一元初等函数求导教学探讨

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　　摘要：一元初等函數求导是高等数学的重要内容。本文通过分析初等函数表达式的运算结构，即函数间的运算关系，包括四则运算及复合运算，提出一种基于“运算结构”的求导方法，从而正确求出函数的导数。
　　关键词：初等函数;运算结构;复合函数
　　中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）13-0220-02
　　 一、引言
　　高等数学一元微积分研究的重要内容是初等函数，其表达式中不仅包含函数，还含有由这些函数组成的多种运算结构，主要有四则运算及复合运算。对初等函数的运算结构进行分析，有利于正确求出函数的导数。
　　二、基本知识回顾
　　（一）复合函数
　　定义1：设函数y=f（u）的定义域为D，函数u=g（x）的定义域为D，且其值域R？奂D，则y=f[g（x）]，x∈D，称为由函数y=f（u）与u=g（x）构成的复合函数，u称为中间变量。一般地，称y=f（u）为外函数，u=g（x）为内函数。
　　（二）初等函数
　　定义2：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。
　　（三）复合函数的求导法则
　　设y=f（u），u=g（x）且f（u）及g（x）都可导，则复合函数y=f[g（x）]的导数为=·
　　复合函数的求导法则又称为链式法则，按照复合函数的定义，分解出内外层函数，由外往内逐层求导。此法则可推广到三层以上的复合函数。
　　三、初等函数的导数
　　求初等函数的导数，首先分析初等函数的运算结构，即初等函数由基本初等函数经过了哪些四则运算、复合运算以及这些运算的先后顺序;其次基于这些运算的先后顺序，综合运用四则运算及复合函数的求导法则对初等函数进行求导。
　　例1：求f（sinx）=sinx-3sinx+1的导数。
　　分析一：f（sinx）的运算结构为：sinx、-3sinx、1三个函数之和，sinx看成是sinx与sinx的乘积。对f（sinx）应用四则运算（加减法）的求导法则。
　　解一：f′（sinx）=（sinx·sinx）′-3（sinx）′+（1）′
　　 =2cosx·sinx-3cosx
　　 =2（sinx-3）·cosx
　　分析二：f（sinx）的运算结构为：由外函数f（u）=u2-3u+1与内函数u=sinx复合而成。对f（sinx）应用复合函数的求导法则。
　　解二：f′（sinx）=·
　　 =（2u-3）·u′
　　 =2（sinx-3）·cosx
　　分析三：f（sinx）的运算结构为：sinx、-3sinx、1三个函数之和，sinx是由外函数u与内函数u=sinx复合而成。对f（sinx）首先应用四则运算（加减法）的求导法则，在计算sinx的导数时，应用复合函数的求导法则。
　　解三：f′（sinx）=（sinx）′-3（sinx）′+（1）′
　　 =2sinx·（sinx）′-3cosx
　　 =2（sinx-3）·cosx
　　由例1可以看出，函数的导数与函数的运算结构密切相关，同一函数的不同运算结构，运用的求导法则也会不同。一旦运算结构分析错误，就很难正确求出函数的导数。其中，复合函数的求导法则在计算中也容易出错，与复合运算分解不彻底有关。
　　例2：求y=e的导数。
　　分析：y=e的运算结构为：由外函数y=e与内函数u=sin2x+复合而成，u=sin2x+是sin2x与之和，而sin2x与还是复合函数，其中sin2x是sinv与v=2x复合而成，是与w=x+1复合而成。
　　y=e的求导过程为：对y=e应用复合函数的求导法则，在计算u=sin2x+的导数时，先应用四则运算（加法）的求导法则，然后对sin2x与分别应用复合函数的求导法则。
　　解：=e
　　=（sin2x）′+（）′=2cos2x+
　　=·=（2cos2x+）·e
　　例3：求y=cosnxcosnx的导数。
　　分析：y=cosnxcosnx的运算结构为：cosnx与cosnx的乘积，而cosnx与cosnx都是复合函数，其中cosnx是un与u=cosx复合而成，cosnx是cosv与v=nx复合而成。
　　y=cosnxcosnx的求导过程为：首先应用四则运算（乘法）的求导法则，然后对cosnx与cosnx分别应用复合函数的求导法则。
　　解：=（cosnx）′·cosnx+cosnx·（cosnx）′
　　（cosnx）′=ncosn-1x·（-sinx）
　　（cosnx）′=（-sinnx）·n
　　=-ncosn-1x·（sinx·cosnx-cosx·sinnx）
　　四、小结
　　在给学生讲解初等函数的导数时，应注重对函数表达式运算结构的分析，结构分析准确是正确求导的基础，并用典型例题加以讲解，能够取得非常好的效果。
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系，高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
　　[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.
　　[3]郑之兰.基于“运算”的函数求导方法[J].南京广播电视大学学报，2008，（04）：103-105.
　　A Probe into the Teaching of the Derivative of the Elementary Function
　　LIU Qing-jun
　　（Department of Basic Teaching and Research，ChongQing Police College，Chongqing 401331，China）
　　Abstract：The derivative of one-dimensional elementary function is an important part of higher mathematics.In this paper，by analyzing the operating structure of the expression of elementary function，that is，the operating relationship between functions，including four arithmetic operations and composite operations，a method of derivation based on "operating structure" is proposed.Thus the derivative of the function is correctly obtained.
　　Key words：elementary function;operating structure;composite function
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