数学应用题型的解题对策
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作者: 曹丹璐 黄冬明
摘 要： 应用题是数学教学的难点之一。文章重点就数学中的“和差问题”、“和倍问题”、“行程问题”及“盈亏问题”进行例题分析。
关键词： 和差问题 和倍问题 行程问题 盈亏问题 解题对策
在数学中，应用题的教学是为了培养学生能运用所学知识解决实际问题的能力。认真分析应用题的类型，剖析其解题对策，不仅能有效地促进应用题的教学，而且能让学生更好地将数学合理地运用于实践，达到新课程中解决问题的最终目的。新课改后，数学学习呈网状结构，各个知识点互相渗透。我们将典型的几种应用题题型进行列举，以探究数学应用题型的解题对策。
一、和差问题
和差问题即已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的问题。用字母表示：a+b=和；a-b=差。
基本的解题思路是将已知的两个式子转化成两个大数（2个a）的和，或是两个小数（2个b）的和，再求另一个数。
基本的规律是：（和+差）÷2=大数（a）；（和－差）÷2=小数（b）。
在解决该类题目的过程中，还要进行仔细的分析，而且经常会用到整体的思想，将复杂的语言简化成我们熟悉的题型。
三块小麦试验地里共收小麦9800千克。第一块试验地比其余两块试验地少收1400千克，第二块试验地比第三块试验地多收200千克小麦，求三块小麦试验地各收小麦多少千克？分析：三个未知数的求解，就需要用到整体的思想。将三块地分为第一块和第二三块两个数。那么，第二三块+第一块=9800，第二三块－第一块=1400。（9800+1400）÷2=5600（千克）――第二三块小麦的总重量，9800－5600=4200（千克）――第一块小麦的重量，再按照同样的步骤求出第二块和第三块地小麦各自的重量。
二、和倍问题
和倍问题即已知两个数的和与它们的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。有关倍数的应用题，关键是确定标准数，找准单位“1”。在题中若出现某个数的几倍，那么这个数就是单位“1”，如此就可求出倍数和。
基本的规律是：和÷倍数和（倍数+1）=标准数；标准数×倍数=另一个数。
农场有水田275亩，旱地85亩，计划把一部分旱地改成水田，使全村水田亩数是旱地亩数的5倍，需将多少亩旱地改成水田?分析：根据题意，旱地亩数是标准数，倍数和是6，和是275＋85=360（亩），所以360÷6=60（亩）――旱地亩数，85－60=25（亩）――需要改成水田的旱地亩数。
三、行程问题
行程问题即行车、走路等有关路程、时间、速度的问题。这类问题存在许多题型，教学上存在许多难点。做这类问题时，首先要搞清楚路程、速度、时间三个量之间的关系，基本规律：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。建立速度、时间、路程关系模型，对于学生解决这类问题是必需的。同时，可借助线段图来处理行程问题可让文字题变得更加容易理解。
1.相遇问题。由两个物体从两地相向而行，经过一段时间相遇的问题。解决相遇问题的解题模式：速度和×相遇时间=路程。
甲乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？分析：根据解题模式，可知路程÷相遇时间=速度和，988÷5.2=190（千米每小时）――甲乙速度和，190－93=97（千米每小时）――乙列车速度。
2.追击问题。由两个物体从两地或异地同向而行，经过一段时间后同时到达某地的问题。需要引起注意的是，在追击问题中，追赶者所用的时间与被追赶者所用的时间是相等的。解决追击问题的解题模式：追及路程÷速度差=追击时间。
甲以每小时4千米的速度步行去学校，乙比甲晚4小时骑车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙多长时间可以追上甲？分析：首先需要知道追击路程，例题中即甲在4小时中行驶的路程，4×4=16（千米），根据模型，还需要知道速度差，12－4=8（千米每小时），追击时间：16÷8=2（小时）。
3.流水问题。这是一种比较特殊的行程问题。必须明白有顺水、逆水、静水之分，所以船来回的速度是不一样的。解决流水问题的解题模式：船速＋水速=顺水速度，船速－水速=逆水速度，船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2，水速=（顺水速度－逆水速度）÷2。若要求平均速度，则用总路程÷总时间。
一艘船在静水中的速度为每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，已知水速为每小时3千米，那么从乙地返回甲地需要多少时间？分析：甲地开往乙地是顺水，顺水速度为15+3=18（千米每小时），18×8=144（千米）――路程，从下游到上游是逆水，逆水速度为15-3=12（千米每小时），144÷12=12（小时）――从乙地返回甲地需要的时间。
四、盈亏问题
通过比较把若干个东西平均分配的两种分配方案和分配后的余数，反过来求分配的份数和被分配的总量的问题。
1.这类问题最常见的形式就是有余又有不足，对于这类问题，解决方法是“有余加不足，其差变为除”，用公式表示为：单位数=（盈＋亏）÷单位差。
幼儿园老师拿来一筐橘子分给小朋友吃，每人分2个则多3个，每人分3个则差4个，问小朋友有几人？分析：每人分2个多3个，而每人分3个时，将原来多余的3个分完以后还差4个，则说明又分出去3+4=7（个），而每人多分了1个，则说明有7人。用公式来算就是：（3+4）÷（3－2）=7（人）。
2.“大盈减小盈，其差变为除”，用公式表示为：单位数=（盈－盈）÷单位差。
同学乘车去参观，如果每车坐55人，就余下30人的座位；如果每车坐50人，就可以再坐10人。车有多少辆？分析：每车55人，余30人；每车50人，余10人，单位差为（55-50）=5（人），则（30-10）÷5=4（辆）。
3.“大亏减小亏，其差变为除”，用公式表示为：单位数=（亏－亏）÷单位差。
老师将一批练习本发给班上的同学，如果每人发6本，就少94本；如果每人发4本，就少2本。这班有多少人？分析：两次分配的总本数差为94-2=92（本），两次分配的标准差为6-4=2（本），份数=总本数差÷标准差=92÷2=46（人）――班级人数。
在小学阶段，应用题是数学教学中的重点和难点，它不仅考验学生对生活基本概念的理解，而且能培养学生良好的思维方式，提高逻辑思维的能力和科学的数学素质。如今许多应用题是开放的，解题方法多样，在提倡开发创造力的同时，也需要探究和总结基本的解题对策，更好地引导学生解决问题，让学生在理解的基础上，用最快的速度解题，并且在解题中激发学生的学习兴趣，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、思想方法和应用技能。
参考文献：
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［2］黄佳琴.中小学数学竞赛中的行程问题［J］.高校讲坛，2010，13：39-40.
［3］李树清.鸡兔同笼问题的解法探讨［J］.学科教学探索，2009，（3）：50-51.
［4］徐毅.关于小学数学数量关系式教学的思考［J］.贵州教育，2009.17：23-24.
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