真实问题情境：连接现实世界与数学世界

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　　摘要：真实问题情境是来自现实世界并蕴含着数学信息的综合问题情境。真实问题情境的实践模型包括潜入情境、超越情境、回归情境。在教学中，要通过创设真实问题情境，引领儿童从现实世界走进数学世界，经历数学知识的“再创造”，深化数学理解，积累数学化经验，促进问题解决，进而用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析和解决现实世界中的问题。
　　关键词：真实问题情境;现实世界;数学世界;小学数学教学
　　中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）07B-0067-04
　　尽管数学哲学界关于数学对象问题争论不休，但恩格斯所提出的“纯数学的对象是研究现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料”仍然是经典见解。数学是反映现实世界的，然而数学必须完全舍弃现实世界的具体内容和质的特征，以纯粹形态的量的关系和形式作为自己的对象，体现现实性与抽象性高度统一。儿童数学学习应经历从具象到抽象、从经验到理性的过程，实现现实性与抽象性的高度统一。真实问题情境是来自现实世界并蕴含着数学信息的综合问题情境，它能够引领儿童从现实世界走进数学世界，经历数学知识的“再创造”，深化数学理解，积累数学化经验，促进问题解决，进而用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析和解决现实世界中的问题。
　　一、真实问题情境的再理解
　　当前，我国的小学数学教学对情境的理解和实践存在.定偏差：有的情境中不包含数学问题，只为引起学生注意而出现在导人部分;有的情境采用稚化教学，大量使用迎合儿童的热门卡通形象，与现实世界毫无关联;有的情境单纯为了考查学生计算能力，出现了与实际情况严重不符的数据……这些情境的应用是低效的，甚至无效的，导致数学成绩很好的学生也未必能解答简单的现实问题。因此，我们应该对真实问题情境进行再理解。
　　1.以辩证视角看待情境的真实性
　　情境的真实性和熟悉度对学生开展数学研究有一定的帮助。真实问题情境会给学生带来挑战，就像他们在现实世界中遇到挑战一样。然而，这些情境不一定是真实的，也可能是根据教学需要而设定的。一般说来，数学教学中的真实问题情境具有以下特征：一是情境要有发生的可能性;二是提出的问题应该与校内外的情境相一致;三是解决方案的目的就像实际情境中一样明确;四是应用的语言（如术语、句子结构等）要与实际情境相匹配。真实的问题情境中，问题的信息和数据应该是在实际情况中可能出现的，学生能够使用在现实生活中可得到的方法解决问题，并以现实世界的标准来判断解决方案的有效性，而执行任务的环境应该模仿真实情况[1]。
　　2.以问题引领增强情境的关联性
　　美国数学家哈尔莫斯（P.R. Halmos）曾说过，“问题是数学的心脏”。在创设真实情境的数学教学中，问题是连接现实世界和数学世界的纽带。真实问题情境信息丰富，有助于形成具有思维含量的真问题，有助于形成具有关联性的问题链，也有助于学生独立发现问题、提出问题。
　　数学问题来源于人类的生产生活实践、自然科学研究和数学体系内部。针对教学任务，教师应综合考虑生活现实和数学现实，选择适宜的、包含数学问题的现实情境，除了学生个人情境、学校生活情境以外，也可以选用公共生活情境、职业情境、科学情境等，适当拓宽学生的学习半径。这样不仅能充分发挥情境对数学学习的支持作用，也能让学生认识到数学学习可以为解决现实问题服务。好的数学问题能激发学生解决问题的积极性、主动性，一般包括以下特征：切中主题，清晰明确，难度适当，新颖独特，启发性强，促进数学知识的理解和掌握，等等。
　　二、真实问题情境的实践模型
　　真实问题情境如何连接现实世界与数学世界？PISA测试框架中的数学化（建模）周期[2]（如图1）形象地做出了说明。这一建模过程可简略分为潜人情境、超越情境和回归情境三个环节。
　　1.潜入情境
　　教师创设真实问题情境，学生通过文本或图表的阅读，提取与问题相关联的数学信息，通过抽象、表征，逐步削减对现实的依赖，整合信息并用数学符号语言重新组织问题。通过这个环节，学生从现实世界“潜人”数学世界，将现实世界的话语转换为数学世界的话语。
　　2.超越情境
　　情境中的问题已转化为一个由抽象的数学对象组成的，能够进行数学处理的问题。学生已完全超越现实情境而进入数学世界内部，可以利用已有的数学知识解决数学问题，或提出有意义的假设，尝试运用创造性的方法解决数学问题。
　　3.回归情境
　　将所得的数学答案放回现实情境之中，结合实际情况判断答案是否符合实际或令人满意，反思是否还存在其他可能。
　　这个建模周期描绘了一个利用数学解决现实世界问题的理想的、简化的模型。在实际运用中，学生可能会在不同环节中来回移动，而不是按照建模周期单向发展。
