配方法求解一元二次方程的教学探讨

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　　摘 要：《义务教育数学课程标准（2017版）》中明确提出了六大數学核心，其中包括：数学抽象、直观想象、运算能力、逻辑推理、数学建模、数据分析。其中运算能力指的是“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”，运算能力在高中数学中具有基础性作用，我们必须重视学生的运算能力的培养，本文以“用配方法求解一元二次方程”一课教学为例，旨在渗透数学核心素养，重点培养学生的运算能力。
　　关键词：数学核心素养;运算能力;配方法;一元二次方程
　　一、 数学史视角下的配方法
　　（一）从中国数学史看配方法
　　我国古代第一部数学著作《九章算术》中勾股章节的第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何。”“答曰：二百五十步”其实就是解数字二次方程的问题，该二次方程是一个正系数的一次项在二次项后面，在中国古代把这样一次项称为“从法”，该题相当于通过求二次方程的正根而解决的，另外，在《九章算术》的少广章中也提出了开平方法，开平方法是专门为开整平方而建立的，所以比较难运用到求解一般的一元二次方程中，这些内容很好地体现了我国古代数学家卓越的理论创造能力，使得中国数学在理论和应用方面都取得了巨大的成就。
　　以现在的数学来看，从二次方程到开平方法并没有对配方的过程进行详细的说明和解释，后来由于各种时代原因，明朝以后，我国数学水平低于以往朝代，许多数学家甚至看不懂先主发明的数学方法，其中就包括天元术和开平方法，试想，如果从一元二次方程到开平方法之间多一个对于“配方法”的详细说明，如果将一元二次方程和开平方法联系起来，就能更好的理解开平方法，也使得整个数学体系更有逻辑性和结构性。
　　究其根本，我国的方程思想是由盈不足术发展而来的，方程术则使得演算进一步程序化，使得我国古代筹算制度水平得到很大提升，但是我国古代的方程多是提供了一种呈现方法，是将有关信息排成行列方阵的形式，进而通过加减相消等手段解决，也就是说，我国古代的方程实际上只是多元线性方程组，还不能算是现代意义上的方程。也有学者认为，中算的代数学理论体系与西方代数学体系差异很大，在概念和方法上没有很多共同之处。综上所述，中国数学史上并未真正提出配方法这个概念，而直到《几何原本》的译文传入中国才有了配方法这个词。
　　（二）从国外数学史看配方法
　　在符号和代数还没有出现的时代，人们一般是通过直观的几何图形来解决一元二次方程问题的，据历史学家考察，人类历史上最早出现的一元二次方程是x2=A，这可以直接通过开平方法求解，其实这属于“已知正方形的面积，求边长的问题”，公元前两千年左右，在古巴比伦的泥板文书中就曾出现过一元二次方程及其解法，在古埃及的纸草文书中也有对二次方程的记载，方程出现后，解决了许许多多生活中的数学问题，四大文明古国对于方程及其解法的研究都有一定的成果，方程的分类以及方程的根的问题都引发了数学家们的好胜心，促使他们潜心研究，推动了方程的发展。
　　配方法一词最早出现在古希腊的数学家欧几里得的著作《几何原本》中，其对配方法进行了几何意义上的定义，在几何学的观点下，配方ax2+bx=c其中x的二次方表示的是边长为x的正方形的面积，bx表示边长为b和x的矩形的面积，所以将配方法看成是对矩形的操作，也就是在一个几何图形中要将正方形x2和两个长方形bx合并成一个更大的正方形，那么这个正方形还会缺一个角，所以要把以上方程的两端都加上（b/x）2，这样正好是欠缺的角的面积，这就是“配方法”的名称的由来。《几何原本》中对于配方法的几何解释，很好地将几何的原理、方法都运用到代数学中，体现了数与形的美妙结合。
　　公元300年左右，古希腊的丢番图在解一元二次方程时始终知去一个正根，公元628年，在古老的印度，婆罗摩笈多在其著作《婆罗摩修正体系》中给出了一元二次方程一个根的解法，虽然他意识到负根的存在，但却抛弃了负根和零根。
　　直到820年，在阿拉伯数学家阿尔·花拉子密留下传世之作《代数学》中，他不仅求出一元二次方程的两个根，还给出了几何证明，这显然是受到欧几里得《几何原本》中配方法的影响，他在处理二次方程的时候极其有创意，出于正系数的考虑，把二次方程均划归为ax2=bx+c、ax2=bx、ax2=c等形式，不仅如此，他还通过具体案例进行示范，其中对配方法的使用尤为经典，花拉子密所举的每一个例子，都借用图形对方程配方的过程、步骤进行说明，直观形象，清晰明了，花拉子密所写的《代数学》本名为《AL-aJbrW-ALMuabalab》该书名翻译为整理和对比，整理一词表示把负项移到方程的另一边;对比一词则表示把方程两边的同类项消除;由此可见，这本书名中就已经蕴涵着配方法的步骤，而此后代数学逐渐发展起来，数学分析逐渐严格化和精细化。
