数学学习进阶：赋予学生持续的学习力
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作者:周卫东
摘要：学习进阶在对学生形成完整、系统的认知结构，促进教材、教学的连续性，为教学决策和教育测评提供参照等方面均有着十分重要的意义。小学数学学习进阶具有促进教学测评，促进教学连续，促进有效建构等多重价值，其有效教学策略为围绕大概念进行教学重组，根据进阶原理开发教学设计，以学习进阶为参照进行有意义的教学诊断和教学改进。
关键词：学习进阶;教学设计;教学重组;教学评价
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）06A-0008-05
随着时代的前进，知识信息总量急速增长，如何构建合理科学的课程知识体系，已成为教学必须思考的重要命题。美国科学教育研究者汲取多年来教育研究的丰硕成果，提出了学习进阶理念。美国学者史密斯首次提出了学习进阶的概念，他认为，学习进阶就是“学生在学习某一核心概念的过程中所遵循的一系列逐渐复杂的思维路径。”随后，多个研究机构及学者对学习进阶进行了深入的研究，如美国国家研究委员会将学习进阶界定为“对孩子们在一个较大时间跨度的学习和研究某一主题时，所遵循的连贯的、逐步深入的思维路径的描述”，又如学者马瑞特认为，学习进阶是“对某一领域由浅入深、逐步复杂的概念理解过程”。
综合各种见解，我认为，学习进阶可以理解为：它是一种学习序列，描述学生在各阶段学习同一主题内容时所遵循的连贯的、具有代表性的，且体现为由简单到复杂、由单一到综合的学习路径。这个过程有学者用如图1的模型图表示。其中，学习进阶的起点是指学生现实的知识和经验，终点则多为教育者期望学习者达成的目标（基础性目标和发展性目标）。在起点和终点两个端点之间存在的多个中间水平，主要用于描述学生对核心概念理解的达成情况及发展过程。
以数学学习为例，无论是知识体系的建构还是学科核心素养的养成，都需要以整体性、进阶眭的视角加以认识与思考。在当前课改进入“深水区”的进程中，高中已经明确将学习进阶纳入教学研究，努力寻找学科核心概念和学习进阶的路径。作为基础教育阶段的重要学科——小学数学，完全可以依照相关理论进行学习进阶的实践与研究。
一、学习进阶的缺失现象
虽然学习进阶研究对教育教学有着诸多益处，但是在我国并没有引起多少关注，反观当下教学实践，我认为小学数学教学中学习进阶主要存在如下缺失现象。
1.经验积累同级重复
数学学习中的活动经验需要积累，更需要提升。重视基本活动经验积累，要善于从整个经验序列布局，避免低水平重复。一位教师教学“圆的面积”一课，课中引导学生反思这节课有哪些收获。当学生回答说我们学会了转化思想时，她特别高兴，在黑板上大大地板书“转化思想”，并敲着黑板说，这节课我们重点学习了转化思想，这是这节课上最重要的思想方法，大家一定要记住。其实，就小学知识体系而言，转化思想在学习平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积时一直都在强调使用，而“圆的面积”一课中，最需要突出和强化的是让学生感受极限思想，教师应该在这方面多加渗透和引导。学习进阶重在发展与提升，同一知识点在不同教学阶段应有不同的阶，学生通过不同的阶的连续“攀爬”，才能达到理想的学习境界。
2.发展目标定位不当
数学进阶需要设计循序渐进的阶梯发展目标，阶的设定需要面向未来，但更要面对现实、面对真实，要设在学生的“最近发展区”内，而不能基于成人的逻辑设计发展目标。如一位教师教学“用数对确定位置”这一内容，在课的拓展阶段，引导学生研究这样的问题：“这节课，我们学习了在一个平面上确定一个点的位置与列和行两个因素有关，那大家想一想，如果这个点不在这个平面上，来到了一个立体的空间中，该怎么确定它的位置呢？在作业单上画一画、写一写。”这样的现象应引起我们的思考。对于“用数对确定位置”的教学，没有必要从平面拓展到立体。从小学知识体系来看，可以前伸，突出与一维的线段上的确定位置的对比;也可以后延，借助负数的知识渗透在直角坐标系中第二、三、四象限内确定位置的方法，而这些都在小学生能够理解的知识范围之内。拓展目标有远近之分，拓展时机有缓急之别，这意味着，对每个知识点的拓展，需要在整个拓展内容序列中加以审视，这样才能让学生在合情、合理的学习过程中“拾级而上”，生长出可持续的学习力。