　　三、真实问题情境的教学策略
　　情境的设置“对于引导学生开展数学探究起著思维定向、激发动机的作用”[3]。有关数学问题解决的研究发现，数学问题情境会影响学生的解题表现[4]。学生对可持续性问题或与生活有直接联系的现实情境更感兴趣，小数教育名家的经典课堂中有很多运用真实问题情境的精彩案例，通过他们的教学，我们能探寻出运用真实问题情境开展数学教学的基本策略。
　　1.经历“再创造”过程，深化数学理解
　　弗赖登塔尔反复强调，传统的数学教学传授的是现成的数学，是反教学法的。学习数学的唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种“再创造”的工作。真实问题情境能够激活学生已有的知识，暴露学生真实的思维水平，为教师提供了解学生思维的机会，使教师能有针对性地开展教学。
　　徐斌老师在教学“平均数”时创设了“套圈游戏”的真实情境，让所有学生当男女生比赛的“裁判”，课堂气氛热烈，学生沉浸其中。从第一轮男女生人数相等只需比较总数，到第二轮男女生人数不等不能轻易判断……比赛进行到第四轮时学生产生了认知冲突——既不能比总成绩也不能比最高分，此时学生感受到需要一个新的量来进行合理的比较。由于这个情境来源于现实世界，学生都有相同的比赛经验，因而激活了他们“再创造”的灵感。这时有学生提出，要把两队成绩平均一下，再比较平均数。徐老师立刻追问：平均数是一个什么数呢？学生各抒己见：差不多的一个数;在中间位置的数;比最多的要少一点，比最少的要多一点……学生用自己的语言表达出了平均数所具有的“集中趋势”的深刻内涵。凭借真实问题情境，徐老师润物无声，教学无痕，“学生根据自己的经验，用自己的思维方式，建构起自己的‘数学现实’”[5]。 　　2.积累数学化经验，促进问题解决
　　真实问题情境不仅能帮助学生深度建构数学知识，更能让学生有机会亲历数学化过程，把现实世界中的问题转换成能够运用已有的数学概念与方法解决的数学内部的问题，然后通过求解数学问题来解决现实世界的问题。
　　张齐华老师在教学“旧小区里的电梯安装”时引导学生提出了如何分摊电梯安装费的问题，这是一个现实问题。通过讨论，排除无关的陈述性信息，梳理出安装费36万元、共有7层14户人家等有效的数学信息。此时，现实问题转化为了“将36分为14个数的和”或“将18分为7个数的和”这样的数学问题。学生通过小组讨论，分别提出以等差数列的金额进行分摊和按比例进行分摊等方案。这些方案是学生根据数学思维、数学规则得出的，对于数学问题来说是正确的，但对于现实世界来说未必如此，还需考虑各种相关因素加以验证并权衡[6]。数学教学的本质是问题解决，这一课例的研究过程与数学化建模相符。当学生面对现实世界时，必须能够从实际问题情境中发现数学要素，通过文字、图形与符号的相互转换，进行数学建模和模型解释，否则纵使学校数学学得再好，其数学能力也将无从展现。
　　3.尝试多样化情境，提升数学素养
　　数学学科核心素养是学生在数学学习时所应达成的综合性能力，它具有综合性、阶段性和持久性的特征[7]。在数学教学中创设真实问题情境有利于发展学生的符号意识、模型思想与应用意识等核心素养[8]。在深入剖析内容本质和了解学生前概念的基础上，如果能够多样化地选取不同的真实问题情境类型，能使学生的数学素养更为全面而丰厚。具体策略包括：（1）创设数学实验的真实情境。例如，在教学“长方体和正方体的认识”时，为学生提供12根巧厘米、8根10厘米、4根8厘米的小棒，在真实的实验情境中研究“能搭出几种不同的长方体”这个问题。（2）创设数学史中的真实情境。例如，在教学“用字母表示数”时，引入毕达哥拉斯研究多边形数的真实故事，通过点子图认识平方数并进行拓展。（3）创设学校活动的真实情境。例如，在教学“复式统计表”时，以学校开展的垃圾分类绿色助学活动为背景，让学生收集可回收物，经历真实的统计活动。（4）鼓励学生自己提出含有现实情境的数学问题。在这个过程中，一方面，问题提出者需要对问题进行数学意义的建构。另一方面，他们需要对实际情境有合理的考量：一个量发生了怎样的变化？如何与其他的量发生数学意义上的相互关系？这种数学意义与实际情境的双向建构，谁能说不是一种创造呢？[9]
　　4.开发拓展性课程，丰富数学活动
　　拓展性课程是以培育学生的主体意识、完善学生的认知结构、提高学生自我规划和自主选择能力为宗旨，着眼于培养、激发和发展学生的兴趣爱好，开发学生的潜能，促进学生自主创新和研究实践能力的开放性课程[10]。拓展性课程类型多样、内容丰富，具有情境化、活动化、具身性、多元化等特征。
　　钱守旺老师在绘本《地球日，万岁》的教学中，引导学生通过绘本阅读掌握大数的读写方法和数位、计数单位等相关知识。通过对学生一周内喝饮料情况的调查统计，推算北京市小学生一年喝饮料的数量，帮助学生建立大数的数感，培养环保意识[11]。再如，不少学校开展了类似“游园课程”的数学拓展性活动课程，以现行数学教材“实境化”的整合和拓展为内容，以游园式体验活动的方式，通过游戏化实施突出数学活动的真实性体验，引导学生丰富和积累基本的活动经验。如：“走迷宫”“跳跳棋”让学生认识位置与方向，“踢球”“传接球”让学生理解基数与序数的意义，“报数排队”“找朋友”让学生认识10以内的数，等等[12]。
