微积分学概念溯源例谈
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作者:王继强 范甜
摘 要：微积分学中有许多概念看似寻常，但其背后往往都有着或有趣或厚重的渊源。作者在长期教学和科研经验的基础上，从历史和现实两个角度对微积分学中一些典型概念的来源进行了追溯，以求达到解疑释惑、正本清源之目的。
关键词：函数;极限;导数;微分;积分
中图分类号：N09;O13文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2019.04.014
Discussion on the Origin of Some Concepts in Calculus//WANG Jiqiang， FAN Tian
Abstract：Many concepts in calculus seem to be ordinary， but they usually have interesting origin. Based on long-term teaching and research experiences， the authors retrospect the origin of some classic concepts in calculus from the angle of history and reality， in order to eliminate the doubts and trace the origin.
Keywords：function; limit; derivative; differential; integral
引 言
17世紀末，英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别创立了微积分学说[1-2]。微积分作为初等数学和高等数学的“分水岭”，在现代科学中起着极其重要的作用，堪称人类智慧的结晶。笔者在大学里从事数学教学与研究多年，讲授微积分课程多遍，发现微积分学中有很多概念、术语、符号的由来都不同寻常。因此，本文试图揭开微积分学中一些典型概念的前世今生，与知音共赏。
一 概念溯源
1.元
在微积分学中，“元”特指函数的自变量、方程（组）的未知数等。
元朝末年数学家李冶提出了“天元术”，即“立天元一为某某”，相当于现代的“设x为某某”。李冶的“天元”为“一元”，比其时代稍晚的朱世杰则提出了“四元术”，即用“天、地、人、物”四元来表示四个未知数，比西方早了500多年[3]。
这种用“元”代表未知数的方法流传至今，如通常所说的“二元函数”“一元二次方程”等。“元”的使用省却了用文字表达数学关系的麻烦，大大促进了数学的发展。
值得一提的是，1989年中国创立的“数学天元基金”的名称就是取自“天元术”。
2.函数
函数的定义形式之一为：给定数集D和Z，若有一个对应法则f，使得任取x∈D，都有唯一的y∈Z与之对应，则称y为x的函数，记作y=f（x）。
莱布尼茨最早提出了“函数”的概念，他称“与变动的量x同时变动的变数为x的函数”，名曰functio，后演变为英文词function。后来，瑞士数学家欧拉（Euler）首次取首字母f将变量x的函数记作f（x），沿用至今。
1859年，清代数学家李善兰在与英国传教士伟烈亚力（Alexande Wylie）合译的《代微积拾级》中首次将function译为“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数。”这里，“函”同“含”，在《说文解字》中意为“容也”[1]。试想，当变量y中含有变量x，y自然就是x的函数了，甚是贴切。
此外，代数（algebra）、常数（constant）、变数（variable）、未知数（unknown number）、系数（coefficient）、级数（series）、横轴（horizontal axis）、纵轴（vertical axis）、曲线（curve）、方程（equation）、根（root）、切线（tangent）、法线（normal）、渐近线（asymptote）等微积分学常用词汇也都是李善兰首译的。
3.方程
“方程”一词最早见于1世纪的中国算学名著《九章算术》，不过当时的“方程”指的是含有多个未知数的一次方程组，即现在大学线性代数课程讲的线性方程组。该书第八章“方程”介绍了世界上最早的线性方程组的表示方法（分离系数法，即今矩阵法）和解法（直除法，即今初等行变换法）。
魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中有言：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”[2]意思是说，有几个“物”就列几个“程”（式子），这些“程”“并列为行”，构成了一个方阵，是为“方程”。
4.极限
极限是微积分学的基础概念和研究主线，其英文词limit本来就是“最大的限度”“无限趋近的一个固定的状态”之意，与函数极限“limx→x0f（x）=a”的含义完全一致。
