高等代数课程中抽象思维及方法论教学探讨

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　　摘要：高等代数课程注重抽象思维的训练，同时也注重数学方法的运用。本文以特定内容探讨抽象思维与数学方法在高等代数课程中的教学。具体而言，一方面以一些代数基本概念的渐次演变来探讨抽象思维的教学，另一方面，以化二次型为标准形的几种典型与非典型方法来探讨数学方法的教学。
　　关键词：高等代数;抽象思维;方法论
　　doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.05.023
　　中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-1580（2019）05-0095-04
　　一、前言
　　高等代数是高等院校本科数学专业最重要的基础课程之一。该课程在国内大多数教材中通常包含以下主要教学单元：多项式理论，行列式理论，线性方程组理论，矩阵理论，二次型理论，线性空间理论，线性变换理论，欧式空间理论以及若当标准型理论及双线性代数理论。大多数教材都是穿插安排数学方法与计算及代数概念的抽象及逻辑思维训练。在席南华院士著的教材《基础代数》中，讲解的内容更加系统和深入，该教材第一卷侧重数学方法与计算，第一卷的第五章及第二卷侧重代数概念的抽象及逻辑思维训练。
　　在高等代数主要教学单元中，有的侧重抽象思维及逻辑思维训练，比如：多项式理论中的基础概念引入部分蕴含着域、环、群的渐次抽象，线性方程组理论中线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等核心概念的叙述，线性空间理论中线性空间概念八条公理的结构性展示，欧式空间中欧式空间概念四条公理的几何化引入。本文将以域、环、群的渐次抽象演变来探讨高等代数课程中代数概念的抽象思维的教学。
　　高等代数课程教学还强调数学方法与计算。比如：多项式理论中带余除法及辗转相除法的计算，行列式计算中常用计算方法及特殊行列式的计算技巧，二次型理论中化二次型为标准形的三种典型方法，线性变换理论与矩阵理论中线性变换与矩阵的对应关系。大多数教材都包括化二次型为标准形的三种典型方法：配方法、合同变换法、正交相似对角化法。此外，还有一些非典型方法，比如雅克比法、偏导数法等。本文还将以高等代数课程中化二次型为标准形的典型与非典型方法来探讨数学方法的教学。
　　二、抽象思维的教学探讨
　　本节将以域、环、群的渐次抽象演变来探讨高等代数课程中代数概念的抽象思维的教学。在多项式理论引入基础概念时蕴含着域、环、群的渐次抽象。在席南华院士所著的教材《基础代数》第一卷中，专门有第五章进行了讲解。
　　（一）常见数集四则运算表
　　以下我们用字母N、Z、Q、R、C分别表示中学阶段学过的自然数集（含数字O）、整数集、有理数集、实数集、复数集。考虑这些集合对四则运算的封闭性，用符号F及BF分别表示四则运算的封闭与否，很容易得出表1。
　　（二）第一次抽象
　　观察上述表格，关注数集对四则运算的封闭性。可以看出，有理数集、实数集、复数集对于加、减、乘、除均是封闭的，并且在这三个数集中都含有数字0和1。由此，给大一新生讲解数域概念时，可以自然地称满足这样特点的数集就为“数域”。同样地，可以看出整数集除了除法运算都是封闭的，并且也含有数字0和1，可以自然地称满足这样特点的数集就为“数环”。这样就容易让学生从中学熟悉的知识过渡到大学知识。这也让学生们更容易理解，为什么在高中时就经常听老师说有理数域、实数域、复数域了，原因是它们确实是数域。当然，进行概念的抽象时，我们还应关注新的概念是否包含非平凡的例子。事實上，我们可以构造如下的集合。
　　从数域的定义，我们知道复数域是最大的数域，且容易证明有理数域是最小的数域，而实数域是介于有理数域与复数域之间的常见数域。上述例1就是一个介于有理数域与复数域之间的且不同于实数域的非平凡的例子，常称为高斯数域。同样道理，上述例2是一个不同于整数环的例子，常称为高斯整环。
　　（三）第二次抽象
　　在第一次抽象的基础上，关注运算律及特殊元的存在性。我们注意到，数域有两种运算，一种是加法“+”，另一种是乘法“×”，加法满足结合律，交换律、含有数字0，每个数相对于加法存在负数，乘法满足结合律、交换律，含有数字1，每个非零数相对于乘法存在倒数，此外，乘法对加法满足分配律。将上述特点抽象出来就可以给出下述一般域的定义，去掉了“数”这个定语。
　　上述例3是最简单而又最重要的有限Galois域，其在密码编码学中具有重要的应用。日常生活中也常见其身影，比如计算机处理数据使用的二进制，还比如全世界都在使用的星期计时用的七进制。上述例4是高等代数教学中需要重点讲解的，在整个高等代数理论中起着重要作用的数学工具。
　　（四）第三次抽象
　　在第二次抽象的基础上，关注运算名称，我们注意到域的两种运算均满足相同的运算律，均含有平行的特殊元（如加法零元与乘法幺元，加法负元与乘法逆元）。将这些共性抽象出来就可以得到群的概念：群含有一种运算，常称为乘法“·”，此运算封闭，且满足结合律，含有单位元，每个元都有逆元。进一步，如果要求群运算满足交换律就称为交换群，即Abel群。另外，如果不要求逆元的存在性，就抽象出了半群的定义。在这一层次，我们可观察下面的例子。
