不等式的证明的若干方法

来源:用户上传      作者:

　　摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题， 它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
　　关键词：不等式；证明方法；方法探究
　　前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
　　1.不等式的概念
　　不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
　　一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
　　在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
　　2.常见不等式证明的几种方法
　　不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
　　2.1利用比较法法证明
　　在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
　　
　　
　　2.2利用分析法证明
　　分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
　　
　　
　　2.3利用反证法证明
　　反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
　　反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
　　
　　
　　2.4利用换元法证明
　　换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
　　在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
　　2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
　　2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
　　2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
　　
　　
　　结束语：
　　本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
　　摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题， 它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
　　关键词：不等式；证明方法；方法探究
　　前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
　　1.不等式的概念
　　不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
　　一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
　　在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
　　2.常见不等式证明的几种方法
　　不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
　　2.1利用比较法法证明
　　在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
　　
　　2.2利用分析法证明
　　分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
　　
　　
　　2.3利用反证法证明
　　反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
　　反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
　　
　　
　　2.4利用换元法证明
　　换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。

　　在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
　　2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
　　2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
　　2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
　　
　　
　　结束语：
　　本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
　　摘要：不等式是数学学习中一个常见的问题， 它渗透于数学研究的各个环节。而不等式的证明则是不等式知识中尤为重要的内容。本文通过举例，对不等式的多种证明方法进行探讨。
　　关键词：不等式；证明方法；方法探究
　　前言：在数学学习中，无论是初级数学或是高等数学，不等式都占据着很重要的地位。而不等式的证明作为数学学习中的一个难点、要点，经常出现在各种考试中，许多学生对此一筹莫展。其实，不等式的证明往往存在许多方法，即一题多解，本文针对不等式证明中的多种方法进行探讨，总结每种方法的一定使用性，分析规律，以达到在不等式证明过程中的灵活运用。
　　1.不等式的概念
　　不等式是通过“＜”或“＞”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述。
　　一般不等式分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式。
　　在不等式中，不等式的数字或字母代表的都是实数。不等式一般形如： f(x,y, …,z) ∨g(x,y,…z)，其中x,y,z等字符代表的都是实数；符号∨可以表示 “＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个；而f(x,y, …,z)与g(x,y,…z)公共的定义域为此不等式的定义域；计算中使不等式成立的数字组，叫做不等式的解；不等式求解的计算过程，被称为解不等式。
　　2.常见不等式证明的几种方法
　　不等式证明一直是教育学家们研究的重点和发展的主要方向，近年来，也得到了很大的提高，我国关于数学学科的研究一直走在世界的前列。对于不等式的证明方法有很多，基本方法有：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、函数法、换元法、判别式法等十多种方法。我们就常见的几种证明方法进行分析，研究。
　　2.1利用比较法法证明
　　在不等式的多种证明方法中，比较法是最为基本的重要证明方法。比较法是利用做差（或商）之后的“变形”来推演结果。通常以下几个方面多使用于比较法证明不等式：一.不等式移项后因式容易分解或配成平方；二.不等式两边的解析式为乘机结构货可化为乘积结构。
　　
　　2.2利用分析法证明
　　分析法通常采用“欲证―只需―已知”的格式，其思路实质为“执果索因”。即从求证不等式出发，不断的利用充分条件代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止。在日常解答中，当证明无从入手时可采用分析法，其优势在于方向明确，思路自然，特别适合于条件简单但结论复杂的题目。
　　
　　
　　2.3利用反证法证明
　　反正法与比较法和分析法不同，比较法和分析法是直接证法，而反证法则为一种间接证法。
　　反证法即从否定所要证明的结论入手，先假设结论的反方为真，通过一系列的证明、演算，推出与已知条件、公理等之一相互矛盾，从而否定假设结论，确定原结论成立，已达到解题的目的。反证法可以考虑适用于自身为否定命题或者直接证法不利于使用的情况下。
　　
　　
　　2.4利用换元法证明
　　换元法法在不等式证明中有着广泛的应用。在不等式的证明过程中，换元法是以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，从而是解题过程达到化难为易、化繁为简的目的。
　　在不等式证明中，有时会遇到一些难以直接证明的结论，此时可以采用换元法选择辅助数值代换解决问题。换元法可大体上分为：
　　2.4.1.增量换元法，多用于确定字母顺序或者具有对称字母的不等式的证明。
　　2.4.2三角换元法，多用于条件不等式的证明。利用三角函数性质，将代数问题转化为三角问题。
　　2.4.3.比值换元法，多用于在已知条件中存在多个等比式的不等式证明。在不等式证明过程中往往将等比式转化代入一个辅助未知数值，以方便求证。
　　
　　
　　结束语：
　　本文通过浅显的探讨和研究，举例阐述了上述几种常见不等式的证明方法和适用范围。在实际研究与学习过程中，我们应充分认识到不等式证明方法的灵活性与多样性。采用不同方法证明时，掌握每种证明方法的适用性和相似规律性，熟练掌握不等式证明的要领，做到针对不同不等式，从简入手；同一不等式，一题多解，真正解题意义上的灵活运用。
　　注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。

转载注明来源:https://www.xzbu.com/2/view-596053.htm