基于数学建模理论的问题研究与分析

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　　摘  要： 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。数学模型是一种数学的思维方法，用数学语言和方法来抽象简化实际问题，以便于实际问题的解决。数学建模不仅是应用数学解决实际问题的重要工具，而且是揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法的重要途经。文章用实例介绍了数学建模理论及其应用。
　　关键词： 数学; 模型; 数学建模
　　中图分类号：TP3-05          文献标识码：A     文章编号：1006-8288（2020）03-16-04
　　Researching and analyzing with mathematical modeling theory
　　Ye Wen
　　（Network and Information Center， Nanjing Institute of Technology， Nanjing， Jiangsu 211167， China）
　　Abstract： Mathematical modeling is a bridge between mathematics and practical problems， which leaves marks all the time in the process of mathematical development. Mathematical modeling is a kind of mathematical thinking method， which uses mathematical language and methods to abstract and simplify practical problems， so as to solve the practical problems. Mathematical modeling is not only a significant tool to solve practical problems， but also an important way to reveal basic laws of nature and generate new mathematical ideas and methods. In this paper， mathematical modeling theory and the application in solving practical problems are introduced with examples.
　　Key words： mathematics; model; mathematical modeling
　　0 引言
　　數学是各门自然科学、工程科学乃至社会科学的基础，是技术进步、经济建设和社会发展的重要工具[1-2]。数学一直与其他学科的发展密切相关，且对其他学科的发展也起到了促进作用[3]。一直以来数学作为一种实用的技术，是人类处理生活中及社会活动中遇到的各种实际问题的一把金钥匙。计算机技术的发展离不开数学，如今数学的应用以空前的影响力向工程技术、管理、金融、自然科学、医学等众多领域渗透。
　　1 数学建模
　　1.1 数学建模理论与应用
　　模型是人们基于一定的目的对原型的抽象。数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题[4]，它把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的工具。应用数学方法去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是很困难的一步[3]。
　　当需要从定量的角度分析和研究信息科学、生活生产、消费休闲等实际问题时，人们就要在深入观察和研究问题对象的固有特征、了解和收集问题对象的信息资料、作出反映实际问题数量关系的抽象和简化假设、分析对象的内在规律等工作的基础之上，引入一些相关的数学符号、变量和参数，从而用数学语言和方法建立其变量参数间的内在关系，得出一个可以近似刻画实际问题的模型，进而对其进行分析、求解、检验和推广[5]，最终实现实际问题的解决。
　　数学建模和人们的日常生活、工作和社会活动是紧密相连的。文献[6]列举了气象工作站利用通过气象卫星大量收集到一定时间内的气压、降水、风速和云层等各种状态的数据建立相应的数学模型，可准确有效地模拟实时的天气变化。生理学专家利用人体体内的药物浓度和时间来建立数学模型从而有效的指导药物在临床中的应用。
　　数学建模的过程一般分为模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用与推广等多个阶段[4]。建模要点是：要明确研究目标，力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索;用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点，这是建模成功与否的关键，体现了建模工作的想象力和创造力;做正确的推理，在无法进行严格的数学推导时， 可以使用“不严格”的数学，代之以对问题的分析、归纳、类比、猜测、尝试，事后检验;最后尽可能使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果，图1是建模过程的流程图。
　　1.2 建模实例
　　本篇通过引入一个实际的生活问题和一个实际的数学问题，建立了相对应的数学模型。
　　1.2.1 实例一
　　针对雨中如何行走可以少淋到雨这个问题，我们从模型准备、模型假设和模型计算等方面来解决问题。
　　1.2.1.1 模型准备
　　首先模型准备阶段，在接下来的模型建立过程中需要用到的变量：
　　h 人的身高， 　　w 人的宽度，
　　d 人的厚度，
　　C 淋雨总量，