春秋时期墨家学派经典著作《墨经》中有“体，若二之一，尺之端也”的记载，蕴含着“点是线段无限分割的极限”的思想萌芽。《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，刘徽割圆术中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”更是传神地刻画了极限含义的精髓。
5.无穷大、无穷小
微积分学中的无穷思想在《墨经》中早有定义：“穷：或不容尺，有穷;莫不容尺，无穷也。”
无穷分为无穷大和无穷小。《庄子》记载：“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一。”意思是说，“至大”是没有边界的，就叫无穷大;“至小”是没有内部的，就叫无穷小。 6.微分、积分
微积分是微分和积分的合称，其英文为calculus，本义为计算、演算。
李善兰在《代微积拾级》中写道：“凡线面体皆设由小到大，一刹那中所增之积即微分也，其全积即积分也。”[4]这种说法真实揭示了微分和积分之间的部分与整体的关系。殊不知，微分的英文differential、积分的英文integral恰恰分别是“分细”和“整合”的意思。
在微积分学中诞生、在物理学中大行其道的“微元法”恰恰利用了从微分到积分“先分割计算微元，再加和计算整体”的辩证思维。
史料记载，莱布尼兹正是认识到积分的“累加”本质而创立了积分号“∫” [3]。事实上，积分号∫和欧拉创立的连加号∑都是来自英文词sum的首字母s，前者是s的拉长形式，后者是s的压扁形式，前者是连续求和，后者是离散求和。
7.导数、偏导数
在微积分学中，函数y=f（x）的导数记作f′（x）=dydx，其中dy为函数y的微分，dx为自变量x的微分，“d”为differential的首字母。显然，导数就是两个微分之商，故早期的导数又称为微商。
导数的英文为derivative，意为衍生的、导出的，故译作“导数”。
在微积分学中，二元函数z=f（x，y）的两个偏导数分别记作zx、zy，其中为希腊字母δ的古典写法，读作“round”。细看之下，还真像一个圆形的微分符号d。
8.调和级数
在微积分学中，最有名的级数之一当属调和级数（harmonic series）：
“调和”一词源自英文harmony，意为和谐、和声，这不能不让人联想到音乐。事实亦是如此：一根琴弦被拨动而发出声音时，其12、13、14、…处也同时在振动而发出2倍、3倍、4倍…频率的声音，所有这些声音的叠加——“和声”才是我们听到的声音。
有人说，“数学乃音乐之魂”[6]，诚哉斯言。
9.象限、卦限
在笛卡儿坐标系中，平面直角坐标系有四个“象限”（quadrant），空间直角坐标系有八个“卦限”（octant），其中“象”“卦”二字分别取自《周易》。《周易》有载：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”这里的“两仪”为阳爻、阴爻，“四象”为太阳、太阴、少阳、少阴，“八卦”为乾、坤、震、艮、离、坎、兑、巽[1]。
此外，极坐标系中的极轴、极径、极角、極坐标等概念显然也源自《易经》。
10.体积
在微积分学中，定积分可用于计算某些几何体的体积，如球体、椭球体、圆柱、圆锥、楔形体等，其理论基础是祖暅原理，又称“等积原理”，即“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”。意思是说，如果高度相等处的截面面积相同，那么体积必然相同。17世纪意大利数学家卡伐列里（Cavalieri）也提出了类似结论，但比祖暅晚了1100多年。我们在小学冥思苦记的体积公式都可以根据祖暅原理推导出来。
二 结 语
本文对微积分学中若干概念的来龙去脉进行了初步探究，没想到看似普普通通的一些术语、符号大有来头。微积分学中还有很多概念，像单调、极值、最值、凸凹、渐近线、驻点、拐点等，都有待我们去追根溯源，相信这样的刨根问底式的探究对于深入理解微积分学的概念是十分有益的。
参考文献
[1]王青建.数学史简编[M].北京：科学出版社，2004：80-86.
[2]傅海伦.中外数学史概论[M].北京：科学出版社，2007：253-266.
[3]夏树人，孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆：重庆出版社，1984：55-61.
[4]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].2版.北京：高等教育出版社，1991：367-377.
[5]徐品方，张红.数学符号史[M].北京：科学出版社，2006：313-330.
[6]张跃辉，李吉有，朱佳俊.数学的天空[M].北京：北京大学出版社，2017：152-157.
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