　　5.提供真实性问题，优化数学评价
　　史宁中教授指出：“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。”[13]纯数学情境的问题和数学化的现实情境问题是无法较好地检测学生数学素养水平的。在大力倡导核心素养的今天，学生数学知识的检测、能力水平的测评和数学素养的评价应更多地选用真实问题情境，使学生独立尝试从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型寻求结果、解决问题的过程[14]。试以以下这道题目的解答为例：
　　2017年12月29日，汽油价格年内第十一次上调。北京市92号汽油价格调至6.84元/升，按一般家用汽车油箱50升容量估测，加满一箱92号汽油比上调前多花约2.5元，则油价上调前为：
　　A.6.89元/升B.6.79元/升
　　C.7.34元/升D.6.34元/升
　　本題来源于生活实际，学生需要有一定的生活常识，比如“油价上调”“油箱容量”等，然后才能在数学阅读的基础上梳理出数学信息及其数量关系，再根据情境的实际意义建立求解模型。这与通常所见的模式化习题相比，具有更大的挑战性，也更能测评学生是否真正掌握解决实际问题的能力。
　　数学知识来源于生活又超越生活，学生未来日常生活中遇到的数学问题，几乎都是非常规的数学问题。在小学数学的教学中运用真实问题情境连接现实世界和数学世界，能有效激发学生的学习动机，使学生有机会经历问题解决的全过程，提高问题解决能力，提升数学核心素养。
　　参考文献：
　　[1][2]Kaye Stacey，Ross Turner.数学素养的测评：走进PISA测试[M].曹一鸣，等译.北京：教育科学出版社，2017：78，62.
　　[3]吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2001（4）：10.
　　[4]Verschaffel L.Taking the modeling perspective seriously at theelementary school level：promises and pitfalls[R].Proceedings of the26th annual conference of the international group for the psychology ofmathematics education，Vol 1，U.K：Norwich，2002：67.
　　[5]徐利治，郑毓信.现代教育工作者值得重视的几个概念[J].数学通报，1995（9）：3.
　　[6]张齐华.“旧小区里的电梯安装”教学实录[J].小学教学（数学版），2019（6）：25-29.
　　[7]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）：38.
　　[8]金轩竹，马云鹏.小学数学教学中真实情境的理解与设计策略[J].课程教学研究，2018（9）：71.
　　[9]于文华，蔡金法，刘美玲，等.美国小学数学教学中的问题提出及启示——以West Park Place Elementary School为例[J].数学教育学报，2018（5）：64.
　　[10]刘延革，耿子文.基于核心素养培育下的拓展型课程概述[J].小学教学研究（教学版），2018（12）：55.
　　[11]钱守旺，李艳萍.通过绘本对接真实生活——《地球日，万岁》绘本教学案例[J].小学教学（数学版），2019（7-8）：140-143.
　　[12]潘旭东，丁秀红.小学低年级数学“游园课程”的开发与实践[J].课程·教材·教法，2019（6）：100-106.
　　[13]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016：前言2.
　　[14]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.
　　责任编辑：杨孝如
　　本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“基于发展关键能力的小学数学核心内容教学设计研究”（B-b/2018102/07）的研究成果。
　　收稿日期：2020-04-13
　　作者简介：仲秋月，苏州工业园区东延路实验学校（江苏苏州，215123）科研处主任，教育硕士，苏州市学科带头人，高级教师，苏州市小学数学兼职教研员。
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