巧避分类讨论 妙解二次函数类题

来源:用户上传      作者: 任金凤

　　【摘 要】二次函数是高中阶段最基本，也是很重要的一类函数，但是同学们在学习它的过程中，往往对含参的二次函数类问题的求参数的值、参数的范围或求最值等等问题都难以全面掌握。他们都认为此类问题需要用到分类讨论的数学方法，然而又难以全面把握分类的原则、标准和方法，从而使解题过程复杂、冗长，同时在完备性方面易造成失误。事实上，针对有关题目，我们可以巧妙回避分类讨论，抓住问题本质，灵活优化解题过程。
　　【关键词】高中 二次函数 优化解题
　　
　　整体处理
　　例1 已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在区间［-3/2，2］上的最大值为3，求实数a的值。
　　分析：若按常规解法，需对下面几种情况讨论：a是否为0；a≠0时，抛物线的开口方向；对称轴与区间［-3/2，2］的位置关系；对称轴穿过区间［-3/2，2］时，还要看对称轴与区间端点的距离等等，非常繁琐，但若从整体考虑，有如下结论：二次函数在闭区间上的最值必在区间的端点或抛物线的顶点处取得，据此有如下的简单解法。
　　解：函数的最大值只可能在x=-3/2，2，1-2a/2a处取得：
　　若f(-3/2)=3，则a=-2/3，这时f(x)=-2/3-7/3x+1，此时对称轴x=-7/4＜-3/2，所以a=-2/3符合题意；
　　若f(2)=3，则a=1/2，这时f(x)=1/2+1，符合题意；
　　若f(1-2a/2a)＝3，则a=-1/2，这时f(x)=-1/2-2x+1，但此时对称轴x=-2∈［-3/2，2］，所以a=-1/2不符合题意；
　　又易知a=0时也不符合题意；
　　综上所述，a=-2/3或a=1/2。
　　评注：上述解题方法是严谨完整的，关键是抓住了问题的本质。根据问题的特点，着眼于若干元素组成的“整体板块”，解题时就能一举切中要害，从而实现运算的简化。
　　一、巧消参数
　　例2已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，x∈［-1，1］记f(x)的最大值为M，求证：M≥1/2。
　　分析：常见思路是就二次函数图象顶点的横坐标在区间［-1，1］内及在区间［-1，1］外分类讨论，还要就顶点的纵坐标在x轴上、下方分类讨论。但若巧妙运用函数值之间的联系，结合绝对值性质，便能消去参数a，b，避免分类讨论，很快解决问题。
　　证明∵M≥f(0)，M≥f(1)，M≥f(-1)，
　　∴4M≥2f(0)+f(1)+f(1)
　　 =2(b)+(1+a+b)+(1-a+b)
　　≥2(b)+(1+a)-(b)+(1-a)-(b)
　　=(1+a)+(1-a)≥(1+a+1-a)=2
　　∴M≥1/2
　　二、挖掘隐含条件
　　例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足下面两个条件：①f(1)=1/2；②对任意t∈R，都有f(t+1)=f(t-1)。
　　求f(x)的解析式；
　　问是否存在实数m，n(m＜n)使f(x)的定义域和值域分别为［m，n］和［2m，2n］？如果存在，求m，n的值，如果不存在，请说明理由。
　　分析：易求得(1)中f(x)=-1/2+x。
　　而在本题的第(2)问中，由(1)知f(x)=-1/2+x=-1/2(x-1)+1/2。
　　按常规解法，需对m＜n≤1，m＜1＜n，1≤m＜n三种情况讨论，但是f(x)=-1/2+(x-1)+1/2≤1，则有2n≤1/2，即n≤1/4，由此可以确定区间［m，n］在对称轴x=1左侧，这就找到了解决问题的突破口。
　　解：f(x)=-1/2+x（解略）
　　 f(x)=-1/2+x
　　 =-1/2(x-1)+1/2≤1/2
　　∴2n≤1/2，即n≤1/4。
　　又二次函数的对称轴为x=1，所以f(x)在区间［m，n］上为增函数。
　　假设m，n存在，则有f(m)=2m，f(n)=2n。
　　这样就是方程的f(x)=2x两根，解方程-1/2x+x=2x，得m=-2，n=0（∵m＜n）。
　　故存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域和值域分别为［-2，0］和［-4，0］。
　　评注：本题先对定义域与对称轴的位置作出了判断，揭示了题目中未明确给出而又实际存在的事实，避免了分类讨论，从而实现运算的简化。
　　三、正难则反
　　例4：已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，在上至少存在一个x0，使得f(x0)＞0，求0的取值范围。
　　分析：从正面考虑，则符合题意的情况较多，且无明确的分类标准，故从反面入手.而其反面仅“没有一个”一种情形，则无需讨论，从而大大简化解题过程。
　　解：假设对任意的x∈［-1，1］，f(x)≤0恒成立，则f(-1)≤0，f(1)≤0，
　　可得p∈(-∞，-3)∪(3/2+∞)，
　　则原问题的解为p∈(-3，3/2)。
　　四、转换主元
　　例5对任意a∈［-1，1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，求x的取值范围。
　　解：原函数可看作关于a的函数g(a)=(x-2)a+x2-(4x+4)(x≠2)，对任意a∈［-1，1］，一次函数g(a)的值总大于零的充要条件为：g(-1)＞0，g(1)＞0即x2-5x+6＞0，x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞3，故x的取值范围为（-∞，1）∪（3+∞）。
　　评注：若按常规思路把看作主元进行分类讨论，则不易得解；而把当作主元，则视角改变，回避了分类讨论.
　　说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若在上恒有f(x)＞0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于f(m)＞0，f(n)＞0最后须说明：本文并非否定分类讨论的思想在二次函数中的作用，只是指出，对于某些问题，可以避免分类讨论，以便解题过程更为简明，并借此培养学生的发散思维和创新能力。

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