　　上述例5称为4阶二面体群，其可看成保持正方形不变的2个旋转（顺时针旋转90度，逆时针旋转90度）和2个反射（上下反射，左右反射）所组成的非交换群。上述例6是最简单的半群，也就是说，从幼儿园时期，老师家长就在口口相传的1加1等于2这些口诀，实际上是最基本的代数单元：半群。
　　（五）抽象思维的教学注意点
　　从上述三次具体的抽象过程可以看出，教师在实际教学过程中，对于抽象概念的讲解引入应当注重：1.由浅入深，由学生熟悉的知识逐渐过渡到新的概念;2.抽象过程应当引导学生在一定程度上抓住原始概念某些方面的本质，并赋予“新的”具有代表性的名称;3.抽象过程应当是真正意义上的抽象，而不能仅仅是换个名称，应当举出实例让学生明白，这一过程确实进行了抽象，确实包含了原始概念不能覆盖的情形，从而将多个概念放到一个更大的框架下进行认识，提升学生的认识问题的深度。 　　三、数学方法的教学探讨
　　本节以高等代数课程中化二次型为标准形的典型与非典型方法来探讨数学方法的教学。化二次型为标准形的典型方法包括：配方法、合同变换法、正交相似对角化法。常见的非典型方法有雅克比法、偏导数法等。
　　（一）典型方法概述
　　二次型的本质是二次齐次多项式，在实际教学中反复强调这一本质很重要，否则，学生容易因出现新名词而产生困惑。标准形的本质是只含平方项的二次齐次多项式。因而化二次型为标准形，就是要将二次齐次多项式化为只含平方项的形式。而二次齐次二元多项式对应的函数方程，从几何上看就是高中阶段学生非常熟悉的双曲线或者椭圆。上述化标准形的过程对应的就是如何将双曲线或者椭圆“挪到”标准坐标系上。这可以视作二元二次型化标准形的几何意义。
　　在多数教材中，都有一个化二次型为标准形的定性证明，其证明过程蕴含着配方法。其基本思路是如何恰当地凑出完全平方，这是中学阶段学生都已掌握的技巧。但教学中需要让学生注意以下三点：一是每步的变量要全部凑完，不能遗漏;二是每步要恰如其分，保证变换的非退化性;三是二次型没有平方项时，要会利用平方差公式“变出”平方项来。
　　第二种典型的化二次型为标准形的方法是从矩阵的角度来理解的。首先要注意到一个重要的对应关系：二次型与对称阵是对应的，标准形与对角阵是对应的。因而，化二次型为标准形的过程就是将对称矩阵化为对角矩阵的过程。而根据非退化线性替换的矩阵形式可以推导出，上述对称阵与对角阵是合同的。由此，将二次型f（A）=XTAX化为标准形g（D）=TTDY有如下直观的合同变换法：
　　这里作一次合同变换指的是对A作一次初等行变换，同时对上式整个左侧作一次相同的列变换，直到将A的位置变换为对角阵D，就得到了想要的标准形对应的对角矩阵，而且所作的非退化线性替换就是X=Cy。
　　最后一种化二次型为标准形的典型方法是正交相似对角化法，这种方法是对于实对称矩阵而言的。与合同变换法不同，这一“实”的限制，使得变换前后的两个矩阵不仅具有合同关系，还具有相似关系，而且非退化线性替换矩阵是正交阵。因而，可以利用相似对角化的方法，先将对称阵相似对角化，然后利用施密特正交化方法，将其修正为正交相似对角化即可。
　　（二）非典型方法举例
　　（三）不同方法的教学注意点
　　在大多数教材中，对于上述三种典型的化二次型为标准型的方法都有提及。在实际教学过程中，应当注意以下几点。1.讲授配方法时，学生理解起来一般应该比较容易接受，因为此时的配方过程，学生在中学阶段应该都已比较熟悉，仅需强调一些注意的地方即可。比如：配方时，对于选定的变量，应该“完全配方”完，这样才能保证可归纳到更低元的二次型化标准型问题。另外，还应注意，有的学生往往会进行同时配平方，教师应该强调这种方法不是不可以，但要保证所作的仍然是非退化线性替换，即要做必要的验证。2.讲授合同变换法时，进行上文提及的扩充矩阵的写法，应当用板书详细写出，这有利于学生对前面所学的初等变换知识进行巩固。进一步，可将此思想进行推广，即在矩阵的右侧再扩充一个单位矩阵（当然下方也再扩充一个零矩阵），然后再作上述合同变换，这样不仅得到非退化线性替换对应的矩阵，还得到了此矩阵的逆，从而得到了明确的新旧矩阵的合同关系。另外，对于这两种方法，不妨给学生讲解（或者启发学生自己总结出）其流程图，并可以让学有余力的学生试着用计算机软件创建程序，从而实现这样的流程。3对于正交相似对角化法，要对学生特别强调其使用条件，即必须是对于实对称矩阵才可使用。当然，还应该指出，正交矩阵的不唯一性，但正交矩阵与标准型的平方项具有某种一致性。4.对于非典型方法，一般教材并没有提及，可作为补充材料给学生讲解。但同时也要指出方法的局限性，比如雅克比法僅适用于所有矩阵的顺序主子式均不为零的对称矩阵。而偏导数法不失为提升学生学习兴趣的好方法，因为此种方法综合了高等代数和数学分析两门重要的数学基础课的知识，对于学生两方面知识的掌握都具有良好的促进作用，也开阔了学生的视野。
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