标准、突然间得来的灵感或者理解，然后是有意义的取得发现并且接受这个现实，学习并不见得简单，包括认知结构的特点，注意力，心向，所有由此可以看出认知理论对于解释较高级的学习的状态相对比较合适。
　　数学认知结构：学生按照自己对脑袋里面所拥有的数学知识深度的理解，结合自己的知觉、联想、理解、特点等因素组成的一个自身内部的一个整体结构。现代研究科技人员告诉我们，学生学习数学的这个过程就是本身对于数学认知的认识过程，在这个过程中学生在教师的引导下，将课本知识转变为自己大脑里面的知识，并保持大脑像一个容器一样，当学生需要该知识的时候就从大脑里面取出来加以利用。由于个体之间本就存在着差异，所以每个学生对于知识的理解与掌握程度也会有所差异，表现在个体对于出现的问题的处理方式的不同，最直接的表示就是成绩的显示。比如大部分学生在听教师上课的内容的时候他们是听得懂的，但是当教师给同学们一个与刚才提醒相似，参数却不同的时候有些学生很轻松就可以模仿教师解出答案，但是一部分“数学化”能力不强的学生却需要一定的转化，模式的切换，即需要翻看相类似题型然后多看多分析才能勉勉强强做出答案一样。对于这部分学生，他们“抽象”思维比较弱，教师需要结合一元二次方程与上次课学习的一元一次方程对该部分学习践行讲解，并分类是说明，先求什么，再求什么，对其慢慢地引导，一步一步解出答案。
　　疑难点：找准未知数、根据题意列举方程、方程的应用。
　　问题分析：对于应用题型，分析至关重要。近年来，考查一元二次方程的题型基本上可以归纳为几个大类，即解决增长率问题、销售等问题、求取面积等问题、数字采取问题、握手问题以及传染问题。首先，当我们拿到题目的时候，看一下可以归纳到哪一类问题上，如果是属于上面列举的这几类，那下一步就是先把需要用到的公式写在题目的旁边，接下来就是寻找未知量，一般情况下我们都是设未知量为x，接下来就逐个寻找公式里面的参数，这里需要提醒的是有些信息是被隐藏在题意里面的，同学们在做题的时候要细心寻找，找完参数以后基本上就解决了，接下来就是解方程。如果遇上的题目不属于上面所说的几大类，那也不要慌张，步骤与你的老师教会你的方法是一样的，你可以先不靠其他的帮助分析分析然后尝试着自己求取一下结果。 　　三、 教法指导方法
　　（一）方法
　　本文根据一元二次方程知识点，重难点提供了三种合适的教学方法，针对不同难度层次的题型采取不同的解决方案。
　　1. 联系概念→提取一元二次方程特点→模拟概念→模拟特点→组织与应用
　　这种方法比较直接、简单，但是也算符合认知理论的要求的，考虑到学生们才刚开始接触一元二次方程这种相对于比较抽象的纯数学化知识，教师应该具体问题具体分析，第一是学习概念，然后保证学生掌握了一元二次方程的特点以后给出常见的题型，然后将这个题模拟成为学习一元二次方程的形式，使得题型与概念合二为一然后找到题目下模拟出来的方程的具体特点，这样将题目转变为方程的形式虽然可能不适合全部学生，但是对于部分学生还是有帮助的。只是不适合学生接受多数题型的特点，这种方法只适合少数不太常见的问题。
　　2. 构建现实问题→建立模型→转变一元二次方程的一般形式→解题
　　这种方法比较偏向于概括性，在学习了一元二次方程的概念以及相关内容以后，教师总结;然后直接给出实际的例子给学生慢慢摸索，留给学生一定的时间，时间结束后，教师带着学生分析他们之前建立的模型，并根据模型学生可以很快地发现自己的错误的地方，在教师的讲解下，学生可以很快地改正错误，那么接下来就是不断地练习;这个方法就比较适宜，因为数学最关键就在于多练习，熟能生巧，考试的时候自然就可以做到下笔如有神一样。这种方法适合用于大多数的题，有利于学习与长期使用。
　　3. 经典题型→建立模型→应用→思考模型中的概念→还原一元二次方程一般形式→总结
　　这种方法一开始的时候与第二种方法相似，不同的是不用做那么多的题，只是需要靠学生自己总结。当教师给定一个比较经典的例子给学生练习时，学生需要根据一元二次方程的內容解答出题目的答案，然后专注于该题目，总结出题目与知识点的联系，然后将自己解答出来的答案对应题目提取出一元二次方程得一般表达式，因为在解决这一类得应用题的时候都是根据方程得一般表达式来解答的，教师很好地利用了驱动关系将问题与所需要学习的知识点联系在一起，这个过程中即可以学习也在复习，关键在于还可以应用，真正地做到融会贯通，举一反三，通过一个例子就可以把整章的知识都学了一遍。所以，在很多学校，这种方法是教师一直以来非常常用的教学方法，这样可以间接地提高学生自主独立思考的能力。
　　（二）案例结合分析
　　本文通过结合上面（一）中提到的几大类型题目来教学。
　　第一类增长率问题，根据增长率公式建立数学模型，再具体分析模型，找到有关的参数带入公式求取答案。第二类销售等问题，销售问题涉及时间问题，这种类型在题目中有些参数是隐藏的，所以需要注意，一般设未知数与找对应数字之间的关系即可。第三类求取面积问题根据建立的数学模型，采取构建三角形，再利用三角形的基本特征进行求解。最后的数字采取问题握手问题以及传染问题同样采取建立模型的方式，提取一元二次方程的一般形式来求解。
　　四、 反思与总结
　　如果说一元二次方程在初中数学中占有很重要的地位，那么教师高效地传授知识给学生是让学生继承一元二次方程的必要途径，所以教师教学扮演着不可替代的作用，明确有效的准备策略，提高学生对于一元二次方程的掌握程度是教师的重要功课，学习的过程中，不管是什么样的知识点，都会有不会的学生，当然，学生本身也有责任跟义务学习好教师教的内容，一份优秀完美的学习计划往往比得上上了多年来的教学经验，所以，对于教师来说，课后做好充分的教学准备同样很重要。
　　参考文献：
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　　[4]解思传.也谈一元二次方程应用题的解题策略[J].中学数学教学参考，2019（21）：7-9.
　　[5]吴世煦.一元二次方程的应用题的讨论[J].数学通报，1962（3）：21-22+13.
　　作者简介：
　　仲国梁，甘肃省临夏回族自治州，甘肃省临夏州和政县第五中学。
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