　　从方程发展过程来看，配方法仿佛是几何学和代数学之间的纽带，使几何和代数相互联系又有所区别，可以说配方法使得数学家们从几何的思想中得到解法，进而用代数的方法解决一元二次方程，解一元二次方程的基本方法中的公式法就是由配方法推导而成的，求根公式的出现极大地简化了一元二次方程求解问题，使得人类在方程的研究上又前进了一大步，配方法推动了代数学从文字叙述向符号代数的发展。
　　（三）从数学教育史看配方法
　　一元二次方程是数字教学的重要组成部分，它不仅综合了以前所学的多方面知识，同时为进一步的数学学习以及综合运用打下了基础，因此，在进行一元二次方程教学时，一方面要通过学习，巩固、加深对已学习的数与公式以及运算的认识，和对已学习过的一元一次方程及其解法的认识，同时要为今后学习二次函数、一元二次不等式、二次曲线等数学知识打好基础，发挥其承前启后的重要作用，一元二次方程的解法教学是本章节的教学重点，配方法是推导公式的一般工具，配方法的产生有利于人们对一元二次方程的理解，配方法除了推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时也有广泛的应用。 　　教师要引导学生发现利用配方法求解一元二次方程具有什么特征，什么时候该用配方法，什么条件下利用配方法最为简便，配方法是对数学公式的一种变形，具有定向性，是一个从繁到简的过程，要通过配方法找到未知项和已知项之间的某种联系，合理运用“拆”“添”“配”“凑”等技巧完成配方。
　　二、 配方法的教学价值
　　《义务教育数学课程标准（2017版）》中第三学段（7～9年级）的教学内容，数与代数模块明确提出：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，经历估计方程解的过程理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，了解一元二次方程的根与系数的关系等教学内容，可见，一元二次方程以及解一元二次方程的方法在初中数学教学中具有举足轻重的地位，方程是各种科学技术研究中最重要的一种数学思想方法，不仅是一元一次方程知识的深化和延伸，而且为后期学习二次函数打下坚实的基础，“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”这点教学内容是从数学课程标准就提出并一直延续使用的内容要求。
　　在一元二次方程该章节的教学中，重点内容的解一元二次方程的具体解法和解一元二次方程的基本思路，求解一元二次方程有四种基本方法分别是：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，本章节的教学，一般先通过一些能够直接开平方的简单的一元二次方程，引导学生认识一元二次方程以及直接平方法，其次，引入较为复杂的一元二次方程，将其与已经变为完全平方式的一元二次方程进行对比分析，是学生掌握配方法的基本原理并能够利用配方法求解一元二次方程，接着，在学习了配方法的基础上，利用配方法推导一元二次方程的求根公式，从而得到公式法，最后，讨论因式分解法及其应用。
　　方程的教育目标在于培养广泛的方程意识，所谓的方程意识是指在一些看起来与方程毫无关系的实际问题中，能够主动地运用所学的方程知识去解决现实中的实际问题，这是一种行为主动性，更是数学应用意识，方程观的培养是一个长久的过程，不仅仅只是本章节的教学目标，其实在中学阶段的数学中，确定性的求解问题都能够利用方程去解决。
　　配方法在整个初中数学教育体系中具有重要的作用，配方法是为求解一元二次方程而引入的一种方法，并广泛应用在解决一元二次方程问题中，在后期学习二次函数是也经常用到，配方法作为最核心、最基础的解一元二次方程的方法，不仅是解一元二次方程的通用方法而且可操作性很强。配方法是一种很重要的数学变形，它可以改变原有代数式的结构，它不像直接开平方法对一元二次方程的公式有着较高要求，也不像十字相乘法要求各项有特定的系数，公式法也是由配方法推导衍生而成的，可以说，公式法的实质其实是配方法，相比于公式法，配方法更具有数学的韵味。配方法的运用最为广泛，它常常还运用到代数式的化简求值以及恒等变形中。配方法是普适的，在后期二次方程求解和二次方程研究中，会多次用到，对后期学习是一种很好的铺垫。
　　三、 具体教学策略探讨