3.始阶位置脱离学情
始阶位置决定了教学起点，因此，始阶位置的确定会直接影响教学的效果。如教学三下“认识小数”一课，小数概念的切入有三种代表性的设计。一是出示10枚1角硬币的图片，让学生圈出0.1元;二是出示一个正方形图片，告诉学生它表示1元，让其在图中表示出0.1元;三是出示一个正方形图片，告诉学生它表示1，让学生直接标出0.1。这三种设计中：第一种始阶过低，学生没有进阶学习的体验和过程，缺少“获得感”，耗费了宝贵的学习时间;第三种始阶过高，学生的学习经验与能力无法达到要求，无从下手;只有第二种情况，切中了学生学习的准确起点，使学习进阶成为可能。学习进阶的研究，就是要尽可能避免作为教育者“一厢情愿”的单向设计，让教踩着学的“节拍”，更好地为学习者提供服务。
二、学习进阶的教学价值
对于课程建设与课堂教學而言，学习进阶的意义在于延续了“应为学生设定怎样的学习路径”这一核心问题的探索，其教学价值体现为如下几个方面。
1.促进有效建构
“教师需要关注学习者在学习给定主题时随之带来的不完整理解、错误观念和对概念的天真解释。”数学教学非常重要的一个任务就是促进“生活数学”向“学科数学”的转变，这个转变过程就是学习进阶的过程。
例如，对于“平均数”的学习，学生的初始理解往往是“平均分”“用总数除以份数”等外在的、浅表的理解，距离“平均数表示一组数据的整体水平”“平均数既是一个数学概念，又是一个统计学概念”“平均数是一个虚拟数”等概念的本质属性尚有不小的距离。即使到了高中毕业，学生可能仍然对“平均数、中位数、众数”等统计量的学习内容存在理解不到位的现象，很难构建起关于统计量知识的完整、系统的知识体系。学习进阶过程往往不是一蹴而就的，需要经历一个或多个学习时段，有的内容的学习甚至会伴随学生许多年。如人教版教材，对三个统计量的教学目标就进行了这样的进阶设计：四下的目标为“初步认识平均数，学会求简单数据的平均数”，五下的目标为“进一步认识平均数，体会平均数在具体问题中的实际意义”，八上目标为“理解平均数、中位数、众数的概念的差异，会求不同统计图表所呈现数据和实例中的平均数、中位数和众数”。通过这样的学习进阶整体建构，使学习方向更明确，学习过程更通透，学习效果更明显。 2.促进教学连续
在日常的教学中，我们发现教材编写存在不少问题。其一，知识多而散，学生的学习无法深入。比如人教版二上“乘法口诀”这一单元，教材安排了多达6课时的教学时间。其实，如果从大概念的视角来分析，所有乘法口诀的原理都是一样的，那就是“乘法的意义”，即“求几个几的和是多少”，因此完全可以对此单元进行教学重组，把全单元划分为4课时进行教学，即“口诀的意义”、“口诀的记忆”、“口诀的应用”和“口诀的表征”。其二，不同学段课标和教材设计缺乏连贯性，学生无法实现对某些大概念的持续、连贯的概念建构。比如“认识负数”，小学阶段只设计了一个3课时的小单元就“戛然而止”，这样的编排使学生无法实现对“负数”这一大概念的持续、连贯的意义构建。
学生数学学习的过程是一个循环往复、螺旋上升的过程，是“生活数学”和“学科数学”博弈的过程。在不同的学习环境下，学生的认知可能会沿着不同的方向发展，可能会在“生活数学”与“学科数学”之间反复徘徊。因此，课程的设计应该基于学生学习过程的“大视角”，从更长远的时间跨度上关注学生对大概念的认知构建。而基于学习进阶的课程、教材设计，将能够为这种“大视角”的学习提供情境支持，使得学生在更复杂的情境下构建对于概念的更连贯、精确的理解。
3.促进教学测评
目前，教学测评在准确测评学生学习的进展方面不尽人意。一方面，因为测评的目标和方法等缺少学生学习进阶的尺度作为参照;另一方面，教师的教学决策多数是根据学生学习的外在表现做出一些粗略的预判，这种临时性的、经验型的决策与行为往往与学生真实学习状况并不相符。而学习进阶能为教学提供相对准确的教学诊断，可以帮助教师选择对学生发展最重要的知识和技能作为教学的立足点，并形成科学的研判素材来测量学生的学习进展情况。以“平均数”教学为例，我们可以基于学习进阶的理念研究，设定0-5进阶水平层级，并列出每一个学习水平中学生的预期学业表现。比如，水平0的表现为“尚无任何与平均数有关的概念”，水平1的表现为“了解平均数的名称及简单的计算”……水平5的表现为“能用统计的思想方法解决实际问题”。这些科学理性的阶的设定，为教师提供了学生发展（知识和技能）的标记，教师可以用这些标记来测评学生的学习进展，并促使学生按这种预期水平前后连贯、逐渐深入地持续学习。
