拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用
来源:用户上传
作者:黄梅花
【摘要】微分中值定理主要包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理。拉格朗日中值定理为主要核心，罗尔中值定理为特殊情况，柯西中值定理为推广，其构成为微分学的理论基础，在微分学中具有重要的作用，也是数学研究主要工具，使用相当广泛。
【关键词】拉格朗日中值定理 微积分 解题
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）48-0006-02
高等数学研究对象为实数集中函数性质，对函数性质研究的主要工具就是微分中值定理。微分中值定理指的是对通过导数已知性质推断函数性质讨论的工具，创建使用导数知识研究函数形态的桥梁。微分中值定理中的拉格朗日中值定理能够将函数及导数关系相互连接。本文重点在分析求极限问题、不等式问题和级数收敛性判断方面如何使用拉格朗日中值定理进行分析及研究，并且给出实际案例进行验证。
1.拉格朗日中值定理的证明
在使用拉格朗日中值定理进行证明的过程中，一般都要使用辅助函数。利用以下方法创建辅助函数，并且对创建思维过程中进行分析：
定理1：假如函数f（x）在[a，b]闭区间中为连续，在（a，b）开区间为可导，那么其在（a，b）中至少有一点ξ，使f′（ξ）=（f（b）-f（a））/（b-a）成立。
1.1推理法
定理2：如果函数f（x）在[a，b]闭区间中为连续，在（a，b）开区间为可导，使f（a）=f（b），那么其在（a，b）区间中至少有一点ξ，使f′（ξ）=0成立。
假如函数f（x）和g（x）在[a，b]闭区间中连续，在（a，b）开区间中可导，要想使f（x）-g（x）函数在[a，b]区间中满足罗尔中值定理，其需要满足的条件是什么？
通过罗尔中值定理可以了解到，要想使f（a）=-g（a）=f（b）-g（b）得到满足，也就是f（b）-f（a）=g（b）-g（a）
以罗尔定理表示，在（a，b）开区间中至少存在ξ，使f′（ξ）-g′（ξ）=0，也就是f′（ξ）=g′（ξ）
以此就能够得到以下的理论：
推理1：如果函数f（x）及g（x）能够在[a，b]闭区间中连续，在（a，b）开区间汇总可导，而且f（b）-f（a）=g（b）-g（a），那么（a，b）开区间中至少具有一点ξ，从而使f′（ξ）=g′（ξ）
简单来说，就是两个连续并且在内部可导函数如果在同个区间的增量相同，那么在区间中某个点中也具有一定到数值。
利用推理1对拉格朗日中值定理进行证明，因为f（x）在[a，b]闭区间中相互连续，在（a，b）开区间中可导，如果使g（x）=x，那么函数g（x）在[a，b]中连续，并且在（a，b）中可导。又因为f（x）和g（x）在[a，b]中的增量相同，表示为f（b）-f（a）=g（b）-g（a）。通过推理1表示，至少具有一点ξ∈（a，b），从而使f′（ξ）-g′（ξ）成立，也就是f′（ξ）=
1.2分析法
假设=k，那么f（b）-f（a）-k（b-a）=0，证明k=f′（ξ），ξ∈（a，b）
假如等式左边的式子b转变成为a，使其值设置为0，也就是f（b）-f（a）-k（b-a）=0。所以，将等式左边作为某函数在[a，b]区间中的两个端点函数值，而且此函数值都设置为0。此也是罗尔中值定理满足第三个的条件，以此寻找创建辅助函数，也就是：
F（x）=f（b）-f（a）-k（b-a） a≤x≤b
以此可以看出来，F（a）=f（b）=0
那么F（x）连接到[a，b]中，在（a，b）中可导。通过Rolle中值定理可以看出来，至少具有一点ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0，那么F′（ξ）=f′（ξ）-k=0。
那么f′（ξ）=K
所以f′（ξ）=
2.拉格朗日中值定理在微积分解题中的使用
2.1应用在不等式中
此定理应用到不等式中的主要思想就是对此定理公式中ξ在（a，b）开区间取值，无论取值是多少，都能够根据ξ在（a，b）开区间中的某个值对f′（x）的范围进行估计，或者也能够认为在ξ为（a，b）中取值对f′（x）取值上下界进行确定，之后根据f′（x）取值最大最小值代替此定理中的f′（ξ），从而能够得出不等式。
其一，对不等式结构进行观察，对如果变形之后是否能够转变成为此定理基本公式方式进行考虑。
其二，在上个步骤变形基本需求及前提中，对题目所给出的已知条件进行分析，从而创建函数f（x）。
其三，验证创建的f（x）函数是否满足此定理条件。
其四，根据f′（x）能够满足不等式条件得到题目中需要证明不等式。
以此，就和例题相互结合，从而分析拉格朗日中值定理应用到不等式中的解题方法。
例题：证明<archtanh<h，其中的h>0
