数学建模思想融入下的民办院校线性代数课程教学改革研究
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[摘 要] 通过对民办院校线性代数课程的教学实况进行分析，反思当前的线性代数教学方法，进而得出将数学建模思想融入线性代数教学的必需性，并给出了将数学建模思想融入线性代数教学过程的方法。
[关 键 词] 数学建模;线性代数;教学改革
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）04-0206-02
一、民办院校线性代数课程的教学实况
线性代数是我国高等院校一门尤为重要的基础理论课，它在培养学生逻辑思维能力、抽象问题及实际问题的解决能力等方面有着尤为重要的作用。但大多线性代数教材仅仅注重知识的传授，且将理论知识逻辑推导都介绍得非常非常的详尽细致，但却极度缺少线性代数知识在解决实际问题的例子。与之对应的，大多民办院校的线性代数教学也是以理论性教学为主，课堂上几乎都是数学知识的传授及其逻辑推理，这样的教学方法使学生在学习时只是机械、枯燥地计算，很难和知识的实际应用结合起来，导致学生认为该门课程没有用，只是为完成学分而学，不考研根本用不上。为改变这种教学状态，极需对现在的线性代数课程进行教学改革[1-4]。
数学模型是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题的本质属性进行抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。
大多数学建模试题都取材于生活实际，例如：一个企业要生产一种新的产品，应考虑如何计划生产才能以最小的投入获取最大的利润。要解决此类问题，就要用到线性代数的相关知识，这种与生活及日后工作密切相关的问题能够引起学生学习的兴趣。通过对这种用线性代数知识解决实际问题例子的讲解，可以使学生更容易体会到线性代数知识在解决实际问题中的用途。这样不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也可以消除数学知识无用的观点。因此，将数学建模的思想引入线性代数课程的日常学习中就显得非常有必要。
所以为了弥补传统线性代数知识学习的乏味，提高学生学习线性代数的积极性，培养学生利用数学相关知识解决实际问题的能力以便更快、更好地适应社会，我们有必要将数学建模的思想贯彻到线性代数知识的日常学习中。
二、数学建模思想融入线性代数的教学过程
（一）把数学建模思想融入线性代数定义的讲解中
线性代数课程所涉及的很多定义，都是对现实生活中一些实际的问题进行归纳和概括得来的。因此，对这些定义进行讲解时，可以借助历史背景以及其在生活实际中的应用等对其归纳和概括的过程进行分析，引导学生感知定义得出的整个过程，使学生认识到数学源于生活，逐步树立数学建模思想，养成观察生活的习惯，更好地利用数学知识去解决生活实际问题。比如，在求解空间多面体模型体积的过程中可以借鉴他人的求解过程，从平行四边形和空间六面体体积出发，得到2阶和3 阶行列式的基本公式，从而引起学生对定义和公式的推导兴趣。在有了模型的前提下，就有了实际应用的背景，学生在学习过程中的目的性也会更加明确[5]。
线性相关性是线性代数课程中的核心定义，深刻理解和掌握这两个定义对整个线性代数知识的学习都尤为重要。然而向量组的线性相关、线性无关理论较抽象，我们可以利用数学模型来帮助学生理解这组定义。
例：在化工、医药等方面都常常会遇到调配问题。比如：某种组合材料由四种原料混合而成。但是该组合材料现仅有两种不同规格，且四种原料的组合比例分别2∶3∶3∶4和1∶2∶1∶3。但是现在需要四种原料的比例为8∶7∶3∶5的另一种规格的材料。 问：第三种规格的组合材料料能否由前两种规格的组合材料按一定比例组合配制而成[6]？
假设种成分之间不会发生某些化学反应，则材料配比问题可以用向量来建模。假设前两种规格的材料分装成袋，比如说第一种规格的材料每袋净重12g（其中四种原料分别为2g、3g、3g、4g），第二种规格的材料每袋净重7g（其中四种原料分别为1g、2g、1g、3g）。
根据已知数据和上述假设，可以进一步假设将x袋第一种规格的材料与y袋第二种规格的材料混合在一起，得到的混合物中四种原料分别为8g、7g、3g、5g，则有以下的关系，实际是討论向量α，β，γ是否线性相关，进一步讨论γ能否由α，β线性表示。
xa+yβ=γ？圳x2334+y1213=8735.
