用替换等价无穷小量求极限
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摘要：运用好等价无穷小量的性质，在求极限的运算中，可起到罗比塔法则所不能取代的作用。本文通过实例的对比，反映用替换等价无穷小量与罗比塔法则求极限的优劣，以及使用等价无穷小量替换所具备的条件，避免出现错误地应用等价无穷小量。
关键词：等价无穷小量极限罗比塔法则
Abstract
It is one of the important methods in Calculus to ask limits about replacing the Equivalent Infinitely Small Quantity. Based on the examples, this paper introduces the advantage of the replacement of same value infinitesimal and the disadvantage of Hospital Rule in calculating limit. In order to avoid making mistakes, the author presents the requirement of making use of the replacement of same value infinitesimal.
Key Words: Equivalent Infinitely Small Quantity, Limits, Hospital Rule
等价无穷小量概念是数学分析中最基本的概念之一，但在数学分析中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。实际上，等价无穷小量具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，在求极限的运算过程中，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。
一、等价无穷小量的性质：
设 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，则：
性质1：若 ， 且 存在，则 ；
性质2：若 则 ；
性质（1）表明等价无穷小量的商的极限求法；性质（2）表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
性质3：若且 ，则 ；
性质4：若且 存在，则当
且存在，有 。
注1：性质3、4在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。
注2：使用中要注意性质3、4的条件“ ”、“ ”。
二、替换等价无穷小量的例题：
常用的等价无穷小量有：
例题1：
解法一：原式= （罗比塔法则）
解法二：原式= （这里 ）
例题2：
解法一：原式= （罗比塔法则）
解法二：原式= （这里 ）
讲评1：通过对比显然用替换等价无穷小量的方法比直接用罗比塔法则方便得多。
例题3：
解法一：原式=
= （罗比塔法则）
解法二：原式=(这里 )
解法三：原式= （这里 ）
讲评2：解法三错误，原因是不满足性质4的条件，因此不能直接替换。
例题4：
解法一：原式=
= ……
（罗比塔法则）
解法二：原式=
=
= （这里 ）
= （这里 ）
解法三：原式=
= （这里 ）
= （罗比塔法则）
= （这里 ）
讲评3：解法一表明单纯使用罗比塔法则、越做越繁、此路不通；解法二错误，错在 （这里 根据性质3： 并不等价于 ）；解法三表明尽管罗比塔法则是求极限的一个有力工具，但并不能解决所有问题，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。
例题5：
解法一：原式=
=
= ……（罗比塔法则）
解法二：原式= （这里 ）
讲评4：此题用罗比塔法则解，出现循环，且没有结果；用替换等价无穷小的方法能很轻松得出。
3 、综合评论：
通过对上述几条例题的分析可以得出以下几点认识，在求极限中：
（1）罗比塔法则既不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性；
（2）用替换等价无穷小量的方法不仅大大的简化了计算量，还解决了罗比塔法则有时处理不了的问题；
（3）在使用替换等价无穷小量的方法时，要充分地掌握好等价无穷小量的四条性质，特别注意性质3、性质4所需满足的条件，避免产生使用不当带来的错误结论。
参考文献：
1、刘玉琏，主编，数学分析讲义，第四版，北京，高等教育出版社，2003，7（6）：102～105；
2、杨文泰，等价无穷小量代换定理的推广，甘肃高师学报，2005，10（2）：11～13；
3、 王斌，用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨，.黔西南民族师专学报，2001，12（4）
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