　　（一）立足基础知识，构建知识体系
　　初中数学的教学首先要立足于数学的基础知识，在深度解析教材的前提下，可以对教材内容加以适当的拓展，教师不仅要把握教学内容的基础性，而且要注重加强数学知识结构的教学，教学中旧知与新知相结合，引导学生将数学知识结构进行主观改造成数学的认知结构，从而学会在生活中运用数学知识去解决实际问题。
　　问题1：我们已经学习过估算法求一元二次方程的近似解，那如何精确的求解呢？大家还记得完全平方公式吗？谁能上台写一写[形如a2+2ab+b2的叫作完全平方式，且a2+2ab+b2=（a±b）2]。
　　问题2：在下列各题的横线上填上适当的数，使等式成立。
　　设置两个问题复习之前已經学到过的完全平方公式，因为配方法正是建立在开平方法的基础之上的，要建立新知识与旧知识间的联系，依据同化理论，以此作为增长点而促进新知识的学习，能够使学生更容易理解配方法的概念，在原有的知识基础之上，构建整体内容的知识体系
　　（二）培养学生合作探究、自主探究能力
　　在教学过程中要引导学生之间进行合作和交流，多给学生讨论和自主思考的时间，引导学生进行探究活动。
　　如何对以下两个方程进行求解，这两个方程有什么不同？请学生在小组内进行讨论，并归纳出配方法解一元二次方程的一般步骤。
　　设置两个不同的方程式求解问题，利用思维冲突激发学生继续学习的兴趣，促使其进行思考。由学生进行自主思考，解决一元二次方程，并通过小组讨论，对配方法的一般解题步骤进行归纳，在此过程中教师可以利用简洁的提示词进行板书，如：“一移、二化、三配、四开”等，在将各种不同形式的公式和方程通过去分母、两边乘方、降次等数学方法转化为一元二次方程来解的过程中，可以使学生受到一种事物可以转化为另一种事物的辩证唯物主义教育，锻炼学生的思维能力，增强学生的运算能力，利用移项，对一元二次方程进行转化，突出体现了渗透转化划归的数学思想，让学生带着问题进行讨论，解决其中的疑难问题要学生讨论共同完成，培养学生的合作意识。
　　（三）注重过程教学，渗透思想方法
　　新课标明确提出了学生要通过学习，要获得必需的基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想、基本数学活动经验，教师在教学过程中要注意渗透数学思想方法，培养数学核心素养，教师要在深度解析教材的情况下挖掘其中所蕴含的核心素养，对教材进行细致分析，将教材的作用和功能充分发挥出来。
　　运用所总结出来的步骤解方程：3x2-6x+4=0
　　该方程求解，通过一移、二化、三配之后，所得方程右边为负数，无法通过直接开平方求解，教师追问：等式两边在任何时候都直接开平方根吗？请学生进行小组讨论，由小组代表进行发言。 　　强调：必须判断b2-4ac是否大于等于零，只有当b2-4ac大于等于零时该方程有解，两边可以直接开平方求解，否则，该方程无解。
　　师生共同总结配方法的思路：当一元二次方程的二次项系数为1时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，方程的左边配成一个完全平方式，再用平方根进行求解的过程，我们把这种解法叫作配方法。
　　设置特殊的方程式，引导学生探索利用配方法求解一元二次方程的条件，过程中要注意强调直接开平方法成立的条件，让学生体会数学的严谨性。此外，配方法可以体现出数学的对称美，在将一般的一元二次方程配方成完全平方公式的过程中，数学的对称美思想体现得淋漓尽致。
　　（四）实际应用中感悟数学价值
　　首先，结合生活中的实际问題，引导学生利用一元二次方程求最值的方法去解决，学生通过数学的角度去思考生活中的实际问题，能够培养学生的数学思维，并且感受到数学的实际应用价值，基于学生的实际生活情景设置数学问题，将数学与生活紧密联系。其次，运算能力的培养要让学生重视运算的最初定向，学生要能够分析题目中所蕴含的显性以及隐形的条件，在把握好题目总体结构特征的前提下，确定运算的方向，要能够考虑全面，并且学会运用特殊方法加以解决或证明。最后，帮助学生理解配方法的本质，加强算理，进一步提升数学推理运算能力，利用配方法解一元二次方程这节课是培养学生数学运算能力的很好的契机，解一元二次方程的方法很多，配方法能更加便捷地解决问题从而有效提高解题效率，在教学时，要加强引导，让学生能够将数学运算技能转化为运算技巧。
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　　作者简介：
　　林淑慧，宾红华，福建省厦门市，集美大学。
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