浅谈“对等”概念的产生发展在实变函数教学中的作用

来源:用户上传      作者:

　　【摘要】本文介绍了“对等”概念产生的历史过程，然后结合作者从事实变函数教学经验，阐述了把数学史融入实变函数教学中的重要作用。
　　【关键词】对等 数学史 实变函数
　　【基金项目】关于数学与应用数学专业应用型人才培养模式的研究，钦州学院教改项目（2016QYJGA22）；服务于应用型人才培养模式的应用统计软件教学改革与实践，钦州学院教改项目（2015QYJGB13）；基于曙光“数据中国”平台校企协同育人的研究与实践，2017年广西高等教育教学改革工程项目（2017JGZ157）。
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）25-0154-02
　　19世纪末，法国数学家勒贝格创立实变函数理论，它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点。该门课程有助于大学生加深对数学分析知识的理解、深化对近代分析学的认识。同时，实变函数也被列为数学系最难的专业课，很多数学系学生觉得实变函数理论太抽象，难以理解勒贝格积分的建立过程，这使得我们在教授这门课程中面临很多困难。对于如何让学生深入地理解实变函数的精髓所在，激发学生学习实变函数的兴趣，许多高校数学教师也都尝试以各种方式来改善实变函数的教学，在文献[1]、[2]、[3]中作者就实变函数发展史在教学中的应用做了有益的探索。受到文献[1-9]的启发，在本文中，我们从实变函数课程中一个基本概念“对等”出发，详细阐述这个概念的产生、发展及其蕴含的数学思想，以期达到优化课堂教学效果的目的。
　　一、“对等”概念的产生
　　“对等”是实变函数中一个简单的概念，我们定义对于两个非空集合A和B，若存在双射f：A→B，那么集合A和B对等。这个概念产生的直接动机就是计算集合里面元素的个数，在人类社会的最初阶段，原始人为了计算捕获到猎物的多少，就使用结绳、刻痕的方法计数，早期的罗马人利用手指计数。这些生动的例子已是数码的雏形，它标志着“数”已从各种具体的事物中抽象了出来，并把具体的事物跟这些数码做了一个简单的“对等”。这应该是人类对“对等”这个概念最早期的认识，但这些最朴素的认识是人类对数学认识的一大进步。现在我们再把上面例子抽象一下，不管是结绳计数，还是用手指计数，这里涉及到一个非空有限集合的问题，而非空有限集合的特征就是具有一个标志其元素个数的正整数，而确定非空有限集合中元素个数的方法就是把集合中的元素一个一个的数出来。这样有限集合就和正整数列的某一截段一一对应起来，最后对应的正整数就是有限集合所含元素的个数。
　　二、“对等”用来计数无穷大的数字
　　上面我们谈了有限个事物和数码对等的问题，但是“对等”真正的作用是用来处理无穷大的数字的计数问题。其实早在16世纪，意大利科学家伽利略就曾研究过无穷大的数字的计数问题，当时他在比较正整数集合{1，2，3…}和正整数的平方数集合{1，4，9…}大小问题，正整数的平方还是正整数，所以正整数集合显然包含正整数的平方数集合，但是每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，这样正整数的平方数集合又包含正整数集合，所以最后的结果理应是两个集合所含元素的个数是相等的。但是这个结果与当时人们的认识产生了矛盾，整体和局部怎么能一样大呢？伽利略也困惑这个问题，最后得出无限集合是无法比较大小的。我们现在暂且不论当时伽利略得出结论的对错，他在解决这个问题的过程中已经无意识的用到“对等”这个概念，而从另一方面我们也看出，无限集合迥异于有限集合，我们不能用看待有限集合的眼光来看待无限集合。
　　20世纪初，德国著名数学家希尔伯特通过一个实际生活中的例子来研究无限集合：我們设想有一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！当我们认真研读这个故事，你就会发现，我们可以把全部房间所构成的集合和偶数号房间所构成的集合恰好做一个“对等”：
