数列极限的定义在微课教学中的设计
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摘 要：微课教学模式是现代高等教育中的一个新型的重要教学模式，是克服传统教学资源的局限性而发展起来的一种新型教学资源及应用模式。极限概念是高等数学中的基本概念，极限思想贯穿了整个高等数学的学习过程，但是极限概念始终是学生学习的一个难点。本文试图从身边的例子入手，结合笔者多年的教学经验，给出数列极限定义在微课教学过程中的教学设计。
关键词：数列极限 无限趋近 微课教学
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）11（c）-0207-02
1 微课教学的发展现状
微课一词最早是由美国新墨西哥州圣胡安学院的戴维·彭罗斯根据教学实践要求提出的，微课教学是将教师在教学过程中围绕某个知识点而展开的教与学全程通过视频的方式记录下来，其核心部分是课堂教学视频。微课教学方式虽与传统的教学方式有一定的差异，但是这种教学方式也是以传统教学方式为基础发展起来的。相较于传统而单一的教学类型，微课具有短小精悍、使用方便、主题突出、内容分具体、半结构化、容易补充等特点。深受广大师生喜欢和推崇。
与课堂教学结构类似，微课也有课前预习、课堂知识教学、习题理解以及课后复习等环节，在微课制作过程中要合理设计各环节，以达到满足学生实际学习需求的目的。
随着当前网络技术的发展，微课与其他应用软件一样，也将有广泛的发展前景和教育价值。对教师而言，微课可以起到辅助教学的目的，不但可以突破传统的教师教学生学的教学模式，并且借助于丰富的表现形式，还可以起到提高学生的学习兴趣和学习效果的目的。对与学生而言，完全破除了学生只能随堂听课的单一形式，学习在课下遇到的问题也能做到随时解决，不但方便了学生的学习，也缩短了学生解决问题的时间。并且随着当前手持移动设备的发展，学生可以随时随地地利用微课进行学习，微课必将成为一种最广泛最流行的学习和教学方式，深受广大师生的喜欢和欢迎。
2 微课在高等数学课程中的应用
在高等院校教学中，高等数学教学作为基础课具有非常重要的教学地位和教学意义，它是掌握其他各门学科的基础知识，在培养高校学生，尤其是理工科学生综合能力素质方面，具有独特的，不可替代的作用。
随着信息与通信技术，尤其是视频技术的发展，在高等数学教学过程中，只单一的采用传统的课堂讲授式教学，已经不能满足学生的需求，因此逐渐出现了一种新的教学方式——微课式教学。这种教学方式与我们传统的教学方法相结合，不但使得授课过程更生动，并且更能引起学生的学习兴趣，通过一些小事例、小视频，也更增加了学生对于抽象數学的理解。这种教学方式不但改善了数学学习过程中稍显枯燥的特点，并且也加强了学生对数学的实际应用性的认识，加深了学生对数学的学习兴趣，以及明确了学好数学的目标。
众所周知，微课之所以被大家认可，主要得益于微课的主题突出，短小精悍等特点，也就是每一节微课都只是一个知识点，这就保证了学习者可以快速的，准确的找到所要了解的内容，并能很简单直接、目的明确的掌握所需要学习的知识点，这种教学方式既方便的教师的教，也方便了学生的学，是目前最受师生们欢迎的一种教学方式和教学趋势。此外，教师们对于微课教学方式的认可度也在不断提高，在教学过程中穿插采用微课式教学方式的教师人数也在不断增多，而对于该种现象，也出现了一个重要的为题：对于微课式教学方法的知识点该如何设计？下面我们就以数列的极限这节课为例，具体展示出在微课程中如何设对一个知识点进行设计。
3 数列极限定义在微课教学中的教学设计
数列极限的概念是微积分中的基本概念，也是学习后续众多概念的基本工具。但是，概念中的ε-N语言始终是学生在学习中的一大难点，本文结合笔者的实际教学经验，给出极限定义的一个教学设计。下面从六个环节来设计本课程。
3.1 引出极限的描述性定义
首先给出四个简单数列：;;;
。然后引导学生观察，得到直观的结论：当数列的下标n无限增大时，数列的通项有两种变化趋势，一种是无限趋近于某一个固定的常数，另外一种不趋近于某一个固定的常数。从而，自然的引出极限的描述性定义[1]：设数列{xn}和常数A，如果当n无限增大时，xn无限的趋近于某个固定的常数A，则称数列{xn}的极限为A或称数列{xn}收敛于A，记为;否则，称数列{xn}发散。
此时，让学生思考上面的极限定义是否严谨？然后向学生发问：什么是“无限趋近”？
3.2 通过生活中的例子解释“无限趋近”
