关于梁的弯曲中若干公式的分类讨论①
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摘 要：梁的弯曲在工程结构中有着广泛的应用，一些基本公式如弯矩与内力的合力偶矩间关系、弯曲正应力与弯矩间关系、轴向应变与曲率间关系、挠曲轴微分方程、弯曲应力或轴向应变与挠度间关系等，往往会受到若干量的正方向规定之影响。教学中发现，学生们对基本公式的正负号时常会弄混。不同研究文献中对这些公式也使用着不同的表达形式，通常是相差一个负号。然而，何种情况下使用何种表达形式，或者所使用的表达式对应于何种正方向规定，在有些文献中缺乏清晰的说明。本文针对这个问题开展具体的分类讨论和总结，以期为梁的弯曲中基本表达式的使用提供明确的参考。
关键词：梁的弯曲 正应力 弯矩 挠度 曲率
中图分类号：O33 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）09（b）-0231-04
Abstract： The bending of beams is widely applied in engineering structures. Some basic formulas are often influenced by the positive directions of various quantities， such as the relationship between bending moment and resultant moment of internal force， the relationship between bending normal stress and bending moment， the relationship between axial strain and curvature， the differential equation of deflection curve， the relationship between normal stress or axial strain and deflection. It is found in teaching that students often confuse the positive and negative signs of basic formulas. These formulas were expressed differently in previous literatures， usually with a positive or negative sign. However， there is a lack of clear explanation in some literatures about which kind of expressions should be used in certain situations， or what the positive directions are corresponding to the formulas used. This paper carries out a specific classification and discussion， in order to summarize the differences and commonalities， and provide a clear reference for the application of the basic formulas in the bending of beams.
Key Words： Bending of beams; Normal stress; Bending moment; Deflection; Curvature
梁的彎曲是材料力学课程中的重要教学内容，一般包括弯曲内力、弯曲应力和弯曲变形三大部分[1-4]。在一些国内外现行的材料力学教材中，有的规定弯曲应力中横向坐标（以y坐标表示）以向下为正，而弯曲变形中挠度（以w表示）以向上为正[1-2];有的规定横向坐标和弯曲挠度均向下为正[3]，还有的规定横向坐标和弯曲挠度均向上为正[4]，等。正方向规定的不同使得前后两部分的公式推导特别在正负符号方面衔接不自然且易产生混淆。另外，不同的教材中对弯矩的正方向规定也不尽相同，多数以使得梁段发生上凹变形的弯矩为正，少数则以梁段发生上凸变形的弯矩为正。上述方向规定的不同也导致了梁的弯曲中另一类重要内力，即剪力的方向（使梁的微段具有顺时针还是逆时针转动趋势为正）及其与弯矩和载荷集度间关系存在不同的表达，并带来了后续其他公式的推导中是否含有负号这一问题。比如，在研究文献中，梁的弯曲正应力和轴向正应变与弯曲挠度关系，一般都采用[5-8]
， （1）
然而，式（1）是否对任何正方向规定都适应？是否存在等号右边不带负号的情形（但该种情形在研究文献中几无迹可寻）？另外，基本的弯矩定义式也有如下两种表达式均在文献中使用[7-11] ， （2）
其中，前者多出现在材料力学教材[1-3]及部分文献中[7，10-11]，而后者在教材[4]及研究文献中也广泛存在[8，9，12]。另一方面，有些文献没有事先强调所有基本量的正方向，直接使用挠曲轴近似微分方程如下：
（3）
而忽略了可能存在的另一种情况
（4）
