三次函数“大行其道”

来源:用户上传      作者: 斯理炯

　　2009年高考数学全国卷Ⅰ(理)第22题已知函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
　　(1) 求b,c满足的约束条件,并在图1所示的坐标平面内,画出满足条件的点(b,c)的区域;
　　(2) 证明:-10≤f(x2)≤-.
　　解析: 本题以三次函数为背景,融函数、方程、导数、不等式等知识于一体,是综合性较强的多元参数问题. 第(1)问主要考查了二次函数根的分布,以及线性规划求可行域的能力,立意新颖.
　　由题意知f′(x)=3x2+6bx+3c,且方程f′(x)=0有x1,x2两个根,x1∈[-1,0],x2∈[1,2].则结合抛物线图象性质可知f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0,故2b-c-1≤0,c≤0,2b+c+1≤0,4b+c+4≥0.由此可得图2所示的阴影部分即为点(b,c)的可行域.
　　第(2)问简约而不简单,只有通过合理的等价转换,才能找到正确的解题途径.
　　由题意可知,f′(x2)=3+6bx2+3c=0,则bx2=--c (①),而f(x2)=+3b+3cx2 (②),①代入②得f(x2)=
　　-+x2. 由第(1)问的约束条件不难得到c∈[-2,0],又x2∈[1,2],易得-10≤f(x2)≤- .
　　评析: 题目的第(1)问要求通过导函数的零点分布来确定二维参变量的线性区域;第(2)问则考查了导函数零点的函数值有界性问题,在题目设置上有一定新意,作为压轴题,体现了高考的选拔功能.由于题中函数含多个参数,同学们在解题中很容易迷失方向,找不准问题的突破口. 大家不妨自行尝试一下第(2)问的消参过程,你会发现消去c将比消去b烦琐得多.
　　三次函数问题在近几年的高考中非常活跃,在2009年高考数学山东卷、天津卷、福建卷以及浙江卷的解答题甚至压轴题中,都出现了三次函数的身影. 三次函数内容涉及高中数学中较多的知识和数学思想方法,因为三次函数的导数是二次函数,从二次函数的图象、单调性、极值、最值出发,研究三次函数的零点个数、值域、对称中心、切线斜率等性质,符合新课程高考以能力立意、突出理性思维的指导思想.随着导数的工具性越来越受到重视,对三次函数的考查很有可能也随之成为今后高考命题的一个热点.

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