假设某人从长春出发要去北京，方向始终正确，第一天走了100km，第二天走了50km，第三天走了25km，以此类推，每一天走前一天路程的一半，并且假设可以无限走下去，请问此人是否“无限趋近”于北京？
直观上好像此人“无限趋近”于北京，实际上所有走过的距离至多200km。通过这个简单的例子，指出上面定义中数列{xn}“无限趋近于”A，从数量关系的角度，指的是无穷远处的项xn与A的距离无限的趋近于0，即。另外，通过这个例子，告诉学生描述性的定义不严谨，容易造成歧义，进而指出须给出数列极限的严格的数学定义。也就是需要把上面的描述性定义“翻译”成数学定义。这时抛出问题：怎么用数学的语言定义？ 3.3 通过生活中的例子翻译
假设有两个小孩甲和乙在为一件事情争辩，甲小孩说自己能数到100，乙小孩不服，说自己能数到1000，甲小孩改口又说自己能数到10000，…，经过一番思考，乙小孩说了一句很有创意的话“无论你数到多少，我都能数到比你大10的数”。
通过这个例子，让学生们体会，乙小孩那句充满创意的话，其实用数学的话来说就是他能数到无穷大。这时，引导学生去体会乙小孩是通过一个比较的过程完成了对无穷大的描述，即不管你多大，我都比你大，那么我就是无穷大。同理如果用量化的语言来描述，也是通过一个比较的过程来实现。这样，就自然地给出了翻译后的数学语言：对任意的不管多么小的正数ε，都有。还可以用更简练的数学语言描述：
3.4 给出数列极限的数学定义
通过上面的分析，我们可以得到如下等价关系：
“xn无限的趋近于某个固定的常数A”
提醒学生注意数列极限的描述性定义中包含了两个无限趋近的过程，而我们上面仅仅翻译了后半部分。但是，由前面的工作，不难得到定义中前半部分的数学定义：
“n无限增大”。
下面我们要做的就是把所得到的两部分的数学定义进行整合，很明显对于一个数列{xn}而言，可以看作是一个特殊的函数，即通项xn是下标n的函数。这样的话在极限过程中的两个无限趋近的过程就存在一个依赖关系，当我们把他们整合到一起时就必须要考虑这种依赖关系，从而就得到了如下数列极限的数学定義：当
我们通常也把上面的极限的数学定义叫做ε-N定义。
3.5 对ε-N定义的若干注解
第一，定义中的ε是一个任意的想多么小就多么小的正数，具有绝对的任意性，唯有如此，才能保证xn无限的趋近于A;而存在的N是一个与ε有关的下标的分界点，ε越小，则N越大。
第二，分界点N是不唯一的，只要找到一个即可。
第三，数列极限研究的是数列无穷远处那些项的变化趋势，与数列中有限项的值无关，所以改变一个数列中的有限项，不改变它的敛散性。
3.6 数列极限的几何含义
从几何上来说，意味着，对任意的正数ε，都能找到一个下标N，使得从第N项开始，后面的所有项都落在以A为心，以ε为半径的领域内，而在这个领域外只有数列中的有限项。通过几何含义，使学生能更加直观的理解极限的ε-N定义。
以上我们通过六个环节，给出了数列极限定义的教学设计。笔者试图利用生活中的例子，化抽象为具体，让学生真正理解和掌握数列极限的概念，为以后的学习打下坚实的基础。
最后，在课程的结尾可以适当增加作业和答疑环节，将学生学习过程中常见问题总结出来，并以目录的形式放在课程的结尾，学生得以对号入座，只要遇到类似的疑问，都可以直接进行进入链接查看具体解释，这样可以及时解决学生学习过程中遇到的问题，提高学生的学习热情。
以上，我们借助于微课自身的特点和优势，将其应用到我们高等数学的具体教学过程中，将两者的特点完整的结合在一起，既能起到学生学习好数列极限的目的，又能充分提高学生学习的积极性和主动性，使学生的学习时间和学习方式更加灵活，远远地破除了传统教学模式中的只有课堂教师教学的模式，保证了学生在学习过程中只要出现问题可以随时随地学习的特点，完全打破了学习过程中时间和空间的局限性。但是，伴随网络的发展，微课已经成为了一种普及的教学模式，在这种情况下，教学这一定要注意，我们在教学过程中可能产生的对微课的依赖现象，它只是我们在教学过程中的一种辅助手段，不能本末倒置。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学（上册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.
[2] 徐兵.高等数学[M].3版.北京：高等教育出版社，2018.
[3] 徐鑫.微课教学在高校设计类专业互动教学中的实践运用策略探讨[J].智库时代，2019（34）：239-240.
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