高等数学中无穷小的解读

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　　摘 要：作者在《高等数学》教学过程中，发现很多同学对一些概念理解不透彻或者存在误解，本文对邻域，无穷小和高阶无穷小做了解释，希望为同学们解惑。
　　关键词：邻域;无穷小;高阶无穷小
　　Abstract： in the teaching process of " Advanced Mathematics"， the author found that many students do not understand some concepts thoroughly or have misunderstanding， this paper explains the neighborhood， infinitesimal and higher order infinitesimal， hoping to solve the confusion for students.
　　Keywords： neighborhood; An infinitesimal. Higher order infinitesimal
　　高等數学建立在初等数学基础之上，结构严谨，对于学生的逻辑思维以及运算能力有较高的要求，是各理工学科的基础。笔者在《高等数学》课程的教学过程中，发现学生对于一些概念要么理解不透彻，要么后期的运用过程中出现误解。在此，本文对高等数学教学中的几个概念加以解读，希望为同学们解惑。
　　一.邻域
　　定义1[1]：以点a为中心的任何开区间为点a的邻域，记为 U（a）。设δ是任一正数，则开区间（a-δ，a+δ）就是点a的一个邻域，这个邻域称为a的δ邻域，记为U（a，δ）。
　　从邻域的定义可以看出，所谓邻域就是以a为中心的开区间，而a的δ邻域就是以a为中心δ为半径的开区间，δ可以是任何正数。
　　但是在后期的应用过程中，同学们可能产生一个误解：认为a的δ邻域中的δ是小于1的。从而导致对高数中其他概念产生误解。
　　二、无穷小
　　定义2[2]：如果函数f（x）当x→x0（或者x→∞）时的极限是零，那么称函数f（x）为当x→x0（或者x→∞）时的无穷小。特别的，以零为极限的数列{xn}称为n→∞时的无穷小。
　　从定义上看，无穷小是一个过程：随着x→x0时，f（x）的极限是零，即f（x）是→x0时的无穷小。注意，不能说f（x）是无穷小。
　　关于无穷小，同学们容易纠结的地方有两个：第一，无穷小和很小的数;第二，无穷小和零的关系。
　　首先，无穷小和很小的数。通过刚才的分析我们可以看出，无穷小是一个过程，是函数f（x）随着x→x0逐渐趋近于零的过程。而很小的数，无论这个数多么小也是一个具体的数。
　　三、高阶无穷小
　　在教学过程中，总是听到有人问，高阶无穷小是0还是函数？其实高阶无穷小既不是0也不是函数，他是两个无穷小量的比较。在同一个变化过程中的两个无穷小，虽然同时都趋向于零，但是它们趋向于零的快慢程度有时却不一样，甚至差别很大。
　　上述解释很多同学都能理解，但是还是有部分同学容易陷入误区，比如下面例题
　　但是，从图形上看，在x<1时，对于相同的变化幅度，x2是比x3变化大;换言之，x2变化速度比x3快，这样，x2应该是x3的高阶无穷小，这不是和定义矛盾吗？
　　解答，例题1的说法，其实还是对高阶无穷小的定义没有理解。
　　高阶无穷小中变化速度不是指变化的量，而是指相对于自身所变化的比例。比如当x从 变为 时，x2从 变为 ，缩小为原来的 ，x3从 变为 ，缩小为原来的 ，x3变化的量小，但变化的比例大，所以认为它收敛于0的速度更快。
　　以上就是作者在教学过程中遇到的众多概念中的几个，学生对这几个概念或者存在疑惑，或者理解有误，因此作者在此整理，希望为同学解惑。
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系编.高等数学[M].第六版：高教出版社出版。
　　[2]孙洪波.高等数学[M].第二版：中国铁道出版社
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