三、学习进阶的教学实践策略
学习进阶与教学实践密切相关，在有效的教学策略支撑下，学习进阶才可能真正服务教学。
1.围绕大概念，进行教学重组
一般情况下，教材编写是运用“板块式”结构把教学内容进行分段编排，这种“演变式”模式使教学内容前后变化十分明显。而学习进阶意义下的数学学习应该是大概念学习，围绕大概念来组建学生的认知结构。从数学学科知识的关系来看，大概念是美国教育心理学家奥苏伯尔所说的上位知识，它位于学科知识“金字塔”的塔尖，其概括性、抽象性、包摄性最高，解释力也最强。从学生学习的角度来看，大概念好比渔网上的“纲”，只有纲举才能目张，也就是说，抓住了大概念，学科的其他知识相应的教学活动就可以被有机地组织起来。
比如，放眼整个数学知识体系，数学可分为定性描述与定量刻画两部分，而定量刻画又可分成计数与计量两类。究其计数和计量的本质，都可以纳入“度量”这一大概念序列之中（如图2）。度量（客观对象都是可被度量的）教学依据的基本方法一般是：①立标准、定单位（确定统一的标准）;②造工具、计个数（对标准逐一计数）;③简便数、构模型（依特征简便计数）。因此，包括整数、分数、小数、百分数等在内所有的计数教学，与包括周长的计算、各种几何图形面积的计算等在内的计量教学，都可以用“度量”这一大概念体系方法进行教学。
2.根据相关原理，开发教学设计
学习犹如登山，学习进阶不仅仅要解决学习者认知发展的路径，还要解决学习者在学习过程中用以“踏脚”的具体“附着点”。“阶”是一个迭代的过程，要以学情的把握与分析为重要依据。学习进阶必须基于学习者的现实的学情，而不只是基于作為教师的逻辑结构，是学习者与知识之间主客体共同作用的结果。
比如教学“认识周长”这一内容，根据学生认知的实际情况，可以设计四阶学习任务，引导学生拾级而上，渐次实现基础性目标和发展性目标。第一阶：什么是周长？举一些例子来说明。第二阶：想办法测量出课本封面和一片树叶的周长。第三阶：计算下面各图（如图3）的周长。第四阶：在方格图中画两个图形，使它们的周长相等（每小格的边长是1厘米）。
北京师范大学郭玉英教授提出：在一段时间内，学生针对某个具体概念的学习需要经历阶的“攀爬”（如图4）。“认识周长”的教学设计正是遵循了这一基本理论，使进阶学习成为可能。第一阶，在现实背景下，激活学生的生活经验，理解了“周长”的概念;第二阶，让学生围绕规则与不规则两种情况下的实物进行实际测量，掌握周长的度量方法，渗透“化曲为直”的数学思想，实现了知识与思想的关联;第三阶，引导学生研究图形的周长，掌握周长的计算方法，进一步理解度量的本质，体现大概念教学的特点;第四阶，则可以让学生进行概念理解和实际测量整合之后的系统思维，培养整体思维意识。
3.以学习进阶为参照，进行有意义的教学诊断和评价
日常的教学诊断，命题的锚点往往是依据教师的经验及知识的逻辑结构，这种单向度的认定，对为什么要考知识A而不考知识点B，各知识点在整个考评过程中的权重都没有明确的标准界定。为了克服这种现象，我们可以借鉴美国教育心理学家布鲁姆目标分类学理论，充分发挥双向细目表在教学诊断及改进中的功能，使学习进阶落到实处。在具体操作中，把认知领域设定为A、B、c、D四级学习水平，制订二维双向细目表（如表1）。双向细目表的一个维度指向具体教学知识点，另一个维度则指向学习水平，其中A指向识记，B指向理解，C指向再现性的情景应用，D指向生成性的情景应用。这样，就可以将“阶”及其表现期望嵌入教学诊断，形成有效的形成性评价，有利于教师在教学过程中进行精准的补偿性教学，依据更丰富、更合理的课堂生成性资源，发展学生的数学学习能力。
学习进阶研究在西方科学教育领域已成为一个研究热点，并且在物理、生物、化学领域取得了长足的进展，而关于数学学习进阶的研究尚在起步阶段。展望未来，我们应该思考“数学的学习进阶与其他领域的学习进阶有什么差异？”“小学学习进阶与初高中学习进阶有哪些不同的地方？”“小学数学学习进阶研究应该如何进一步科学有序地推进？”等一系列问题，将学习进阶研究推向深入。
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