证明：假设f（x）=archtanh，那么在[0，h]区间中使用此定理实现运算，从而能够得到：
ξ∈（0，h）
使以上公式进行变形能够整理成为archtanh=，另外，因为ξ∈（0，h），那么就能够得到：
archtanh<h，<archtanh
所以证明了<archtanh<h。
在此道题目中，假如对于此定理应用到不等式中具有清晰的认知，那么学生在解题过程中都会创建函数，通过单调性等性質实现求解。但是此解题较为麻烦，并且具有较大的计算量，所以使用中值定理实现解题就能够使问题更加得简单。另外还要注意，因为拉格朗日中值定理中存在求导公式，所以要牢记archtanh等简单求导公式，此也是解题基础。 2.2应用到收敛级数中
此定理还能够应用到判断级数收敛性中，主要案例就是判断调和级数收敛性。以下利用此案例进行分析。
证明调和级数散性
证明：假设f（x）=lnx，那么f（x）在[N，N+1]为连续的，在（N，N+1）开区间中可导。以此定理表示，在（N，N+1）区间中至少有一点ξ，那么就使：
ln（N+1）-lnN=（1/ξ）（N+1-N）=（1/ξ）<（1/N）
以此表示，在N=1的时候，ln2-ln1<1;在N=2的时候，ln3-ln4<1/2;在N=3的时候，ln4-ln3<1/3。依次类推表示，在N=n的时候，ln（n+1）-lnn<1/n。
所以，ln（n+1，调和级数和和右边相等，并且因为n（n+1）=+∞。那么调和级数前n项和并不是到某个值收敛，而是发散，所以调和级数为发散。
对于调和级数发散性，高等数学中只是表示发散性及其他级数对比实现其他级数发散性判断，证明调和级数发散性，如果只是使用收敛性质或者判断准则实现判断较为困难。所以在此案例中使用此定理对调和级数发散性进行判断，其解答的过程较为简单，并且方便理解。
2.3应用到函数单调性
函数单调性属于函数主要性质，在高等数学中具有重要的地位，研究函数单调性也是高等数学中的主要内容，中值定理在此过程中具有重要的作用。
对函数y=（1x，x>0的单调性。
解：由于ln y=xln（1+1/x）=x[ln（1+x）-lnx]
对两边求导，得到：
因为拉格朗日中值定理在[x，1+x]中具有ln（1+x）=（1/ξ）（1+x-1）=（1/ξ）ξ∈（x，x+1）
所1/ξ）
也就是ln（1
又因为y=0，所以y′=y[ln（1+x）-l
所以y=（1+∞）中为单调增加。
2.4函数性质的研究
通过拉格朗日中值定理能够对函数凹凸性、单调性和连续性进行研究，本文对函数一致性中的使用进行举例研究。
证明f（x）=xa（0<a<1）在[0，+∞）中的一致连续。
因为f（x）在[0，+∞）中一直连续，所以在[0，2]中一直连续，所以？坌ε>0，使在x1，x2∈[0，2]并且|x1-x2|<δ1的时候，|f（x1）-f（x2）|<ε
另外，因为f′（x）=axa-1在[1，+∞）中为严格单调递减，所以其在[1，+∞）中恒有|f′（x）|≤a<1，所以对于？坌x1，x2[1，+∞）使用拉格朗日中值定理得到：
|f（x1）-f（x2）|=|f′（ξ）（x1-x2）|≤|x1-x2|
以此，给定ε，使δ2=ε，在x1，x2∈[1，+∞）并且|x1-x2|<δ2的时候：
|f（x1）-f（x2）|<ε
使δ=min{δ1，δ2，1}，那么对于？坌x1，x2∈[1，+∞），在|x1-x2|<δ的时候，那么x1，x2∈[0，2]，或者x1，x2∈[1，+∞），那么就必有|f（x1）-f（x2）|<ε，以此表示f（x）在[0，+∞）中一致连续。
结束语
拉格朗日中值定理属于微分学中的主要定理，其使用重要性和广泛性备受重视，使用联系观点将拉格朗日中值定理和其他知识点相互结合，能够让我们开阔思路，从而使问题灵活解决。在日常学习生活中，要善于发现，既对重要知识点进行总结，还要使用发散思维。高数属于较为灵活的学科，只要对其不断的进行探索，才能够走向更高的阶梯中。
参考文献：
[1]张康明.微分中值定理及导数应用的教学思考[J]. 考试周刊， 2013（22）：64.
[2]冯洁，赵旭.关于拉格朗日中值定理应用的研究[J]. 职业技术， 2013（4）：91.
[3]王一棋.高观点下的中学数学——拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J].数学教学通讯， 2013（33）：63-64.
[4]刘灯明.拉格朗日中值定理在定积分计算中的妙用[J]. 当代教育理论与实践， 2016（7）：43-44.
[5]沈鹏源.高等数学中微积分证明不等式的探讨[J]. 数学学習与研究，2018（1）：26-27.
[6]闻卉， 郑列. 浅谈数形结合法在微积分教学中的应用[J]. 数学学习与研究， 2014（15）：83.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-15077569.htm
