突破数列应用题的难点

来源:用户上传      作者: 罗小林

　　数列是高中数学的重要内容，数列应用题是数列的一个重要组成部分，是近几年高考常见的考点之一.数列应用题通常以实际问题为背景，以数学建模为核心，以求解问题为目标，重点考查学生的数列知识和分析问题与解决问题的能力.数列应用题在高考中的实际情境早已多元化，往往涉及社会生活中的各个方面，学生需要了解生活中的各种现象和常识.
　　
　　
　　例1 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为
　　A.（1）和（20） B.（9）和（10）
　　C.（1）和（11） D.（10）和（11）
　　米.所以路程总和最小为2 000米.选D.
　　例2 某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元；从第7年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.
　　例3 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房.
　　（1）分别写出第1年年末和第2年年末的实际住房面积的表达式.
　　（2）如果第5年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，那么每年拆除的旧住房的面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
　　解 （1）第1年新建住房面积为0.1a，减少面积为b，则第1年年末的住房面积为a+0.1a-b，即1.1a-b（m2）.第2年新建住房面积为（1.1a-b）×0.1，减少面积为b，则第2年年末的住房面积为（1.1a-b）+（1.1a-b）×0.1-b＝（1.1a-b）×1.1-b＝1.12a-2.1b，即1.21a-2.1b（m2）.
　　（2）由（1）可知，第2年年末的住房面积为1.21a-2.1b，即1.12a-（1.1+1）b（m2），则第3年新建的住房面积为[1.12a-（1.1+1）b]×0.1，减少面积为b，所以第3年年末的住房面积为[1.12a-（1.1+1）b]+[1.12a-（1.1+1）b]×0.1-b=1.13a-（1.12+1.1+1）b（m2）；第4年新建的住房面积为[1.13a-（1.12+1.1+1）b]×0.1，
　　
　　在求解高考数列应用题时，关键是分析实际问题的背景与数列知识之间的关系.求解数列应用题通常的步骤是：①需要认真、仔细地阅读背景材料，找出背景材料的关键词；②从关键词中找出所问的问题是涉及哪些数列知识；③根据所学的数列知识建立实际问题的数学模型；④用所学的数列知识求解该数学模型；⑤检验所求解的解是否满足实际应用题.求解数列应用题，还需要同学们熟记等差数列的通项公式与前n项和公式、等比数列的通项公式与前n项和公式，熟悉递推数列和周期数列，会用裂项法、分组法、错位相减法等求数列的前n项和.
　　（责任编校/周峰）

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