培养学生数学思维的批判性和敏捷性
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作者: 杨 青
现代数学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。思维活动的强弱，决定一个人的思维品质。在数学课堂教学中，探求问题的思考、推理论证的过程等一系列数学活动都以逻辑思维为主线。这是数学教学中实施思维训练的理论依据之一。数学教材是以逻辑思维为主线，贯穿各个知识点。教学中培养学生能力的基础是发展学生思维，发展思维不可能脱离教学内容独立进行。因此，我们可以有理由认为，在数学教学中实施思维训练是教学思维论在教学实践中的体现。
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性来自学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。这种自我意识的“调整”“校正”又来自学生对问题本质的认识。初中数学思维的批判性，在概括过程中表现为善于精细地分析数学材料，准确选择推理条件；善于从正反两方面思考推理过程，并能及时调整和校正。在推理过程中表现为善于从不同角度、正反两方面去理解概念，区分相近概念；善于区别不同的运算法则、定律、性质及其适用的条件；善于发现并指出理解过程中可能出现的错误倾向，排除错误的干扰。在运算过程中表现为解决数学问题时善于排除无关因素的影响；善于进行辩证地思索与分析，自觉检查思维过程，自我控制和调整思维方向，对解答结果能自觉作出估计和检验。在思维理论效果上表现为推断、估计、自学以及对结论与推理过程进行评价的能力较强。
怎样培养和训练学生科学思维的批判性?在掌握知识的过程中，教师要鼓励学生独立思考，发表自己的见解，形成“自由争辩”的学风。学生往往受思维定势的影响，盲目随从，这不利于增强思维的批判性。为克服学生的盲从心理，教师有时可故意制造一些错误，让学生去发现、评价。如教学三角形两边之和大于第三边时，出示几组数据：①7cm，3cm，2cm；②10cm，4cm，6cm；③8cm，5cm，4cm；④12cm，10cm，7cm；要求学生根据数据画出图形。学生画图后发现，①、②两组数据画不出三角形。这是为什么?教师便引导学生讨论，找原因，从而发现，两条边长度之和小于或等于另一条边的长度，这样的线段不可能组成一个三角形。这样设计，在审题时即对题目条件的可靠性进行论证，无疑培养了学生思维的批判性。从而增强了学生对“三角形两边之和必大于第三边”知识的可信度。在运用知识解决数学问题的过程中，教师应着力培养学生“自我反省”的习惯。由于学生自我意识的发展还不成熟，往往忽视自己的内部心理活动，对自己思维的破绽、错误不易注意。因此，在组织练习的过程中，要经常引导学生反省自己的思维，自觉地表述思维过程，自觉地加以检验。
另外，进行多项选择题的训练，也有利于思维批判性的发展。如：下列四个命题中正确的是( )①与圆有公共点的直线是该圆的切线。②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线。③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线。④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线。
多项选择题和其它类型相比，问题提法改变了，题目虽然不大，涉及内容却很广，有很多的陷井，要想选出正确的答案，必须用批判的态度去思考。
数学思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。具有这一思维品质的人处理问题和解决问题时能适应紧急的情况，迅速作出正确判断。在数学学习中，具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接”得到结果。克鲁捷茨基的研究表明，推理的缩短取决于概括，“能立即进行概括的学生，也能’立即进行推理的缩短。”学生数学思维的敏捷性，在概括过程中表现为善于快速地概括出数、式、形和数量关系中的数学特征、规律以及相应的解题技巧等。在理解过程中表现为善于迅速地抓住数学问题的实质，熟练地进行等价变换。在运用过程中表现为用压缩了的结构进行数学思维，思路清晰，弯路少。在推理效果上表现为从冗长的分析推理中解脱出来，减少中间环节，简缩数学推理过程和相关的运算系统。
不仅会解一题，而且会解一类题。适当变换题目的条件、结论、叙述形式，或变换图形，把一道题变成有关的几道题，这种方法既能活跃学生思维，又提高学生审题和解题的能力。如“两圆内切于P点，大圆的弦AD交小圆于点B、C。求证：∠APB=∠CPD“可变换成”两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，求证：∠APC=∠CPB。再启发学生思考：“上面两题中的两圆相切改为相交又应怎样证出∠APC=∠CPB呢?通过比较，鉴别，进而达到不仅会解一题，而且会解一类题，同时也培养了学生的敏捷思维能力和创造性思维能力。”又如：把“到线段两端距离相等的点的轨迹是什么?”换成“以已知线段为底的等腰三角形的顶点的轨迹是什么?”这样做，更有利于训练学生敏捷思维能力。某些问题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相似的结构形式，这就是同构异索问题。教学时可以使形式超脱内容，把不同题材中共同的结构形式分离出来，进一步抽象化、符号化，只研究结构形式之间的关系。一般来说，概括程度越高，迁移量也就越大。数学中按照抓基础、促迁移、简结构、大容量的原则来组织教学内容，有利于培养学生数学思维的敏捷性。在运用知识解决问题的过程中，教师可引导学生自觉地、合理地联想来训练他们思维的敏捷性。联想，即把解决简单问题所采用的手段和所获得的结论，类推到较复杂的情境中，迅速找到解决问题的办法。解决数学问题的联想，大都可以看作关系联想。数学概念之间、数学现象之间的联系是多种多样的。关系联想是这多种多样联想的反映。联想丰富了，想象也就丰富了，思维的活力增强，思维的敏捷性自然就提高了。
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