这些研究现状表明，如果在梁的弯曲中，没有事先明确必要的各类正方向，对后续公式推导及力学量的表达容易产生符号上的混乱。本文以最简单的梁的平面纯弯曲为例，讨论上述公式分别适用于何种具体情形。
1 分类讨论
根据正方向选取的不同，本文分别讨论四种基本情况，并试图从中寻找若干共性规律。根据弯矩M、横向坐标y以及挠度w的正方向之不同，存在如下四种基本情况，如图1（a）～图1（d）所示。其中，为了分析方便，横向坐标y与挠度w的正方向总是选取同一方向，避免了横向坐标与挠度正方向选取不一致时，导致的公式推导过程不够连贯的问题。
1.1 第一种情况
首先考虑图1（a）所示的第一种情况，该梁段上横截面的受力分析如图2所示。
根据定义，弯矩是由横截面上的弯曲正应力取矩合成而得。横截面上中性层以下部分受拉，中性层以上部分受压，应力对形心之矩与图中所规定的弯矩方向一致。因此针对图1（a），纯弯曲中唯一的弯矩内力表达式为
（5）
我们知道，在平面（Oxy面）弯曲时截面对z轴的惯性矩为
（6）
惯性矩是横截面的基本几何属性之一，与坐标方向无关，因此它适应于图1（a）-图1（d）的各种情况。按照图1（a）的坐标系和正弯矩的规定可得到弯曲正应力为
（7）
进一步地，考虑正应力或正应变与弯曲变形挠曲线曲率之间的关系。图1（a）中，因为横向坐标y向下为正，当y取正时，对应梁的中性层以下部分，此时应力与应变均为正（拉应力/拉应变）;当y取负时，对应梁的中性层以上部分，此时应力与应变均为负（压应力/压应变）。这就是说，弯曲应力和轴向应变与横向坐标总是同号，那么
（8）
结合式（7）和（8）可得
（9）
根据曲率的近似表达可知
（10）
因此，
（11）
根据图1（a）中弯矩M和挠度w的方向规定，可知M>0，，也就是M与是异号的，因此有
（12）
基于上述材料力学的分析结果，进一步可推知梁（此处分析仅适应于Euler–Bernoulli梁）的弯曲正应力为
（13）
1.2 第二种情况
在图1（b）中，因为弯矩方向与图1（a）相同，而y方向與图1（a）相反，根据弯矩的定义即横截面的内力之合力偶矩，那么弯矩表达式变为
（14）
上式也可以理解为：在图1（b）中，正应力或正应变与横向坐标总是异号，即中性层以上部分横向坐标为正，但存在压应力或压应变;中性层以下部分横向坐标为负，但存在拉应力或拉应变。据此亦可得
（15）
同时，由式（14）和式（6）可得
（16）
由式（15）和式（16）可得
（17）
根据图1（b）中弯矩和挠度的方向，可知M>0，，也就是M与是同号的，因此有
（18）
进一步可得Euler–Bernoulli梁的弯曲正应力为
（19）
1.3 第三种情况
在图1（c）中，仅弯矩方向与图1（a）相反（但y方向与图1（a）相同），那么弯矩表达式与式（14）相同。同样可以理解为：在图1（c）中，应力或应变与横向坐标总是异号，比如中性层以上部分横向坐标为负，但应力或应变为正，据此亦可得式（15）。进一步地，第二种情况下的式（16）和式（17）亦适应于本类情况。不同的是，根据图1（c）中弯矩和挠度的方向，可知M<0，，也就是M与是异号的，因此有，在此基础上推得弯曲正应力不同于以上两种情况，为
（20）
1.4 第四种情况
在图1（d）中，因为弯矩M及横向坐标y方向均与图1（a）相反，那么弯矩表达式与式（5）相同。同样可以理解为：在图1（d）中，应力或应变与横向坐标总是同号，在中性层以上部分横向坐标为正，恰好对应拉应力和拉应变;在中性层以下部分横向坐标为负，恰好对应压应力和压应变。据此亦可得式（8）。进一步地，第一种情况下的式（7）和式（11）亦适应于本类情况。不同的是，根据图1（d）中弯矩和挠度的方向，可知M<0，，也就是M与是同号的，因此有，此时正应力为
（21）
当然，以上四种情况还可继续细分，也就是把横向坐标与挠度方向分开。比如图1（a）中，如果横向坐标和挠度中有一个改为向上为正，可根据1.1节的分析思路得出若干公式的新表达，比如最后弯曲正应力将变为，其他各种情况类同。实际上，以上四种情况，若单单考虑弯曲正应力或轴向正应变，也可以直接从曲率角度出发。因为轴向应变，而曲率，所以也可直接看出轴向应变与弯曲挠度间的关系存在带正号或带负号两种情况。当然，在明确给定各类正方向的条件下，弯曲正应力或轴向正应变的表达式是唯一的，具体可参照上述四种不同情况。 2 结语
本文讨论了梁的弯曲中弯矩、挠度、横向坐标在不同方向选取的情况下，所引起的相关基本公式在表达上的差异，具体结果如表1所示。其中，弯矩定义式①、弯曲正应力与弯矩的关系②、弯曲正应力或轴向应变与曲率的关系②随着弯矩与横向坐标所取方向的改变而改变;挠曲轴近似微分方程③、应力或应变与挠度的关系④随着弯矩与挠度所取方向的改变而改变。此外，根据挠曲轴近似微分方程在四种情况下的表达可知，弯矩与曲率的方向总是一致的。
实际上，只要分析清楚第一种情况，其余三类可以对比第一种情况根据弯矩、挠度、横向坐标的改变直接推知结果。比如，第二种情况相比第一种情况，首先横向坐标反向，因此与横向坐标相关的公式①和②在两种情况下符号相反;其次挠度反向，因此与挠度相关的公式③符号相反;最后横向坐标与挠度均反向，因此与二者皆相关的公式④符号不變。基于本文的分类讨论结果，可根据梁的弯曲受力示意图中诸量的方向，在相关研究中直接对号入座使用相应的挠曲轴近似微分方程和正应力表达等关系式。
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