（二）把数学建模思想融入线性代数例题的讲解中
在例题讲解过程中融入数学建模思想，无论对教师讲解还是学生理解都是非常有帮助的，在理论知识的讲解过程中引入一些现实中的相关问题，教师通过自己的讲解引导学生主动去分析，在分析过程中可以提出假设，在验证假设合理之后建立相应的数学模型，这不仅是对问题的一个求解过程，更是处理现实问题的一种有效手段。此种解决问题方法的运用能使学生明确感受到在对现实问题的解决过程中线性代数的重要作用。
特征值问题是线性代数中比较抽象难懂的，一般教科书都是从矩阵对角化等抽象问题来引进，我们通过实例让学生进一步理解矩阵对角化的应用。比如：讲授矩阵的对角化时引入数学模型案例——对城乡人口流动作年度调查，发现居民有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁出。现在总人口的60%位于城镇。假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇的人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？
例[7]：在讲解矩阵乘法和逆矩阵知识时可以给学生讲解密码问题如下：
把A、B…等26个大写英语字母与数字1、2、3、…、26建立1-1对应即：A-1，B-2，C-3，…，Z-26。想要发送信息PERFECT，按照编码规则，只需发送16、5、18、6、5、3、20共7个代码即可。接收信息的人根据编码规则，就可以译出发送过来的信息。但是，这种做法信息的安全性不高，很容易被破译。这样，我们可以利用矩阵乘法和逆矩阵对所要传送的消息进行加密。例如，按编码规则，发送信息GOOD。
首先将要发送的信息按照接收到的顺序两两组合，则据编码规则，每组字母都对应一个列向量，即（G，O）T=（7，15）T，（O，D）T=（15，4）T;
其次取一个2×2的可逆阵，若取A=2 11 1，其逆阵为：A-1=1 -1-1 2。
下面用矩阵A左乘每一个列向量：A（G，O）T=2 11 1715=2922，A（G，O）T=2 11 1154=3419。
因此只需发送代码：29、22、34、19即可。而接受信息的人只需将接收到的信息按照接收的顺序两两组成一个列向量，再分别左乘A-1即可还原信息：A-1=2922=1 -1-1 22922=715，A-13419=1 -1-1 23419=154;
最后根据编码规则，即可还原为发送的真实信息为：GOOD。
通過线性代数知识与实际应用的结合来讲解线性代数例题，可以使学生更加容易看到、体会到线性代数知识在解决实际问题中的用途，从而提高学生学习线性代数知识的热情和兴趣，进而消除学生头脑中学习数学知识除了锻炼思维而无其他用途的观点。
（三）把数学建模思想融入线性代数课后的练习中
民办院校线性代数教学内容侧重于理论及机械的运算，大多数的课后习题只是为巩固基础知识和运算技巧而设置的，对线性代数知识的实际应用问题基本上没有涉及，学生的实际应用训练不够，致使学生产生学习数学知识无用论，因此适当地补充一些简单的线性代数建模习题是非常有必要的，这样既可让学生进一步理解和巩固所学知识，也可让学生把所学的知识与数学建模思想方法相结合起来解决实际问题、学以致用。
参考文献：
[1]孙玉泉.关于工科数学教学与专业培养融合的探索[C]//大学数学课程报告论坛组委会.大学数学课程报告论坛论文集2011.北京：高等教育出版社，2011：1-4.
[2]李继成.线性代数与空间解析几何课程全面改革的思考[J].大学数学，2010，26（2）：7-10.
[3]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.
[4]李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化，2004（1）：30-33.
[5]睢音.试析如何在线性代数教学中融入数学建模思想[J].吉林省教育学院学报，2014（3）：60-61.
[6]朱婧，胡志兴，刘正.线性代数教学中融入数学建模思想的探索[J].2014（4）.
[7]鲁鑫.数学建模在应用型本科“线性代数”教学中的应用探索[J].宿州教育学院学报，2017（3）：148-149.
编辑 马燕萍
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