　　I 降雨大小，即降雨强度，
　　vf 风速，
　　vr 人的速度，
　　D 人跑完的全程的长度，
　　ρ 雨滴的密度，
　　r 雨速。
　　1.2.1.2 模型假设
　　⑴ 把人体视为长方体，身高h（m），宽度w（m），厚度d（m）。淋雨总量用C升来记;
　　⑵ 降雨大小用降雨强度I（cm/h）来描述，降雨强度指单位时间平面上降下水的厚度。这里可视为一个常量;
　　⑶ 风速vf（m/s）保持不变;
　　⑷ 人以一定速度vr（m/s）跑完全程D（m）。
　　1.2.1.3 模型计算
　　人行走对的方向顺风且雨与地面的夹角至少为α>0，数学模型如图2所示。
　　设雨速为r（m/s），雨滴的密度为ρ（kg/m3），I表示在一定时刻在单位体积的空间内，雨滴所占的空间的比例数，即降雨强度系数。所以，I=r。
　　由于顺风而行，考虑降雨方向，淋湿的部位只有顶部和背部，则分两部分计算降雨量：
　　因此，一般情况下，当v=rcosα时总淋雨量最少，人应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于人是垂直下落的。
　　当α=90?时，cosα=0，sinα=1，即C=w（d-hv）即人应以最快的速度行走，使总淋雨量最少，并且伞柄应垂直于地面来使落在人身体上的雨尽可能少。
　　当90?<α<180?时，cosα<0，总淋雨量C=w（dsinα+h（rcosα-v）），故人应以最快的速度行走且伞柄应与地面成（180-α）?来使落在人身体上的雨尽可能少，这样总淋雨量最少。
　　针对这个问题，通过模型假设和模型计算与分析，最终的结论是：如果行人行走的方向是顺风，且雨与地面的夹角至少为α>0 ，则应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于行人是垂直下落的;其他情况下，都应以最快的速度行走。若有把伞，若有把伞，当0?<α<90?时，人应以雨速水平分量的速度行走，使雨相对于人使垂直下落的，故伞柄应垂直于地面来使落在人身体上的雨尽可能少。当α=90?，人应以最快的速度行走，使总淋雨量最少，伞柄应垂直于地面来使落在人身体上的雨尽可能少。当90?<α<180?，人应以最快的速度行走且伞柄应与地面成（180-α）?来使落在人身体上的雨尽可能少。
　　1.2.2 实例二
　　接下来是一个几何数学问题，一条直线最多将平面划分成两部分，二条直线最多将平面划分成四部分，这里需要计算出n条直线最多将平面划分成多少部分。
　　1.2.2.1 模型准备
　　变量说明：
　　n   直线的条数;
　　pn-1  之前的所有直线将平面划分得到部分的总数目;
　　pn  新增加的第n条直线划分平面后得到的划分总数目。
　　1.2.2.2 模型假设
　　在此，①我们将平面假定为一个矩形;②假设当将平面划分得到的部分最多时，所有直线相交的交点都在该给定的矩形区域内。
　　1.2.2.3 模型分析
　　一条直线最多将平面划分成两部分，两条直线最多将平面划分成4部分，表1演示了新增加的第n条直线划分平面后得到的划分总数目。
　　一条直线将平面划分成两部分，两条直线最多能将平面划分成4部分。即
　　我们知道，在同一具有延展性的平面内，两条直线不是平行就是相交。每增加一条直线，如果想要划分得到的部分最多，那么新增的直线就必须与之前所有的直线相交。因为如若每次新增的直线与之前的直线平行，则新增加的第n条直线划分平面后得到的划分总数目为
　　这样必然比不平行直线分割得到的部分少，因为新增的直线每与一条直线相交，就会与该直线相交并在平面上得到新的划分部分。
　　如图3所示，每增加一条直线，就与之前所有的直线都相交，则增加（n-1）个交点。当n=4时，增加三个交点（4，5，6），并且新增的直线会与已知平面的两条边界相交，则新增的直线在已知平面上共有n+1个交点，即图3中的（7，4，5，6，8）五个交点，其中每两个相邻的交点会与在增加第n条直线之前所产生的交点中的一个或多个交点再次组成一个新的划分部分。如图3所示，五个交点中的第二个交点（交点4）和第三个交点（交点5）会与增加第2条直线所产生的交点（交点1）产生一个三角形划分部分;这样就会在原有基础上，增加了个新的划分部分，在如图3中，就增加了四个新的划分部分（A，B，C，D）。则新增加的第n条直线划分平面后得到的划分总数目为
　　2 结束语
　　本文对两个实际问题通过数学建模手段来解决，演示了数学建模的模型准备、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析等过程。在建模中，数学不仅仅是一种工具，我们还要从所作的数学推导和所得到的数学结论中寻找出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。数学建模绝不仅仅是以应用数学解决实际问题为目标，我们更希望揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法。
　　参考文献（References）：
　　[1] 黄辉，胡桂武.高等财经院校数学建模活动的实践与探索——以广东财经大学为例[J].高教学刊，2019.9：77-80
　　[2] 姜启源，谢金星.一项成功的高等教育改革实践——数学建模教学与竞赛活动的探索与实践[J].中国高教研究，2011.12：79-83
　　[3] 杨东辉.数学建模在多相反应动力学上的应用[D].河北师范大学硕士学位论文，2005.
　　[4] 数学建模百度百科.数学建模百科词条[EB/OL]. https：//baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1/527？fr=aladdin
　　[5] 王奕翔，曹琳，何敏，王子微，范小娴.基于C语言的MATLAB软件编程在数学建模中的应用研究[J].教育现代化，2019.6（48）：127-129
　　[6] 徐健清.基于数学建模理论下茶叶经济效益最优化的研究[J].福建茶叶，2017.39（7）：16-17
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