　　在这个表中，每一个自然数都和一个正偶数相对应，但这和你的直觉不太一致，直觉告诉你自然数是包含所有正偶数的，自然数的数目应该比正偶数的数目要多才对啊？但上述的这个表告诉了你直觉并不可靠，按照上述表中比较无穷大数的规则，自然数和正偶数的数目是相同的。这个结论看起来有些不可思议，但是不要忘记我们是和无穷大数打交道，在无穷大的世界里，部分可能等于全部！
　　德国另一位伟大的数学家乔治·康托认为无穷集合是可以和无穷集合的子集“对等”，而且可以利用“对等”来研究无穷集合的大小，并由此创立了集合论，彻底解决无限集合计数问题，为实变函数理论的建立打下了坚实的基础。康托抛弃了一切经验和直观，用彻底的理性来论证，揭示了无穷集合之间的大小差异。
　　三、“对等”概念在实变函数课程中应用实例
　　康托集合论里面的一个重要定理就是证明了“实数集是不可数集合”，下面我们分析下康托如何利用“对等”概念解决这个问题的。
　　实数集R通过函数y=tan（πx-）和（0，1）“对等”，利用“对等”的传递性质，我们只需证明（0，1）是不可数集合，下面利用反证法，假设（0，1）是可数集合，即（0，1）和自然数N“对等”，
　　a（1）=0.a1（1）a2（1）a3（1）… a（2）=0.a1（2）a2（2）a3（2）… a（3）=0.a1（3）a2（3）a3（3）…
　　其中（0，1）之间小数都是正规表示。
　　下面康托构造了一个位于（0，1）之间小数a=0.a1a2a3…，其中a1是不同于a（1）中的第一个数字，a2是不同于a（2）中的第二个数字，以此类推，康托所构造的a是一个新的位于（0，1）之间小数，并且不同于上述表中a（i），i=1，2…，这样就得到一个矛盾，没有自然数与a对应，证明结束。
　　从证明过程可以看出，康托利用“对等”的方法来解决上面问题。但是把“对等”的方法引入到集合理论来，产生了很多悖论，这就遭到那些坚持传统观念人士的强烈反对，但正是这些悖论的产生，直接推动了集合论的发展，从而为勒贝格积分的产生发展奠定了坚实的理论基础。而且从勒贝格积分的产生过程也可以看出，正是当时出现了一些黎曼积分处理不了的问题，才推动科学家们不断地探索新的方法，以突破现有的知识体系，获得一些新的理论去处理问题，但是这个过程充满了曲折。
　　四、结束语
　　我们在讲授集合论时，如果能够把上述有限集合和无限集合计数问题的产生发展讲给学生听的话，无疑能增强他们的学习兴趣，把学生从枯燥的理论学习中解脱出来。同时还可以让同学们感受到数学哲学的魅力，理解科学发展的一般规律，领会当时人们解决问题的思想方法和思路，感受科学家在建立一门科学时所付出的努力甚至牺牲。随着高等教育的大众化以及一些高校转型应用型大学，我们希望通过在实变函数教学中渗透数学史，让学生加深对数学思想、数学方法的体会和理解，让数学的思维方法、推理方法和看问题的着眼点深深铭刻在其心中，以期对他们以后的生活工作起到一些帮助。
　　参考文献：
　　[1]宋文，胡艳红.在实变函数教学中渗透数学思想史的体会[J].继续教育研究，2012，（5）.
　　[2]黄朝军.实变函数课程内容脉流的认识[J].凯里学院学报，2015，（12）.
　　[3]贾利东，王慧，李权.数学史融入实变函数教学中的探究[J].河套学院学报，2016，（12）.
　　[4]徐西安.改进实变函数教学的一些方法[J].山东教育学院学报，2006，（4）.
　　[5]高文华，郭继东.实变函数教学中的几点体会[J].伊犁师范学院学报，2007，（2）.
　　[6]倪仁兴.浅议实变函数与数学分析间的联系[J].绍兴文理学院学报，2001，（3）.
　　[7]邓东皋，常心怡.为什么要学习勒贝格积分[J].高等数学研究，2006，（4）.
　　[8]程其襄，张奠宙，魏国强.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.
　　[9]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2001.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14916563.htm